成考專升本高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)資料修改資料

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)§1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當(dāng)x1x2時(shí),若f(x1)f(x2), 則稱f(x)

2、在D內(nèi)單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性： 首先要證明定義域?qū)ΨQ：才有下面，否則是非奇非偶 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)（六個(gè)基本初等函數(shù)，1.常數(shù)函數(shù)，2.冪函數(shù)，3.指數(shù)函數(shù)，4.對(duì)數(shù)函數(shù)，5.三角函數(shù)，6.反三角函

3、數(shù)。） 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)（重點(diǎn)要記住，初等函數(shù)在定義域里連續(xù)。§1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.（反過來就不一定成立，自己想想）2.函數(shù)的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：上述定理通常用于證明極限是否存在。無窮大量和無窮小量1 無窮大量： 稱在該變化過程中為無

4、窮大量。 X再某個(gè)變化過程是指： 2 無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 定理：無窮大量與無窮小量是倒數(shù)關(guān)系。4 無窮小量的比較： 無窮小量和無窮大量的性質(zhì)上述要理解。定理：若： 則：兩面夾定理（又稱夾逼定理）1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn) （點(diǎn)x0除外）有： 且： 則：極限的運(yùn)算規(guī)則 是極限的性質(zhì)，在讀?？频臅r(shí)候就要熟悉。兩個(gè)重要極限 1 或 2 在證明0/0型極限的時(shí)候大家要用無窮小代換定理和§1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)

5、在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：3. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)和連續(xù)是指： 左端點(diǎn)右連續(xù)； 右端點(diǎn)左連續(xù)。 注意區(qū)分區(qū)間聯(lián)系和點(diǎn)聯(lián)系的定義。4. 函數(shù)的間斷點(diǎn)：若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況： 兩類間斷點(diǎn)的判斷： 1o第一類間斷點(diǎn)： 2o第二類間斷點(diǎn)：3無窮間斷點(diǎn)： 函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：（自己看書。不在列出來） 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 3. 反函數(shù)的連續(xù)性： 以上看書。書上重點(diǎn)列出。函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小

6、值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。（1） 先求駐點(diǎn)，（2） 求出駐點(diǎn)和A點(diǎn)及B點(diǎn)的函數(shù)值。（3） 最大為最大值，最小為最小值。 2. 有界定理： 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：， 推論： 在上連續(xù)，且與異號(hào) 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（重點(diǎn)） §2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 2左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充

7、要條件： 定理：存在， 且存在。求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式：（要自己全部推導(dǎo)一遍） 2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（要理解）。 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無關(guān)，是比較高 階的無窮小量，即： 則稱在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系： 定理：在處可微在處可導(dǎo)，且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。重點(diǎn)要自己練習(xí)導(dǎo)數(shù)，推出導(dǎo)數(shù)的所有過程。§2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

8、一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: 2.拉格朗日定理：滿足條件: 羅必塔法則：（ 型未定式）（重點(diǎn)用無窮小量代換?；蛘邿o窮小與羅法則同用）定理：和滿足條件：1o；2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o 則：注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。 即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母 求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即：5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變形，化成或型；若是型可 采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線

9、方程：2 曲線的單調(diào)性： 用中值定理 3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)；若對(duì)于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有：則稱是的一個(gè)極大值（或極小值），稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 極值存在的必要條件：定理：稱為的駐點(diǎn) 極值存在的充分條件： 定理一：定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。 4曲線的凹向及拐點(diǎn)：若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（）； 5。曲線的漸近線： 水平漸近線： 鉛直漸近線：第三章 一元函數(shù)積分學(xué) §3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)： 若： 則

10、稱是的一個(gè)原函數(shù)， 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱為被積函數(shù)； 稱為被積表達(dá)式；稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì)： 或： 或： 分項(xiàng)積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式：換元積分法： 第一換元法：（又稱“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 2o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 3o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 4o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))分部積分法：

11、 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對(duì)的類型： 其中： （多項(xiàng)式） 3.選u規(guī)律： 在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡稱“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡稱“指多選多”。 在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv;簡稱“多對(duì)選對(duì)”。 在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數(shù)積分（自己看書不做重點(diǎn)）： §3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)1. 定積分的定義： O a x1 x2 xi-1 i xi

12、 xn-1 b x定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)， x 軸下方的面積取負(fù)號(hào)。 2. 定積分存在定理： 若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)： 3. 牛頓萊布尼茲公式：*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理： 5. 定積分的性質(zhì)： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m

13、0 a b x 0 a b x（二）定積分的計(jì)算：1. 換元積分 2. 分部積分 3. 廣義積分 4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) . 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； . 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；. 應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： （圖形參照課本） 及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 圖上書上。第四章 多元函數(shù)微積分初步§4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（考試不多。不做重點(diǎn)。了解就OK）一. 主要內(nèi)容：1. 多元函數(shù)的概念自己看書。2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：.偏導(dǎo)數(shù)：.全微分：1.定義：z=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y)