不等式的性質(zhì)--算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）

1、高中數(shù)學（上冊）教案 第二章 不等式（第5課時） ?？悼h職業(yè)高級中學：洪培福課 題：2.1不等式的性質(zhì)-算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）教學目的：1進一步掌握均值不等式定理；2會應用此定理求某些函數(shù)的最值并解決一些簡單的實際問題 教學重點：均值不等式定理的應用教學難點：解題中的轉(zhuǎn)化技巧授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正數(shù)，那么3.我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)“當且僅當”的含義是充要條件3均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”以長為a+

2、b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC=a,CB=b過點C作垂直于直徑AB的弦DD,那么，即這個圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合；即a=b時，等號成立二、講解新課：1公式的等價變形：ab，ab2 2（ab0），當且僅當ab時取“”號；3定理：如果，那么（當且僅當時取“=”）證明： 上式0 從而指出：這里 若就不能保證（此公式成立的充要條件為）4推論：如果，那么 （當且僅當時取“=”） 證明： 5關于“平均數(shù)”的概念如果 則：叫做這n個正數(shù)的算術平均數(shù)；叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)推廣： 語言表述：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣

3、泛的應用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來進一步學習均值不等式的應用三、講解范例：例1 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：證明： 以上三式相加： 例2 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識證明：a,b,c,d都是正數(shù)，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得即點評：用均值不等式證明題時，要注意為達到目標可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運用時，常需先湊形后運用；均值不等式和不等式的

4、基本性質(zhì)聯(lián)合起來證題是常用的行之有效的方法例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得當因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應

5、注意不等式性質(zhì)的適用條件我們應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案四、課堂練習：1已知x0，當x取什么值時，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x2·81為定值，從而可求和的最小值解：x0x20，0,x2218，當且僅當x2,即x±3時取“”號.故x=

6、77;3時,x2+的值最小,其最小值是182一段長為 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?分析：均值不等式在實際問題中的應用相當廣泛，解題過程中要(1)先構造定值，(2)建立函數(shù)關系式，(3)驗證“”號成立，(4)確定正確答案解法一：設矩形菜園的寬為xm，則長為（2x）m，其中0x，其面積Sx（2x）·2x（2x）當且僅當2x2x即x時菜園面積最大，即菜園長m，寬為 m時菜園面積最大為 m2解法二：設矩形的長為x m，則寬為m，面積S（m2）當且僅當xx，即x（m）時，矩形的面積最大也就是菜園的長為m，寬為m時，菜園的面積

7、最大，最大面積為m23設0x2，求函數(shù)f(x)=的最大值，并求出相應的x值分析：根據(jù)均值不等式：，研究的最值時，一要考慮3x與3x是否為正數(shù)；二要考查式子3x（3x）是否為定值解：0x2, 3x0，3x0f（x）4當且僅當3x3x即x時取“”號,故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時x五、小結 ：本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系定理及其推廣的幾個重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題在解決問題時，我們重點從以下三個方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項都取正值)；二是合理尋求各因式或項的積或和為定值；三是確定等號能夠成立只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點的過程當中合

8、理運用公式的適當形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題六、課后作業(yè)：(1)求函數(shù)y2x2（x0）的最小值(2)求函數(shù)yx2（x0）的最小值(3)求函數(shù)y3x22x3（0x）的最大值(4)求函數(shù)yx（1x2）（0x1)的最大值(5)設a0，b0，且a21，求a的最大值分析：我們來考慮運用正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關系來解答這些問題根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù)，則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r，這個常數(shù)即為另一端的一個最值如，若ab為常數(shù)k，則當且僅當ab時，ab就有最小值2；若ab為常數(shù)s，則當且僅當ab時，就有最大值s（或xy有最大值s2）因此，解決這些問題的關鍵就是

9、如何構造這些“定和”或“定積”解：(1)x0 2x20，0,y2x22x23·當且僅當2x2，即x時等號成立故當x時，y有最小值3·(2)，當且僅當即x±時，等號成立故當x±時，y有最小值3(3)0x 32x0 yx2（32x）x·x·（32x）（）31,當且僅當x32x即x1時，等號成立(4)0x1 1x20 y2x2（1x2）2·2x2（1x2）（1x2）（）3當且僅當2x21x2即x時，等號成立，當x時，y2有最大值由題意可知：y0,故當x時，y有最大值(5)a0，b0，且a21 a，當且僅當a，即a，b時取“”號故當a，b時，a有最大值評述：用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2