2002考研數(shù)一真題及解析

1、2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) (2) 已知函數(shù)由方程確定，則 .(3) 微分方程滿足初始條件的特解是 .(4) 已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化成標(biāo)準(zhǔn)型，則 .(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且二次方程無實(shí)根的概率為，則 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：在點(diǎn)處連續(xù)， 在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在點(diǎn)處可微， 在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.若用表示可由性質(zhì)推出，則有 ( )(A) .

2、(B).(C) . (D).(2) 設(shè)且則級數(shù) ( )(A) 發(fā)散. (B)絕對收斂.(C)條件收斂. (D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.(3) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，則 ( )(A) 當(dāng)時(shí)，必有. (B)當(dāng)存在時(shí)，必有.(C) 當(dāng)時(shí)，必有. (D)當(dāng)存在時(shí)，必有.(4) 設(shè)有三張不同平面的方程它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為 ( )(5) 設(shè)和是任意兩個相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為和，分布函數(shù)分別為和，則 ( )(A)必為某一隨機(jī)變量的概率密度. (B)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(C) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù). (D)

3、 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且若在時(shí)是比高階的無窮小，試確定的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限五、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為.記(1)證明曲線積分與路徑無關(guān)； (2)當(dāng)時(shí)，求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)?，小山的高度函?shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上的一點(diǎn)，問

4、在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此反向?qū)?shù)的最大值為，試寫出表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說，要在的邊界線上找出使(1)中的達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān)，.如果，求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣，(1)如果相似，試證的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)均為實(shí)對稱矩陣時(shí)，試證(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用表示觀察值大于的次數(shù)，求的

5、數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值求的矩陣估計(jì)值和最大似然函數(shù)估計(jì)值.2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(1)【答案】 1 【詳解】先將其轉(zhuǎn)化為普通定積分，求其極限即得廣義積分.(2)【答案】 -2 【詳解】是由確定的的函數(shù)，兩邊對求導(dǎo)，所以 兩邊再對求導(dǎo)，得把代入，得，代入，得.(3)【答案】【詳解】方法1：這是屬于缺的類型. 命.原方程化為，得或，即，不滿足初始條件，棄之；所以所以，分離變量得，解之得 即由初始條件，可將先定出來：. 于是得解之得，.以代入，得，所以應(yīng)取“+”號且. 于是特解是.方法2：將

6、改寫為，從而得. 以初始條件代入，有，所以得. 即，改寫為. 解得.再以初值代入，所以應(yīng)取且. 于是特解.(4)【答案】2【詳解】方法1：二次型的對應(yīng)矩陣，經(jīng)正交變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型，故為正交矩陣，有，且對實(shí)對稱矩陣，有，故，即因?yàn)榫仃嚨膫€特征值之和等于它的主對角元素之和，相似矩陣具有相同的特征值，故有，得.方法2：二次型的對應(yīng)矩陣，經(jīng)正交變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型，故為正交矩陣，有，且對實(shí)對稱矩陣，有，即相似矩陣具有相同的特征值，知0是的特征值，根據(jù)特征值的定義，有，得 或， (1)又6是的特征值，根據(jù)特征值的定義，有，由 (對應(yīng)元素相減)兩邊取行列式，得 或 (2)因?yàn)?1)，(2)需同時(shí)成立，取它

7、們的公共部分，得.方法3：的對應(yīng)矩陣為，經(jīng)正交變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型，故為正交矩陣，有，且對實(shí)對稱矩陣，有，即相似矩陣具有相同的特征值，知的特征值，其中一個單根是6，一個二重根應(yīng)是0，直接求的特征值，即由(對應(yīng)元素相減)兩邊取行列式，其中單根為，二重根為，故，及，故知.方法4：的對應(yīng)矩陣為，經(jīng)正交變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型，故為正交矩陣，有，且對實(shí)對稱矩陣，有，即故，因，故，且，故應(yīng)取.(5)【答案】.【詳解】二次方程無實(shí)根，即的判別式，也就有. 此事發(fā)生概率為，即，對于，因?yàn)檎龖B(tài)分布的密度函數(shù)為關(guān)于對稱；另一方面，由概率的計(jì)算公式，與軸所圍成的面積是1，所以將面積平分為兩份 ，所以.二、選擇題(1)【詳

8、解】下述重要因果關(guān)系應(yīng)記住，其中表示由可推出. 無箭頭者無因果關(guān)系，箭頭的逆向不成立. 與連續(xù)可微其中均指在同一點(diǎn)處. 記住上述關(guān)系，不難回答本選擇題，故應(yīng)選(A).(2)【詳解】首先要分清絕對收斂和條件收斂的定義，通過定義判定級數(shù)的斂散性.考察原級數(shù)的前項(xiàng)部分和由知，當(dāng)充分大時(shí)，且. 所以(收斂)，另一方面，為正項(xiàng)級數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設(shè)條件的啟發(fā)，考慮而級數(shù)是發(fā)散的，所以也發(fā)散，所以選(C).(3)【詳解】方法1：排斥法.令，則在有界，但不存在，故(A)不成立；，但 ，(C)和(D)不成立，故選(B).方法2：證明(B)正確. 設(shè)存在，記，證明.用反證法，若，則對于，存在，使當(dāng)

9、時(shí)，即由此可知，有界且大于.在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有從而，與題設(shè)有界矛盾.類似可證當(dāng)時(shí)亦有矛盾. 故.(4) 【答案】(B)【詳解】三張不同平面的方程分別為判斷三個平面有無公共點(diǎn)即判斷方程組有無公共解，且方程組有多少公共解平面就有多少公共點(diǎn)，由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是(未知量的個數(shù))，所以方程組有解且有無窮多解，故三個平面有無窮多個公共點(diǎn)，故應(yīng)排除(A)三平面唯一交點(diǎn)(即方程組只有唯一解)(C)、(D)三平面沒有公共交點(diǎn)(即方程組無解).故應(yīng)選(B)，三個平面相交于一條直線，直線上所有的點(diǎn)均是平面的公共點(diǎn)，即有無窮多個公共點(diǎn).(5)【答案】D 【分析】函數(shù)成為概率密度的充要

10、條件為：(1) (2)函數(shù)成為分布函數(shù)的充要條件為：(1)單調(diào)不減；(2)(3)右連續(xù).我們可以用以上的充要條件去判斷各個選項(xiàng)，也可以用隨機(jī)變量的定義直接推導(dǎo).【詳解】方法1：(A)選項(xiàng)不可能，因?yàn)橐膊荒苓x(B)，因?yàn)榭扇》蠢?，令顯然均是均勻分布的概率密度. 而，不滿足條件.(C)當(dāng)然也不正確，因?yàn)楦鶕?jù)排除法，答案應(yīng)選(D).方法2：令，顯然也是一個隨機(jī)變量. 的分布函數(shù)為.三【詳解】方法1：由題設(shè)條件知有由于，所以. 又由洛必達(dá)法則，由于在時(shí)是比高階的無窮小，由高階無窮小的定義知上式等于0，又由 得.解聯(lián)立方程組得，.方法2：分別將按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開到，有，從而 由題設(shè)條件知， 所以.

11、方法3：由題設(shè)條件，有由于，所以. 再將代入，并湊成導(dǎo)數(shù)定義形式，有從而 .四【詳解】由知，由變上限積分的求導(dǎo)公式得所以 因此，過點(diǎn)的切線方程為 在點(diǎn)處與上述曲線有相同的切線方程，于是.五【詳解】應(yīng)先將寫成分塊表達(dá)式. 記于是 從而 六【詳解】(1) 記，所以，. 故在上半平面()，該曲線積分與路徑無關(guān).(2)方法1：由該曲線積分與路徑無關(guān)而只與端點(diǎn)有關(guān)所以用折線把兩個端點(diǎn)連接起來. 先從點(diǎn)到點(diǎn) 再到點(diǎn). 有經(jīng)積分變量變換后，. 當(dāng)時(shí)，推得.方法2:原函數(shù)法.由原函數(shù)法計(jì)算第二型曲線積分的公式(與定積分的牛頓萊布尼茨公式類似)，有其中為的一個原函數(shù)，即設(shè).由此有.方法3：由于與路徑無關(guān)，又由的

12、啟發(fā)，取路徑，其中. 點(diǎn)與點(diǎn)都在此路徑上. 于是將代入之后，七【解】(1) ，由收斂半徑的求法知收斂半徑為，故由冪級數(shù)在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)可導(dǎo)公式得，同理得 從而(由的麥克勞林展開式)這說明，是微分方程的解，并且滿足初始條件，.(2)微分方程對應(yīng)的齊次線性方程為，其特征方程為，其特征根為，所以其通解為.另外，該非齊次方程的特解形式為，代入原非齊次方程得，所以.故微分方程的通解為.故 由初始條件得解得，于是得到惟一的一組解：從而得到滿足微分方程及初始條件的解，只有一個，為另一方面，由(1)已知也是微分方程及初始條件的解，由微分方程解的唯一性，知 八【詳解】(1)根據(jù)方向?qū)?shù)和梯度的定義，知方向?qū)?shù)的

13、最大值是梯度的模長，(2) 命=，求在約束條件下的最大值點(diǎn). 為此，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)則 .由第1、第2 兩式相加可得 . 從而得或，再分別討論之.若，則解得 或 若，則解得 或 于是得到如上4個可能極值點(diǎn). 將記為. 由于故點(diǎn)可作為攀登起點(diǎn).九【詳解】方法1：記，由線性無關(guān)，及即可以由線性表出，故線性相關(guān)，及即可由線性表出，知系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，故有解.對應(yīng)齊次方程組，其系數(shù)矩陣的秩為3，故其基礎(chǔ)解系中含有4-3(未知量的個數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)個線性無關(guān)的解向量，故其通解可以寫成，是的一個特解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，知的通解為，其中是對應(yīng)齊次方程組的通解，是的一個特解，

14、因故，故是的一個非零解向量，因?yàn)榈幕A(chǔ)解系中只含有一個解向量，故是的基礎(chǔ)解系.又，即故是的一個特解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，方程組的通解為.(其中是任意常數(shù))方法2：令，則線性非齊次方程為已知，故將代入上式，得由已知線性無關(guān)，根據(jù)線性無關(guān)的定義，不存在不全為零的常數(shù)使得，上式成立當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)矩陣為，因?yàn)?階子式，其秩為3，故其齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中存在1個(4-3)線性無關(guān)的解向量，取自由未知量，則方程組有解故方程組有通解.(其中是任意常數(shù))十【詳解】(1) 因，由定義知，存在可逆陣，使得，故故有相同的特征多項(xiàng)式.(2) 取，則有有相同的特征多項(xiàng)式，但不相似于，因?yàn)閷θ魏蔚?

15、階可逆陣，均有，故(1)的逆命題不成立.(3) 即要證如果的特征多項(xiàng)式相等，則相似.當(dāng)都是實(shí)對稱矩陣時(shí)，均能相似于對角陣，且該對角陣的對角線元素由的特征值組成. 若有相同的特征多項(xiàng)式，則有相同的特征值(包含重?cái)?shù))，故將相似于同一個對角陣. 設(shè)特征值為，則有由相似的傳遞性，知. (1)的逆命題成立.十一【答案】【詳解】如果將觀察值大于這事件理解為試驗(yàn)成功的話，則表示對獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)4次中成功的次數(shù).即是，其中由一維概率計(jì)算公式，有，所以，.由公式以及若，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為，其中得 十二【分析】矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)在于用樣本矩來估計(jì)相應(yīng)的總體矩，此題中被估參數(shù)只有一個，故只需要用樣本一階原點(diǎn)矩(樣本均值)來估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩(期望)最大似然估計(jì)，實(shí)質(zhì)上就是找出使似然函數(shù)最大的那個參數(shù)，問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造似