經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)--第四章不定積分ppt課件

1、4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)4.2 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法4.3 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法第第4章章 不定積分不定積分完畢前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè) 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數(shù).定義定義 設(shè)設(shè)f (x) f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)該區(qū)間的任在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)該區(qū)間的任意點(diǎn)意點(diǎn)x x都有都有 F(x)=f (x) F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dxdF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)F(x)為為 f (x)f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原

2、函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù). .4.1.1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念 例如: ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù). ,sin x是cos x在 上的原函數(shù).(,) 32()3xx 2x33x(,) (sin )cos x x4.1 4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè) (2) (2)如果如果f(x)f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的不是唯一的, ,且有無窮多個(gè)且有無窮多個(gè)注注:(1):(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在在例如例如而而在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)

3、(,) sin1,sin2xx sin xcosxsin1,sin3xx 也是它的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加任意常數(shù)都是加任意常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcosx (3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)定義定義2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F(x)F(x)是是f (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)，那么那么f (x)f (x)的全體原函數(shù)的全體原函數(shù)F(x) F(x) C(CC(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )稱為稱為f f (x)(x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的不定積分上的不定積分.

4、. 記作記作( )df xx其中記號(hào)其中記號(hào) 稱為積分號(hào)，稱為積分號(hào)，f (x)f (x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f f (x)dx(x)dx稱為被積表達(dá)式，稱為被積表達(dá)式，x x稱為積分變量，稱為積分變量，C C為積分常數(shù)為積分常數(shù). . ( )d( )f x xF xC，即2.不定積分的概念不定積分的概念前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例2 2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 1 求求.d4xx54()5由由于于，xx解解54d.5xCxx所所以以前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例3 3 求求.d1xx

5、,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 時(shí)，有當(dāng)解解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx時(shí)，有當(dāng)1dln (0).xxCxx所所以以, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng)1dln().xxCx又又前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)3 3 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特別地，有特別地，有d.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)(6) sin dcos

6、xxxC (1) d kxkxC4.1.24.1.2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例4 4 計(jì)算下列

7、積分計(jì)算下列積分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例5 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxCC (2)前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)4.1.3 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以

8、移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面號(hào)的前面. .( )d( )dkf xxk f xx).0(kk是常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2 2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .nnxxxxxxxxxxffffff性質(zhì)性質(zhì)2 2 兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和( (或差或差) )的不定積分等于各函數(shù)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和不定積分的和( (或差或差) )，即，即 ( )( )d( )d( )d .f xg xxf xxg xx前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例6 6 求求32543)d .(2xxxx32 2d5

9、d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例7 7 求求xxxd )sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解解2 ( cos )2cos.ln3ln333xxxCxC 例例8 8 求求2d .(1)xxx 531222221()(所所以以xxxxxxxd) d53122222,(1) xxxxx解解xxxxxxdd2d212325.3254722325

10、27Cxxx前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè).xexC1 ) d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d .1xxxee例例11 11 求求前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)cos2d .sincosxxxx cossin.xx C例例12 12 求求cos2(sincos )(sincos )ddsincossincosxxxxxxxxxxx解解(sincos )xx dx 有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)經(jīng)過對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例的

11、積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例9 91212。 前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè),d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，則有得uxd21d .d2cosxx求例例14.2 4.2 換元積分法換元積分法4.2.1 4.2.1 第一類換元法第一類換元法前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè) )()()d( 有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則如果，設(shè)xuCuFuuf ( )( )d ( ) (1)fx xxFxC 定理定理1 1前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)根據(jù)不定積分的定義，則有根據(jù)不定積分的定義，則有.)(d)( )(CxFxxxf 公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一

12、換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分法 應(yīng)用定理應(yīng)用定理1 1求不定積分的步驟為求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx湊微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux變量代換還原前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)例例2 求求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解uud31=200820092009111(31).320096027CxCu前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)設(shè)設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且且定理定理2)(tx( )0t( )( )d( )ftttF tC那么那么( )d( )( )d( ) f xxftttF tC1( ) FxC應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg ttF tCxt 換換元元( ) tx 還還原原1( )FtC 前頁(yè)前頁(yè)結(jié)束結(jié)束后頁(yè)后頁(yè)由函數(shù)乘積的微分公式由函數(shù)乘積的微分公式d()d( )d( )uvvuuv，移項(xiàng)得移項(xiàng)得d( )d()d( )uvuvvu，dd (1)u