第五節(jié)洛朗級數(shù)展開ppt課件

1、13.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開一一. 問題的提出問題的提出已知結(jié)果：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級數(shù)。問題是：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R2外收斂。如果R2R1，那么雙邊冪級數(shù)就在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 內(nèi)收斂，所以 R2|z-z0|R1給出了雙邊冪級數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對且一致收斂。400)(nnnzza正冪部分10)(nnnzza負(fù)冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收斂環(huán)R2|z-z0|R101zz 5 , 2, 1 2110kdzfiaCkk其中 ,0kknz

2、zazf 可展開成為冪級數(shù)上任一點內(nèi)單值解析，則對環(huán)域在設(shè)定理)(z, 102zfRzzRzf并并且且展展開開式式唯唯一一積分路徑積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉合為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉合曲線曲線.四四. 洛朗定理洛朗定理61RC1RC2RC2RC1R2RC為了避免討論在圓周上函數(shù)的為了避免討論在圓周上函數(shù)的解析性及級數(shù)的收斂性問題解析性及級數(shù)的收斂性問題,將外圓稍微將外圓稍微縮小為縮小為 ,內(nèi)圓稍微擴大為內(nèi)圓稍微擴大為 ,如圖如圖1RC2RC應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式有應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式有21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf下面將下

3、面將 展開為冪級數(shù)展開為冪級數(shù),對于沿對于沿 的積分的積分,展開如下展開如下:z11RC0100)()(1kkkzzzz而對于沿而對于沿 的積分的積分,考慮到考慮到2RC00zzz用以下方法將其展開用以下方法將其展開70100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzz zzzzzzzzz21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf把分別沿把分別沿 和和 的展開式代入下式的展開式代入下式,然后逐項積分可得然后逐項積分可得1RC2RC21)()(21)()()(21)()(00)1(01000RRClllCkkkdfzizz dzfizzzf把第二部

4、分中的把第二部分中的k=-(l+1)代替代替l作為求和指標(biāo)作為求和指標(biāo),并根據(jù)柯西定理并根據(jù)柯西定理8把積分回路改為把積分回路改為1RC可得可得kkkzzazf)()(0其中其中CkCkkdzfi dzfiaR1010)()(21)()(211C為環(huán)域內(nèi)沿逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉回線為環(huán)域內(nèi)沿逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉回線,上式稱之為上式稱之為f(z)的洛朗展開的洛朗展開,右端的級數(shù)稱為洛朗級數(shù)右端的級數(shù)稱為洛朗級數(shù)說明說明: 雖然級數(shù)中含有雖然級數(shù)中含有z-z0的負(fù)冪項的負(fù)冪項,而這些項在而這些項在z=z0時都是時都是 奇異的奇異的,但點但點z0可能是也可能不是函數(shù)可能是也可能不是函數(shù)

5、f(z)的奇點的奇點雖然展開系數(shù)雖然展開系數(shù)ak的公式與泰勒展開系數(shù)的公式與泰勒展開系數(shù)ak的公式形式的公式形式 一樣一樣,但這里但這里!/ )(0)(kzfakk不論不論z0是不是是不是f(z)奇點奇點.如果是奇點如果是奇點,那么那么)(0)(zfk根本不存在根本不存在9如果如果z0不是奇點不是奇點,那么那么)(0)(zfk!/ )(0)(kzfk因為因為dzfikzfCkk100)()()(2!)(成立的條件是以成立的條件是以C為邊界的為邊界的區(qū)域上區(qū)域上f(z)解析解析,但現(xiàn)在區(qū)域上有但現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點的奇點,(如果沒有奇點如果沒有奇點,就不用就不用考慮洛朗級數(shù)的展開考慮洛朗級

6、數(shù)的展開)不是不是z0(3) 如果只有環(huán)心如果只有環(huán)心z0是是f(z)的奇點的奇點,則內(nèi)圓半徑可以任意小則內(nèi)圓半徑可以任意小,同時同時z可以無限接近可以無限接近z0,這個時候稱為這個時候稱為f(z)在它的孤立奇點在它的孤立奇點z0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式的洛朗級數(shù)展開式,這種情況特別重要這種情況特別重要,以后將利用它研究函以后將利用它研究函數(shù)在孤立奇點附近的性質(zhì)數(shù)在孤立奇點附近的性質(zhì).(4) 洛朗級數(shù)展開式也是唯一的洛朗級數(shù)展開式也是唯一的,這點和泰勒級數(shù)是一致的這點和泰勒級數(shù)是一致的,此唯一此唯一 性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函數(shù)的洛朗展開式性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函

7、數(shù)的洛朗展開式存在存在,但但 仍然不等于仍然不等于ka10在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把(sinz)/z展開展開解解:函數(shù)函數(shù)(sinz)/z在原點沒有定義在原點沒有定義,z0=0是奇點是奇點引用引用sinz在原點的鄰域上的展開式在原點的鄰域上的展開式:).(! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz同時為了避開奇點同時為了避開奇點,從復(fù)平面挖去奇點從復(fù)平面挖去奇點,在挖去奇點的復(fù)數(shù)平面上在挖去奇點的復(fù)數(shù)平面上用用z遍除遍除sinz的展開式的展開式,就得到就得到(sinz)/z的展開式的展開式)0.(! 7! 5! 31sin642zzzzzz如果我們定義一個函數(shù)如果我們定義一個函數(shù)f

8、(z)如下如下:)0(1sinlim)0(sin)(0z zzz zzzfz11則則f(z)在整個開平面上是解析的在整個開平面上是解析的,由上我們可得到由上我們可得到f(z)在在z0=0的的鄰域上的展開式鄰域上的展開式:).(! 7! 5! 31)(642zzzzzf同時也是解析函數(shù)同時也是解析函數(shù)f(z)的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)!解解:在在 的環(huán)域上將函數(shù)的環(huán)域上將函數(shù)f(z)=1/(z2-1)展開為洛朗級數(shù)展開為洛朗級數(shù)|1z22222460211111111.111kkzzzzzzzz在展開式中出現(xiàn)無限多負(fù)冪次項在展開式中出現(xiàn)無限多負(fù)冪次項,但但z=0本身不是函數(shù)的奇點本身不是函數(shù)的奇點奇點

9、為奇點為z=士士112在在z0=1的鄰域上把的鄰域上把f(z)=1/(z2-1)展開為洛朗級數(shù)展開為洛朗級數(shù)解解:先把先把f(z)分解為分項公式分解為分項公式11211121) 1)(1(1)(zzzzzf第二項只有一個奇點第二項只有一個奇點z=-1,因此可在因此可在z0=1的鄰域的鄰域|z-1|2上可以展上可以展為泰勒級數(shù)如下為泰勒級數(shù)如下:)21(21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210z zzzzkkk由此我們可得由此我們可得)210(121) 1(112111022z zzzkkkk展開式里邊出現(xiàn)了展開式里邊出現(xiàn)了-1次項次項13解解:)|.(|! 31! 21

10、! 111!1320zzzzzkekkz我們知道我們知道ex在原點鄰域上的展開式為在原點鄰域上的展開式為把把z全換成全換成1/z,可得到以下結(jié)果可得到以下結(jié)果:)|1.(|1! 311! 211! 1111!13201zzzzzkekkz即即|)|0()!(101z zkekkz這里出現(xiàn)無限多負(fù)冪項這里出現(xiàn)無限多負(fù)冪項.在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把 展開為洛朗級數(shù)展開為洛朗級數(shù)ze/114解解:在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把 展開為洛朗級數(shù)展開為洛朗級數(shù))1(21zzxe由前邊的結(jié)論我們可得絕對收斂級數(shù)由前邊的結(jié)論我們可得絕對收斂級數(shù))|(|21!1021z xzlellxz|)|0(1

11、21!10121z zxnennzx以上兩個絕對收斂級數(shù)可以逐項相乘以上兩個絕對收斂級數(shù)可以逐項相乘,乘積中既有無限多正冪項乘積中既有無限多正冪項又有無限多負(fù)冪項又有無限多負(fù)冪項,為了得到乘積中某個正冪為了得到乘積中某個正冪zm0m(1)(2)應(yīng)取應(yīng)取(2)中所有各項分別用中所有各項分別用(1)中的中的l=n+m項去乘項去乘,為得到某個負(fù)冪項為得到某個負(fù)冪項z-h0h應(yīng)取應(yīng)取(1)中所有項而分別用中所有項而分別用(2)中的中的n=l+h項去乘項去乘,由此可以得到以下結(jié)果由此可以得到以下結(jié)果:15)|0(2)!( !) 1() 1(2!)!() 1(102002)1(21 z zxhll zxn

12、nmehhllhlhmmnnmnzzx將將-h記為記為m, l記為記為n,則有則有)|0(2|)!|( !) 1() 1(2!)!() 1(102|002)1(21 z zxmnn zxnnmemmnnmnmmmnnmnzzx利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成mmmzzxzxJe)()1(21中括號里邊是中括號里邊是m階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù)Jm(x)16 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開成洛朗級數(shù)試把例zzzf .zzzf 2111i解解 z-11 nzzz21 z21 2121z.zzznn 22212122 zf 42121122zzzz

13、2874321zz 1 217 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開成洛朗級數(shù)試把例zzzf ,zzzf 2111ii解解 z-11 zz111 21111zzz z21 2121z.zzznn 22212122 zf 842111121zzzzznn 1218 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開成洛朗級數(shù)試把例zzzf ,zzzf 2111iii解解 z-11 zz111 21111zzz z21 zz211.zzz 24211 33z 21z zf 47z 1219 的洛朗級數(shù)關(guān)于例：求1211zzzzf12 111 z21 z 21111zz 111 z zf 211111zzz時，時，110 z時，時， 11z21 z 111 z 21111111zzz11111 zz zf 321111zz解解20 內(nèi)展成洛朗級數(shù)。在把例 zezzfz013 3zzf 32312111z!z!z z!zzz4131223 解解必須計算無窮多個積分才能得到必須計算無窮多個積分才能得到,而不能像泰勒級數(shù)通過求導(dǎo)得而不能