Mathematica在大學(xué)物理中的應(yīng)用

1、目 錄一、緒論11.1微分方程的解析解1：求解微分方程的通解11.1.2：求微分方程的特解21.2利用Mathematica作圖2利用Mathematica作一維圖像2利用Mathematica作二維圖像41.3 Mathematica的動畫效果4二、運(yùn)用Mathematic解決數(shù)學(xué)物理方法里的幾個(gè)典型的方程52.1三維波動方的求解52.2三維輸運(yùn)方程的解62.3亥姆霍茲在球坐標(biāo)系下方程的解7三、Mathematica在電動力學(xué)中的應(yīng)用113.1諧振腔113.2波導(dǎo)13四、結(jié)論15致謝17參考文獻(xiàn)181、緒論本文主要是介紹Mathematica在大學(xué)物理方面的應(yīng)用，主要的目的是讓學(xué)生能夠運(yùn)用這

2、個(gè)軟件去解決大學(xué)學(xué)習(xí)中的一些復(fù)雜問題，在這方面國內(nèi)外已經(jīng)有很多學(xué)者把這個(gè)計(jì)算軟件與各門學(xué)科聯(lián)系起來，并且取得了不少的成就，它很好地結(jié)合了數(shù)值和符號計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)、和與其他應(yīng)用程序的高級連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位。本人在學(xué)習(xí)這個(gè)軟件是發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算功能確實(shí)很強(qiáng)大，用來計(jì)算我們大學(xué)物理中遇到的一些難題時(shí)會讓我們的解題變的很輕松。所以我想能不能把物理學(xué)習(xí)和Mathaematica結(jié)合起來，這樣能使我們在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)省下更多的時(shí)間去思考而不是計(jì)算。同時(shí)Mathematica有很多其他強(qiáng)大的功能，我們同學(xué)如果有什么自己的想法可以通過Mathematica來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

3、，驗(yàn)證我們的結(jié)論是否正確。這是我的一點(diǎn)淺薄的想法。本文主要采用了文獻(xiàn)資料法和理論分析法，以及實(shí)驗(yàn)法。以下是關(guān)于Mathematica的一些常用的用法。1.1微分方程的解析解Mathematica 提供了一個(gè)求解微分方程的函數(shù)dsolve，方程求解可以通過調(diào)用dsolve 來實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式：Dsolvef,yx,x，其中f為求解微分方程的表達(dá)式；x為初始條件（若省略則為求通解）；x 為描述微分方程的自變量；對于f的描述如：Dy 表示y'，D2y 表示y"，依次類推；初始條件的描述如：y0=1 表示y'(0)=11.1.1：求解微分方程的通解例1：用兩種方式解非齊次一階

4、線性微分方程例2：解非齊次二階線性常系數(shù)常微分方程1.1.2：求微分方程的特解例1.求解二階線性方程y”+4y=3x的處置條件y(0)=0和y(0)=1 的特解例2.求解齊次微分方程y=(-2x+y)/(x+2y)在定解條件y(1)=1下的隱式特解1.2利用Mathematica作圖1.2.1利用Mathematica作一維圖像繪制函數(shù)y=(ex)*sin(20x)在區(qū)間【0，】上的圖形，函數(shù)y=tanx在區(qū)間【-2 ，2 】的圖形，函數(shù)y=sinx/x在區(qū)間【-2 ，2 】的圖形。圖1.1 y=(ex)*sin(20x)的圖像圖1.2 y=tanx的圖像圖1.3 y=sinx/x的圖像1.2

5、.2利用Mathematica作二維圖像作函數(shù)z=1/(x-1)2+(y-2)2)在區(qū)域-1.5，2x-2,4上的圖形，規(guī)定z的范圍在0,1.5中，且樣本點(diǎn)增加到50點(diǎn)，添加上坐標(biāo)軸的標(biāo)簽。然后，改造這個(gè)圖形，不畫范圍盒，改變視點(diǎn)位置，取消缺省的光線而代之以用與z坐標(biāo)有關(guān)的色調(diào)來著色，孔洞不再覆蓋平面，不畫網(wǎng)格線盒坐標(biāo)軸。將這兩個(gè)圖形列陣顯示，來觀察他們間的差異。圖1.4 曲面圖形選用不同選項(xiàng)的差異1.3 Mathematica的動畫效果例：用函數(shù)Animate作曲面動畫，動畫曲面是變化范圍0, 是參數(shù)t的函數(shù)z=e-(x2+y2)/80*sin(x2+y2+t(-t)在矩形區(qū)域-3 ,3 x

6、-3 ,3 上的圖形。圖1.5 三維動態(tài)圖像2、運(yùn)用Mathematic解決數(shù)學(xué)物理方法里的幾個(gè)典型的方程2.1三維波動方的求解這個(gè)物理問題會在以后所要學(xué)習(xí)的電動力學(xué)以及量子力學(xué)上都會有具體的應(yīng)用，這里我們通過運(yùn)用Mathematica來解決這個(gè)問題，為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時(shí)使我們學(xué)生學(xué)會知識的結(jié)合應(yīng)用。 -au=0 (2-1) 令u（x,y,z,t）=T(t)v(x,y,z),帶人（1）式分離變量得 T+aT=0 （2-2）v+kv=0 （2-3）我們運(yùn)用Mathematica來解這種常微分方程比較容易。我們令m=C2,n=C1;由于上面方程中的a ,k,C2,C1,的值都是待定的我們可以給

7、他們賦值K-5,5;a0,50;m0,100;n0,100圖2.1 三維波動方程時(shí)間函數(shù)的圖像2.2三維輸運(yùn)方程的解物體內(nèi)部的溫度分部不均勻，熱量就要從溫度高的放向溫度低的地方，這種現(xiàn)象叫做熱傳導(dǎo)。這里我們考慮時(shí)間和空間的變化。三維熱傳導(dǎo)方程分有熱源和無熱源的，這里我們主要討論無熱源的三維熱傳導(dǎo)方程-a2u=0 （2-4） 我們分離時(shí)間與空間變量得到 T+ kaT=0 （2-5）v+kv=0 （2-6）運(yùn)用Mathematica對于上面方程中的時(shí)間變量進(jìn)行求解，空間變量得求解我們放到后面一起求解。K0,5;a0,5,M0,10k = 1; a = 1; M = 2;圖2.3 三維熱傳導(dǎo)方程時(shí)間

8、函數(shù)的圖像2.3亥姆霍茲在球坐標(biāo)系下方程的解這里我們把上面分離出來的空間變量也就是亥姆霍茲方程拿來分析一下，在平面坐標(biāo)系下我們不易求的簡易的解，故我們把平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成球坐標(biāo)系下，得到下面的亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系下的方程， （2-7）利用球坐標(biāo)將方程分離變量得到v(r, ,)=R(r)Y(,),帶入上式得到 (2-8)以/RY乘遍上式并分離變量，得到兩個(gè)方程， (2-9) (2-10)將上式（10）中的Y分離變量得到Y(jié)（，）=（）（）帶入（10）式得到= （2-11） （2-12） （2-13） （2-14） （2-15）對于式14中的=,m=0,1,2,3運(yùn)用Mathematica進(jìn)行運(yùn)算圖

9、2.3 亥姆霍茲方程球坐標(biāo)系下經(jīng)度角函數(shù)的方程=帶入方程（14） （2-16）令,則 （2-17）從而（16）式成為 （2-18）即 （2-19）此方程為階締合勒讓德方程（也稱斯-劉型）如果函數(shù)是關(guān)于球坐標(biāo)系的極軸對稱，即與無關(guān)，這時(shí)=0是特例，此時(shí)方程變?yōu)殡A勒讓德方程 （2-20） 我們對上面的方程進(jìn)行求解 而對于方程（9）即為階球貝塞爾方程，因?yàn)?gt;0?？砂炎宰兞亢瘮?shù)變?yōu)閥x,xx=kr, R(r)= 方程變?yōu)?（2-21）令A(yù)=C1,B=C2l0.1,7;k0.1,10;A0.1,0.1;B10,10A = 0.1; B = 10; l = 5; k = 5;運(yùn)用Mathematic

10、a進(jìn)行作圖圖2.4 l階球貝塞爾方程的圖像上面是對數(shù)理方法中的幾個(gè)典型的問題運(yùn)用Mathematica進(jìn)行的求解，我們發(fā)現(xiàn)運(yùn)用那個(gè)Mathematica進(jìn)行求解比課本上的用達(dá)朗貝爾公式以及本征值等方法要簡便，而且輔助以圖形，使我們對其有了形象的認(rèn)識。不只是抽象的空想。3、Mathematica在電動力學(xué)中的應(yīng)用3.1諧振腔在高頻電磁波的傳播中，我們一般用諧振腔來產(chǎn)生一定頻率的電磁振蕩。諧振腔是中空的金屬腔，電磁波在腔內(nèi)以某個(gè)特定的頻率振蕩。若取x,y軸在切面上，z軸在法線面上，由于該處，因此方程在靠近邊界上為即：在諧振腔內(nèi)，取金屬內(nèi)壁表面分別為X=0和L1，y=0和L2，z=0和L3,電場和磁

11、場任一直角分量都滿足亥姆霍茲方程。設(shè)為E或H的任一直角分量，有：，令= (3-1)則上式分解為 （3-2）把上面的函數(shù)用Mathematica進(jìn)行處理。根據(jù)邊界條件： （3-3）其中考慮到邊界條件有：其中(m,n,p=0,1,2)m,n,p分別為矩形三邊所含的半波數(shù)目。由于E=0，所以 (3-4)圖3.1 電磁波在諧振腔中傳播的圖像3.2波導(dǎo)波導(dǎo)適用于微波段得電磁波傳播，當(dāng)頻率變高時(shí)，內(nèi)導(dǎo)線的焦耳熱會變大，這時(shí)我們需要用波導(dǎo)來代替同軸傳輸線，波導(dǎo)是一根空心的金屬管，截面為矩形或圓形。這里我們?nèi)?nèi)壁面為x=0和a，y=0和b；z軸沿傳播方向，在一定頻率下， (3-5) （3-6）其方程與諧振腔相

12、同可得：考慮邊界條件有：又因?yàn)樗?(3-7)圖3.2 電磁波在波導(dǎo)內(nèi)傳播的圖像4、結(jié)論 Mathematica系統(tǒng)是目前世界上應(yīng)用最廣泛的符號計(jì)算系統(tǒng)，能夠完成符號和數(shù)值運(yùn)算、數(shù)學(xué)圖形繪制甚至動畫制作等多種功能。 Mathematica被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、航空航天等許多領(lǐng)域。無論您屬于什么領(lǐng)域，Mathematica都能與您的課程和研究結(jié)合。無論計(jì)算、編程、學(xué)習(xí)、文檔制作、或是開發(fā)，Mathematica都能給到最大的幫助。本文主要講述了在大學(xué)物理方面的一點(diǎn)應(yīng)用，我們在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中會遇到各種不太了解的問題，僅憑自己主觀的抽象思維有時(shí)不能把問題真正的搞懂，這時(shí)我們可以

13、借助Mathematica這個(gè)計(jì)算工具是我們能夠形象的理解一些物理現(xiàn)象。大學(xué)中一些復(fù)雜的物理計(jì)算過程通過Mathematica來運(yùn)算就會變得非常的簡潔。省下了很多的時(shí)間，讓我們同學(xué)有更充分的時(shí)間在研究物理問題上，而不是單純的解數(shù)學(xué)公式。對于本科生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)也很有好處，有些同學(xué)在自己學(xué)有余力的時(shí)候可以自己研究大學(xué)中的一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象，借助Mathematica使我們本科生能夠自己提高自己的專業(yè)水平，這是我的一點(diǎn)淺薄的認(rèn)識。致謝畢業(yè)論文大體部分已經(jīng)完成，現(xiàn)在回頭看看，才知道當(dāng)初的自己有多么狂妄。論文認(rèn)真寫起來豈是一件容易的事情，可我第一次見李老師時(shí)就說要選計(jì)算物理方面的題目。李老師不僅沒有責(zé)怪我，反而很支持我的想法，還幫我借資料，從各個(gè)方面給我?guī)椭?。我能按照自己的意愿將論文做到現(xiàn)在，這都有賴于老師寬廣的胸懷和不拘一格思想，能選擇李老師當(dāng)我的指導(dǎo)老師是我的榮幸，在此感謝老師這一學(xué)期來對我的支持和照顧。大學(xué)生活即將結(jié)束，這是我人生最美好的一段時(shí)光，我非常感謝學(xué)校能給我這樣一個(gè)時(shí)間和空間。最后，我要感謝我的“家人”，謝謝他們給我的人生帶來莫大的安慰。參考文獻(xiàn)1赫孝良周義倉MA