（精選）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品32：不等式組及線性規(guī)劃--備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講-全部-歡迎

1、第32講 不等式解法及應(yīng)用備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1不等關(guān)系通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景；2一元二次不等式經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程；通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖3二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決二【命題走向】分析近

2、幾年的高考試題，本將主要考察不等式的解法，綜合題多以與其他章節(jié)（如函數(shù)、數(shù)列等）交匯。從題型上來(lái)看，多以比較大小，解簡(jiǎn)單不等式以及線性規(guī)劃等，解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列中的應(yīng)用預(yù)測(cè)2010年高考的命題趨勢(shì)：1結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì)，解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn)；2以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍是高考的熱點(diǎn)，主要考察考生閱讀以及分析、解決問(wèn)題的能力；3在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題，特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合命題這一變化趨勢(shì)；4對(duì)含參數(shù)的不等式，要加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí)，學(xué)會(huì)分析引起分類討

3、論的原因，合理分類，不重不漏三【要點(diǎn)精講】1不等式的解法解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。高考試題中，對(duì)解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。（1）同解不等式（(1)與同解；（2）與同解，與同解；（3）與同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。情況分別解之。3一元二次不等式或分及情況分別解之，還要注意的三種情況，即或或，最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象4分式不等式分式不等式的等價(jià)變形：>0f(x)·g(x)>

4、;0，0。5簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對(duì)值不等式。高考試題中，對(duì)絕對(duì)值不等式從多方面考查。解絕對(duì)值不等式的常用方法：討論法：討論絕對(duì)值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式；等價(jià)變形：解絕對(duì)值不等式常用以下等價(jià)變形：|x|<ax2<a2a<x<a(a>0)，|x|>ax2>a2x>a或x<a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<

5、;g(x)。6指數(shù)不等式 ；7對(duì)數(shù)不等式 等， （1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，。8線性規(guī)劃（1）平面區(qū)域一般地，二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線。當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把直線畫(huà)成實(shí)線說(shuō)明：由于直線同側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到實(shí)數(shù)符號(hào)都相同，所以只需在直線某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地，當(dāng)時(shí)，通常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)（2）有關(guān)概念引例：設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值。由題意，變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平

6、面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時(shí)，隨之增大。由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，。在上述引例中，不等式組是一組對(duì)變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問(wèn)題

7、中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解四【典例解析】題型1：簡(jiǎn)單不等式的求解問(wèn)題例1、（福建省福州市普通高中09年高三質(zhì)量檢查）已知，則不等式 的解集是（ ）A（2，0）BC D答案 C 8如果那么的取值范圍是_。答案：解析：因故易錯(cuò)警示：利用真數(shù)大于零得x不等于 ，從而正弦值就不等于.其實(shí)x等于時(shí)可取得該值。例2同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均分將降低； 反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高. 這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ) 言描述為：若有限數(shù)列 滿足，則 （結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示

8、）.和17. 在4×9×=60的兩個(gè)中，分別填入兩自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上 和 。答案：設(shè)兩數(shù)為x、y，即4x9y=60，又= ，等于當(dāng)且僅當(dāng)，且4x9y=60，即x=6且y=4時(shí)成立，故應(yīng)分別有6、4。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法是高中數(shù)學(xué)中常用到的求范圍問(wèn)題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）題型2：簡(jiǎn)單的絕對(duì)值、涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)和三角的不等式的求解問(wèn)題例3（1）某生物生長(zhǎng)過(guò)程中，在三個(gè)連續(xù)時(shí)段內(nèi)的增長(zhǎng)量都相等，在各時(shí)段內(nèi)平均增長(zhǎng)速度分別為v1，v2,v3,該生物在所討論的整個(gè)時(shí)段內(nèi)的平均增長(zhǎng)速度為 A. B. C.D. 解：設(shè)三個(gè)連續(xù)

9、時(shí)段為t1，t2，t3，各時(shí)段的增長(zhǎng)量相等，設(shè)為M，則M= v1 t1= v2 t2=v3 t3，整個(gè)時(shí)段內(nèi)的平均增長(zhǎng)速度為=，選D（2） 如圖所示，某公園要在一塊綠地的中央修建兩個(gè)相同的矩形的池塘，每個(gè)面積為10000米2，池塘前方要留4米寬的走道，其余各方為2米寬的走道，問(wèn)每個(gè)池塘的長(zhǎng)寬各為多少米時(shí)占地總面積最少？(14)解：設(shè)池塘的長(zhǎng)為x米時(shí)占地總面積為S （1分） 故池塘的寬為米 （1分） （3分） 故 （2分） （2分） （1分） （3分） 答：每個(gè)池塘的長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)占地總面積最小。（1分）點(diǎn)評(píng)：該題體現(xiàn)了對(duì)討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對(duì)值的基本方法的要求（2）答案：C解法一

10、：當(dāng)x2時(shí)，原不等式化為，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。注意x2，得2x；當(dāng)0x2時(shí)，原不等式化為，去分母得x2x6x2x6。即2x0 注意0x2，得0x2。綜上得0x，所以選C。解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除A；取x=2.5，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的解法、直覺(jué)思維能力、估算能力。例4 （2）在（0，2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x取值范圍為（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）（3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）(A)（

11、1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解析：將（2）答案：C解法一：作出在（0，2）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，由圖46可得C答案。圖46 圖47解法二：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.（如圖47）。（3）C；點(diǎn)評(píng)：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問(wèn)題的有效手段。題型3：含參數(shù)的不等式的求解問(wèn)題例5（1）設(shè)不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？（2）解關(guān)于x的不等式1(a1)。分析：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問(wèn)題，充分考慮二次方程、二次不

12、等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗解析：（1）M1，4有兩種情況：其一是M=，此時(shí)0；其二是M，此時(shí)=0或0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍設(shè)f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)當(dāng)0時(shí)，1a2，M=1，4；當(dāng)=0時(shí)，a=1或2；當(dāng)a=1時(shí)M=11，4；當(dāng)a=2時(shí)，m=21，4。當(dāng)0時(shí)，a1或a2。設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4時(shí)，a的取值范圍是(1，)。（2）原不等式可化為：0，當(dāng)a1時(shí)，原不等式與(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解為(，)

13、(2，+)。 當(dāng)a1時(shí)，原不等式與(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集為(，2)；若a=0時(shí)，解集為；若0a1，解集為(2，)。綜上所述：當(dāng)a1時(shí)解集為(，)(2，+)；當(dāng)0a1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為(，2)。點(diǎn)評(píng)：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯(cuò)例6（1）（2009湖南卷文）若，則的最小值為 .答案 2解析 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2

14、）(北京市豐臺(tái)區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測(cè)理)已知，都是定義在上的函數(shù)，且滿足以下條件：=·（）；。若，則使成立的x的取值范圍是A.（，）（，+ ） B.（，） C.（，）（，+ ） D.（，+ ）答案 B 題型4：線性規(guī)劃問(wèn)題例7（1）(2009山東卷理)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4答案 A解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by

15、（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.（2）2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 答案 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設(shè)與的交點(diǎn)為D，則由知，選A。 例8（1）設(shè)函數(shù)，

16、若對(duì)于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的值為 【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論取何值，0顯然成立；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而4，綜上4【答案】4（2）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）已知點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。解析：（1）約束條件為，選C；（2）A；（3）、。點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點(diǎn)，諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)題型5：不等

17、式的應(yīng)用例9（2009四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元答案 D（3，4）（0，6）O（，0）913解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知： 當(dāng)3，5時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為2

18、7萬(wàn)元，故選D例10(2009山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為_(kāi)元. 答案 2300解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設(shè)備 A類產(chǎn)品 (件)(50) B類產(chǎn)品 (件)(140) 租賃費(fèi) (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則

19、滿足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. 【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,需要通過(guò)審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫(xiě)出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題. 點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。五【思維總結(jié)】1在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)解不等式的過(guò)程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式（組），以快速、準(zhǔn)確求解。加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí).在解不等式或證不等式的過(guò)程中，如含參數(shù)等問(wèn)題，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏。加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函