第五節(jié)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)ppt課件

1、13.5 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)一一. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出已知結(jié)果：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。問(wèn)題是：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R2外收斂。如果R2R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 內(nèi)收斂，所以 R2|z-z0|R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。400)(nnnzza正冪部分10)(nnnzza負(fù)冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收斂環(huán)R2|z-z0|R101zz 5 , 2, 1 2110kdzfiaCkk其中 ,0kknz

2、zazf 可展開(kāi)成為冪級(jí)數(shù)上任一點(diǎn)內(nèi)單值解析，則對(duì)環(huán)域在設(shè)定理)(z, 102zfRzzRzf并并且且展展開(kāi)開(kāi)式式唯唯一一積分路徑積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉合為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉合曲線曲線.四四. 洛朗定理洛朗定理61RC1RC2RC2RC1R2RC為了避免討論在圓周上函數(shù)的為了避免討論在圓周上函數(shù)的解析性及級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題解析性及級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題,將外圓稍微將外圓稍微縮小為縮小為 ,內(nèi)圓稍微擴(kuò)大為內(nèi)圓稍微擴(kuò)大為 ,如圖如圖1RC2RC應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式有應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式有21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf下面將下

3、面將 展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù),對(duì)于沿對(duì)于沿 的積分的積分,展開(kāi)如下展開(kāi)如下:z11RC0100)()(1kkkzzzz而對(duì)于沿而對(duì)于沿 的積分的積分,考慮到考慮到2RC00zzz用以下方法將其展開(kāi)用以下方法將其展開(kāi)70100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzz zzzzzzzzz21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf把分別沿把分別沿 和和 的展開(kāi)式代入下式的展開(kāi)式代入下式,然后逐項(xiàng)積分可得然后逐項(xiàng)積分可得1RC2RC21)()(21)()()(21)()(00)1(01000RRClllCkkkdfzizz dzfizzzf把第二部

4、分中的把第二部分中的k=-(l+1)代替代替l作為求和指標(biāo)作為求和指標(biāo),并根據(jù)柯西定理并根據(jù)柯西定理8把積分回路改為把積分回路改為1RC可得可得kkkzzazf)()(0其中其中CkCkkdzfi dzfiaR1010)()(21)()(211C為環(huán)域內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉回線為環(huán)域內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉回線,上式稱之為上式稱之為f(z)的洛朗展開(kāi)的洛朗展開(kāi),右端的級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)右端的級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)說(shuō)明說(shuō)明: 雖然級(jí)數(shù)中含有雖然級(jí)數(shù)中含有z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),而這些項(xiàng)在而這些項(xiàng)在z=z0時(shí)都是時(shí)都是 奇異的奇異的,但點(diǎn)但點(diǎn)z0可能是也可能不是函數(shù)可能是也可能不是函數(shù)

5、f(z)的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)雖然展開(kāi)系數(shù)雖然展開(kāi)系數(shù)ak的公式與泰勒展開(kāi)系數(shù)的公式與泰勒展開(kāi)系數(shù)ak的公式形式的公式形式 一樣一樣,但這里但這里!/ )(0)(kzfakk不論不論z0是不是是不是f(z)奇點(diǎn)奇點(diǎn).如果是奇點(diǎn)如果是奇點(diǎn),那么那么)(0)(zfk根本不存在根本不存在9如果如果z0不是奇點(diǎn)不是奇點(diǎn),那么那么)(0)(zfk!/ )(0)(kzfk因?yàn)橐驗(yàn)閐zfikzfCkk100)()()(2!)(成立的條件是以成立的條件是以C為邊界的為邊界的區(qū)域上區(qū)域上f(z)解析解析,但現(xiàn)在區(qū)域上有但現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點(diǎn)的奇點(diǎn),(如果沒(méi)有奇點(diǎn)如果沒(méi)有奇點(diǎn),就不用就不用考慮洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)考慮洛朗級(jí)

6、數(shù)的展開(kāi))不是不是z0(3) 如果只有環(huán)心如果只有環(huán)心z0是是f(z)的奇點(diǎn)的奇點(diǎn),則內(nèi)圓半徑可以任意小則內(nèi)圓半徑可以任意小,同時(shí)同時(shí)z可以無(wú)限接近可以無(wú)限接近z0,這個(gè)時(shí)候稱為這個(gè)時(shí)候稱為f(z)在它的孤立奇點(diǎn)在它的孤立奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式,這種情況特別重要這種情況特別重要,以后將利用它研究函以后將利用它研究函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì)數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì).(4) 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式也是唯一的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式也是唯一的,這點(diǎn)和泰勒級(jí)數(shù)是一致的這點(diǎn)和泰勒級(jí)數(shù)是一致的,此唯一此唯一 性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)式性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函

7、數(shù)的洛朗展開(kāi)式存在存在,但但 仍然不等于仍然不等于ka10在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把(sinz)/z展開(kāi)展開(kāi)解解:函數(shù)函數(shù)(sinz)/z在原點(diǎn)沒(méi)有定義在原點(diǎn)沒(méi)有定義,z0=0是奇點(diǎn)是奇點(diǎn)引用引用sinz在原點(diǎn)的鄰域上的展開(kāi)式在原點(diǎn)的鄰域上的展開(kāi)式:).(! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz同時(shí)為了避開(kāi)奇點(diǎn)同時(shí)為了避開(kāi)奇點(diǎn),從復(fù)平面挖去奇點(diǎn)從復(fù)平面挖去奇點(diǎn),在挖去奇點(diǎn)的復(fù)數(shù)平面上在挖去奇點(diǎn)的復(fù)數(shù)平面上用用z遍除遍除sinz的展開(kāi)式的展開(kāi)式,就得到就得到(sinz)/z的展開(kāi)式的展開(kāi)式)0.(! 7! 5! 31sin642zzzzzz如果我們定義一個(gè)函數(shù)如果我們定義一個(gè)函數(shù)f

8、(z)如下如下:)0(1sinlim)0(sin)(0z zzz zzzfz11則則f(z)在整個(gè)開(kāi)平面上是解析的在整個(gè)開(kāi)平面上是解析的,由上我們可得到由上我們可得到f(z)在在z0=0的的鄰域上的展開(kāi)式鄰域上的展開(kāi)式:).(! 7! 5! 31)(642zzzzzf同時(shí)也是解析函數(shù)同時(shí)也是解析函數(shù)f(z)的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)!解解:在在 的環(huán)域上將函數(shù)的環(huán)域上將函數(shù)f(z)=1/(z2-1)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)|1z22222460211111111.111kkzzzzzzzz在展開(kāi)式中出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪次項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪次項(xiàng),但但z=0本身不是函數(shù)的奇點(diǎn)本身不是函數(shù)的奇點(diǎn)奇點(diǎn)

9、為奇點(diǎn)為z=士士112在在z0=1的鄰域上把的鄰域上把f(z)=1/(z2-1)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)解解:先把先把f(z)分解為分項(xiàng)公式分解為分項(xiàng)公式11211121) 1)(1(1)(zzzzzf第二項(xiàng)只有一個(gè)奇點(diǎn)第二項(xiàng)只有一個(gè)奇點(diǎn)z=-1,因此可在因此可在z0=1的鄰域的鄰域|z-1|2上可以展上可以展為泰勒級(jí)數(shù)如下為泰勒級(jí)數(shù)如下:)21(21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210z zzzzkkk由此我們可得由此我們可得)210(121) 1(112111022z zzzkkkk展開(kāi)式里邊出現(xiàn)了展開(kāi)式里邊出現(xiàn)了-1次項(xiàng)次項(xiàng)13解解:)|.(|! 31! 21

10、! 111!1320zzzzzkekkz我們知道我們知道ex在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為把把z全換成全換成1/z,可得到以下結(jié)果可得到以下結(jié)果:)|1.(|1! 311! 211! 1111!13201zzzzzkekkz即即|)|0()!(101z zkekkz這里出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng)這里出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng).在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把 展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)ze/114解解:在在z0=0的鄰域上把的鄰域上把 展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù))1(21zzxe由前邊的結(jié)論我們可得絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)由前邊的結(jié)論我們可得絕對(duì)收斂級(jí)數(shù))|(|21!1021z xzlellxz|)|0(1

11、21!10121z zxnennzx以上兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相乘以上兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相乘,乘積中既有無(wú)限多正冪項(xiàng)乘積中既有無(wú)限多正冪項(xiàng)又有無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng)又有無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng),為了得到乘積中某個(gè)正冪為了得到乘積中某個(gè)正冪zm0m(1)(2)應(yīng)取應(yīng)取(2)中所有各項(xiàng)分別用中所有各項(xiàng)分別用(1)中的中的l=n+m項(xiàng)去乘項(xiàng)去乘,為得到某個(gè)負(fù)冪項(xiàng)為得到某個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z-h0h應(yīng)取應(yīng)取(1)中所有項(xiàng)而分別用中所有項(xiàng)而分別用(2)中的中的n=l+h項(xiàng)去乘項(xiàng)去乘,由此可以得到以下結(jié)果由此可以得到以下結(jié)果:15)|0(2)!( !) 1() 1(2!)!() 1(102002)1(21 z zxhll zxn

12、nmehhllhlhmmnnmnzzx將將-h記為記為m, l記為記為n,則有則有)|0(2|)!|( !) 1() 1(2!)!() 1(102|002)1(21 z zxmnn zxnnmemmnnmnmmmnnmnzzx利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成mmmzzxzxJe)()1(21中括號(hào)里邊是中括號(hào)里邊是m階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù)Jm(x)16 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)試把例zzzf .zzzf 2111i解解 z-11 nzzz21 z21 2121z.zzznn 22212122 zf 42121122zzzz

13、2874321zz 1 217 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)試把例zzzf ,zzzf 2111ii解解 z-11 zz111 21111zzz z21 2121z.zzznn 22212122 zf 842111121zzzzznn 1218 z2 iii z1 ii z0 i ; 2; 1211展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)試把例zzzf ,zzzf 2111iii解解 z-11 zz111 21111zzz z21 zz211.zzz 24211 33z 21z zf 47z 1219 的洛朗級(jí)數(shù)關(guān)于例：求1211zzzzf12 111 z21 z 21111zz 111 z zf 211111zzz時(shí)，時(shí)，110 z時(shí)，時(shí)， 11z21 z 111 z 21111111zzz11111 zz zf 321111zz解解20 內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)。在把例 zezzfz013 3zzf 32312111z!z!z z!zzz4131223 解解必須計(jì)算無(wú)窮多個(gè)積分才能得到必須計(jì)算無(wú)窮多個(gè)積分才能得到,而不能像泰勒級(jí)數(shù)通過(guò)求導(dǎo)得而不能