學而思數(shù)學四年級超常班程雪9幾何計數(shù)(二).

1、第九講幾何計數(shù)（二）一、相關筆記內(nèi)容參考本學期第四講一一幾何計數(shù)二、例題講析（基礎）學案1你能數(shù)出下圖中共有多少個三角形嗎? 解析：參考模型，先按方向分類，分為正立的和倒立的 正立的：邊長為1的：1+2+3+4邊長為2的：1+2+3邊長為3的：1+2邊長為4的：1倒立的：邊長為1的：1+2+3邊長為2的：1共計：27個解析：參照上題數(shù)三角形，我們?nèi)匀豢梢韵劝捶较驅⑵叫兴倪呅畏诸悾譃椋?）尖朝上；（2）尖朝左；（3）尖朝右。將圖形旋轉，不難發(fā)現(xiàn)這三類平行四 邊形是同樣多的。我們選取尖朝上的進行計數(shù)：1+2+3=6 （個）A類似：（1+2） >2=6 （個）根據(jù)左右對稱，朝左偏的和朝右偏的

2、一樣多四年級春季班（八級下）9.2:1>2=2 （個）類似：1個尖朝上的共計：6+6+2+1=15 （個）原圖共有平行四邊形：15X3=45 (個)解析：顯然，原圖可以分成5個標準圖形，只是最后別忘了要減去重復的。根 據(jù)模型，有(42+32+22+12) X5- (22+12) X4=130 (個)小結：標準” +標準”，要注意-重”圖中有多少個長方形?解析：不難看出原圖可以分成2個標準圖形，這2個圖形沒有重復，但是產(chǎn)生 了新的長方形，那就加上新產(chǎn)生的就可以了外邊的標準圖形有2325C C ?=30（個）四年級春季班（八級下）9.3(2) 2526C C ?=150（個）（3）按大小分類

3、：1+4+4+2=11 （個）（4）長方形的限制條件比正方形少，我們能不能不采取分類數(shù)，而按照一定的方法得到想要的圖形呢？很簡單：分四步，先選擇長方形的上邊，再選擇下邊， 再左邊，再右邊，不就確定了一個長方形了嗎？上邊有3種選擇，下邊有2種選擇，左邊有2種選擇，右邊有4種選擇，根據(jù)乘法原理，就有32X21=48 （個）例4如圖，木板上釘著16個釘子，形成4X4的正方形釘陣，那么橡皮筋一共 能套出多少個矩形，多少個三角形？解析：（1）找矩形，不難想到先分為兩大類：正著的，斜著的。正著的：將原圖沿水平豎直連線得到正著的長方形顯然就是這個圖形中包含的所有的長方形。根據(jù)模型，2424C C?=36 （

4、個）斜著的：這里有3個，根據(jù)對稱性，還有3個這樣的1個，對稱性還有1個斜著的共 有 3X2+2=8 （個）原圖共有長方形：36+8=44 （個）（2）三角形只要不共線的三個點就是一個三角形。用所有三個點的組合減去共線的三個點 組合即可。41034316-C C = 516 （個）例5 一個棱長為12的正方體是由1728個木制的棱長是1的小正方體堆壘而 成。那么，你從一點最多能看到棱長是 1的小正方體多少個？解析：這屬于一個最值問題，那么我們需要先構造”怎樣才能看到最多的小方塊呢？不難想到，最多能看到與一個頂點相連的三個面。這三個面共有小正方體：12X12X3-11 >3-2=397 （個

5、）或：11X1X3+11X3+1=397 （個）例6如圖是某廣場用地板鋪設的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周 圍是正三角形和正方形的地板磚，從里向外的第一層包括6個正方形和6個正三角形，第二層包括6個正方形和18個正三角形，依次類推，第8層中含有正三角形 個數(shù)是？（圖略）解析：仔細觀察，三角形分成了六大塊，每一塊的整體來說是一個大的正三角 形，這不是我們學過的正三角形的模型嗎？問的是第八層，那就是第 8個單數(shù)： 8X2-1=15 （個），六塊共計 15X5=90 （個）（提高）學案4前8層共用了多少塊正三角形的地磚？解析：參照模型，一大塊正三角形含有 8X8=64 （塊）地磚，那么六塊共計/64 >6=384 （塊）>44* * 里面的標準圖形也有2325C C ?=30 （個）新的有哪些呢？新的長方形一定是跨越兩個標準圖形的，即有的邊只屬于大標 準，有的邊只屬于小標準。不難數(shù)出有 12個。所以圖中長方形總數(shù)一共是 30+30+12=72 （個）。小結：標準” +標準”，要注意+新”例3如圖，由20個邊長為1的小正方形拼成一個4X5長方形中有一格有求：（1）圖中正方形的個數(shù)（2）圖中長方