小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考摘要:全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂時明確提出,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程,發(fā)展“模型思想”。在小學(xué),進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性、初始性特征,即要從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實(shí)際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程,進(jìn)而對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得更加深刻的理解。就其教學(xué)實(shí)施的一般程序而言,教師先行琢磨、通過教學(xué)不斷建模、學(xué)生在體驗(yàn)和感悟中為之著魔是小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)鍵所在。關(guān)鍵詞:模型;數(shù)學(xué)建模;建模教學(xué);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?Mathematical Modelling,有著較為確定的含義,即“把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)

2、際問題加以提煉,抽象為數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,驗(yàn)證模型的合理性,并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題。數(shù)學(xué)知識的這一運(yùn)用過程也就是數(shù)學(xué)建模?！眎i而“為了一定的目的對現(xiàn)實(shí)原型作抽象、簡化后,采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言所表述出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”也就是“數(shù)學(xué)模型”(Mathematic Model,它是數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實(shí)原型簡化的本質(zhì)的描述。”iiii為了更形象地說明上述理論,我們可以引用柯朗和羅賓在什么是數(shù)學(xué)中曾舉出的一個實(shí)例:iiiiii我們用字母來表示算術(shù)規(guī)律(如+b=b+,“這些算術(shù)規(guī)律是很簡單的,而且好像是顯然的。但是它們對于整數(shù)以外的對象可能不適用。如果和b不是整數(shù)的

3、符號,而是化學(xué)物質(zhì)的符號;同時,如果加這個詞正是我們平常說話中所用的那個意思,那么很顯然,交換律并不總是成立的。例如,如果把硫酸加到水里,得到的結(jié)果是稀釋,而把水加到純硫酸中則會對實(shí)驗(yàn)人員產(chǎn)生災(zāi)難性的后果”;“對抽象的整數(shù)概念給出一個具體模型就能夠說明規(guī)律所依據(jù)的直觀基礎(chǔ)”。如下圖,在方框中放一些點(diǎn),一個點(diǎn)代表一個對象。通過這些方框的運(yùn)算我們可以看到這些整數(shù)的運(yùn)算定律。兩個整數(shù)和b相加時,把相應(yīng)的方框兩端連線并去掉中間的相隔線,加法的意義就通過這個直觀的具體模型表示出來了。同樣,和b相乘,把兩個方框中的點(diǎn)排成行、b列個點(diǎn),構(gòu)成一個新方框:這樣的圖示,可以看成是乘法的直觀模型。張奠宙教授認(rèn)為,“

4、廣義地講,數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法,都可以叫做數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型,它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的。但是,按通行的比較狹義的解釋,只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫做數(shù)學(xué)模型。例如,平均分派物品的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù);元角分的計算模型是小數(shù)的運(yùn)算;500人的學(xué)校里一定有兩個人一起過生日,其數(shù)學(xué)模型就是抽屜原理?！眎viv以這樣的認(rèn)識來看待小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),很顯然,小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)似乎都不必要學(xué)得這樣抽象、這樣概括,甚至可以說,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中難以有真正的“狹義意義”上的數(shù)學(xué)建模。然而,換一個角度來看,我們又應(yīng)該清醒地知道“建?！薄澳Ｐ汀睂τ跀?shù)學(xué)、對于

5、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價值。鄭毓信教授在數(shù)學(xué)教育哲學(xué)一書談到:“就數(shù)學(xué)在古埃及、古巴比倫等地的早期發(fā)展而言,人們主要是通過觀察或?qū)嶒?yàn)、并依靠對于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的歸納獲得了關(guān)于真實(shí)事物或者現(xiàn)象量性屬性的某些認(rèn)識;但是,從現(xiàn)今的觀點(diǎn)看,這些只能說是一種經(jīng)驗(yàn)的知識而不能被看成真正的數(shù)學(xué)知識,因?yàn)?真正的數(shù)學(xué)知識應(yīng)當(dāng)是關(guān)于抽象對象的研究”、“原始意義上的七橋問題,即能否一次且無重復(fù)地通過哥尼斯堡的七座橋的問題,顯然只能說是一個游戲,而不被看成一個真正的數(shù)學(xué)問題;與此相反,這一問題由于歐拉的合理抽象被變形成了一般的一筆畫問題,并通過奇點(diǎn)偶點(diǎn)等概念的引進(jìn)得到了十分一般的處理,從而獲得了真正的數(shù)學(xué)意義”。vv由此可以看出

6、,數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建?！钡囊饬x上,才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”,就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言,具有鮮明的階段性、初始性特點(diǎn),它更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué),“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”vivi在此基礎(chǔ)上,初步形成模型思想,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。二用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)著小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),不同的年級、內(nèi)容、學(xué)習(xí)對象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異,但也存在著很

7、大的關(guān)聯(lián)性。就教學(xué)實(shí)施的一般程序來看,可以歸結(jié)到三個字:“磨”“?！薄澳А薄Ｒ?、“磨”。所謂“磨”,即“琢磨”。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“?！?需要幫助學(xué)生建立怎樣的“模”?如何來建“?！?在多大的程度上來建“模”?所建的“?！焙徒５倪^程對于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響?在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中,這些問題都是一些本原性的問題。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話,可以肯定,他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識概念、命題、問題和方法等很難見到“數(shù)學(xué)模型”的影子,他的學(xué)生也可能從未感受過“數(shù)學(xué)模型”的力量。眾所周知,“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程,然而,在

8、小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程。可是,“雞兔同籠”卻被廣泛地運(yùn)用到小學(xué)教材中:北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉;蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略;而人教版則是濃墨重彩,在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)這些內(nèi)容時,如果僅是就題講題,就課本講課本,難免顯得過于簡單和淺薄。那么,對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢?我想至少有三方面是值得關(guān)注的:一是內(nèi)容層面的,即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征(告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關(guān)系,求未知量

9、;二是方法層面的,即“假設(shè)法”的一般解題思路(畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”;三是思想層面的,即從一個具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題出發(fā),在經(jīng)歷了對其解答的過程之后,能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用(學(xué)習(xí)“雞兔同籠”,最終的目標(biāo)并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”,更有其他。有了這樣的理解,在教學(xué)中,我們就會引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時,注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用,用系統(tǒng)的眼光來看待它的教學(xué)價值。這些,恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。再比如,“確定位置”的數(shù)學(xué)模型是立體坐標(biāo)系。學(xué)生在一年級接觸到的一列隊(duì)伍中“老爺爺排在第3個”,其實(shí)就是一維空間

10、上的確定位置;在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個”,其實(shí)就是二維空間上的確定位置;五年級學(xué)習(xí)的“數(shù)對”則是初步抽象的二維坐標(biāo)模型。如果在教學(xué)中能將這一層意義滲透進(jìn)去,一定能為學(xué)生將來學(xué)習(xí)立體坐標(biāo)系提供很好的支持。眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識,往往會決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。二、“?！?。所謂“?！?即“建?！?。也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用。對小學(xué)數(shù)學(xué)而言,“建?！钡倪^程,實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程,是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。以下是兩位老師利用同一素材教學(xué)“減法”的片段:【教學(xué)

11、片段1】出示情境圖。師:請同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖,說一說從圖上你看到了什么?生:有5個小朋友在澆花,走了2個,剩下3個。師:你真棒!誰再來說一說。生:原來有5個小朋友在澆花,走了2個小朋友,還剩下3個小朋友。師:很好!你知道怎樣列式嗎?生:5-2=3。教師聽了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭,板書5-2=3。接著教學(xué)減號及其讀法?！窘虒W(xué)片段2】出示情境圖。(同上師:誰來說一說第一幅圖,你看到了什么?生:從圖中我看到了有5個小朋友在澆花。師:第二幅圖呢?生:第二幅圖中有2個小朋友去提水了,剩下3個小朋友。師:你能把兩幅圖的意思連起來說嗎?生:有5個小朋友在澆花,走了2個,還剩下3個。師:同學(xué)們觀察得很仔細(xì),也說得很

12、好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個數(shù)學(xué)問題嗎?生:有5個小朋友在澆花,走了2個,還剩幾個?生(齊:3個。師:對,大家能不能用圓片代替小朋友,將這一過程擺一擺呢?(教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片,并請一生將圓片擺在情境圖的下面。師:(結(jié)合情境圖和圓片說明5個小朋友在澆花,走了2個,還剩3個;從5個圓片中拿走2個,還剩3個,都可以用同一個算式(學(xué)生齊接話:5-2=3來表示。(在圓片下板書:5-2=3生齊讀:5減2等于3。師:誰來說一說這里的5表示什么?2、3又表示什么呢?師:同學(xué)們說得真好!在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題,5-2=3還可以表示什么呢?請同桌互相說一說。生1:有5瓶牛奶,喝掉2瓶,還

13、剩3瓶。生2:樹上有5只小鳥,飛走2只,還剩3只。上述兩段教學(xué),所體現(xiàn)出來的教學(xué)著力點(diǎn)是不一樣的。第一個片段,屬于“就事論事”式的簡單教學(xué),教師對教學(xué)的定位完全停留在知識傳授的層面上,“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個片段,除了教學(xué)充分展開外,更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想,訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。且這種訓(xùn)練并不是簡單、生硬地進(jìn)行,而是和低年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切由具體、形象的實(shí)例開始,借助于操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化,最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣,賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。再比如,在小學(xué)階段,學(xué)生認(rèn)識小數(shù)時主要是將它和分?jǐn)?shù)之間進(jìn)行意義上的

14、關(guān)聯(lián),即:一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾。按照螺旋上升的教材編排原則,上述內(nèi)容大多分解在三、四年級分兩次學(xué)完,三年級先認(rèn)識一位小數(shù)。如何在三年級初步認(rèn)識一位小數(shù)時就體現(xiàn)出“建?！钡乃枷肽?我們進(jìn)行了如下教學(xué):課始,教師出示到超市購買的一些物品和相應(yīng)的價錢:水彩筆12元、美工刀3元5角、鉛筆0.4元。當(dāng)“0.4元”出現(xiàn)后,教師提問:師:知道“0.4元”到底是多少錢嗎?生:0.4元就是4角錢。(板書4角=0.4元師:4角錢有沒有1元多?生:沒有。師:看來,和1元相比,0.4元只能算是一個“零頭”了。如果我們用這樣的一個長方形來表示1元(出示圖1,你能把它分一分、涂

15、一涂,將0.4元表示出來嗎?圖1 圖2(學(xué)生拿出練習(xí)紙畫畫涂涂,把自己的想法表示出來。交流時,尋找共性特點(diǎn):平均分成10份,涂出其中的4份師:為什么這樣就將“0.4元”表示出來了呢?生:因?yàn)?元等于10角,平均分成10份,1份就是1角,4份就是4角。師:看著大家畫出的圖示,讓我想起以前咱們學(xué)什么時,也是這樣子平均分一分、涂一涂?生:分?jǐn)?shù)!師:那0.4元如果用分?jǐn)?shù)表示,如何表示呢?生:十分之四元。師:數(shù)學(xué)真是有趣,原來0.4元也就是我們熟悉的十分之四元。(出示圖2師:老師購買了一塊橡皮,它的價錢是多少呢?(出示:0.8元0.8元是多少錢?生:0.8元就是8角師:又是一個不足1元的零頭,如果我們還

16、是用這樣的一個長方形來表示1元,那0.8元又該怎么表示呢?學(xué)生模仿者剛才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”(見右圖。接著,老師給學(xué)生提供一個空白的平均分成10份的長方形,任意涂出其中一部分,表示出一個小數(shù)和相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。幾個學(xué)生自由展示后,組織梳理,從0.1就是十分之一,0.2就是十分之二師:接下來我們再來看看筆記本的價格,我給你一個圖示(見下圖,你知道它的價錢了嗎?生:筆記本的價格是1.2師:剛才的小數(shù)都是“零點(diǎn)幾”,現(xiàn)在怎么變成“一點(diǎn)幾”了?生:現(xiàn)在有兩個長方形了,第一個涂滿了顏色,表示整1元。第二個平均分成了10份,涂了其中的2份,也就是2角錢,0.2元,合起來就是1.2元了。師:我

17、買的鋼筆的價錢是8.6元,如果讓你畫一幅圖來表示它的價錢,你準(zhǔn)備怎樣畫呢?生:我準(zhǔn)備先畫9個大小一樣的長方形,然后把前面8個涂滿顏色,第9個長方形平均分成10份,涂出其中的6份。上述教學(xué)過程抓住了知識間的聯(lián)系(小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系而展開,但又不是停留在教師直接的講解和“告訴”,而是讓學(xué)生充分展開探索過程,借助于直觀圖示的形象支撐,建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”(長方形等分、涂色。這種形象的“直觀模型”既搭起了小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的橋梁,也具有強(qiáng)大的“擴(kuò)展”功能,對后面學(xué)習(xí)兩位小數(shù)、三位小數(shù)(同樣的長方形,只是平均分成100份、1000份以及抽象概括“小數(shù)的意義”具有統(tǒng)攝作用。從上述兩例可以看出,運(yùn)用

18、建模思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體,通過這樣的具有“模型”功能的載體,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象,為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持。當(dāng)然,對學(xué)生“模型”意識的培養(yǎng)和“建?！狈椒ǖ闹笇?dǎo),要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級而有層次不同的要求,低年級要恰到好處地結(jié)合日常實(shí)例和常規(guī)教學(xué)對學(xué)生進(jìn)行“模型”及“模型意識”的滲透、點(diǎn)化,高年級則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在,培養(yǎng)初步的建模能力。三、“魔”。所謂“魔”,即“著魔”,也就是學(xué)生對“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用有著深切的體驗(yàn)和感悟,并對之產(chǎn)生好奇,從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主

19、動地構(gòu)想模型、建立模型、運(yùn)用模型。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo),應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué),對數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛之情。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo),數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識和方法層面,而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”,用數(shù)學(xué)自身的魅力來吸引學(xué)生。正如日本數(shù)學(xué)家米山國藏所說:“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等,這些隨時隨地地發(fā)生作用,使人終身受益”。viivii要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”,實(shí)際教學(xué)中,一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗(yàn)和感受。比如,在二年級教學(xué)“確定位置”時,設(shè)定觀察的規(guī)則(觀察順序非常重要“從

20、左向右數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線”(坐標(biāo)系中的“橫軸”原型和“縱向帶箭頭的直線”(坐標(biāo)系中的“縱軸”原型,既將觀察順序形象表達(dá),又蘊(yùn)含了二維坐標(biāo)(第一象限的基本原理。如果學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)中也能模仿著使用，那感受會更加深刻。而在六年級學(xué)習(xí)“確定位置” （用方向、角度、距離 來確定平面圖中任意一個位置）時，如果讓學(xué)生試著總是以觀測點(diǎn)為中心先畫出 一個“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序，而且準(zhǔn)確性 很高。在此基礎(chǔ)上，老師再對學(xué)生進(jìn)行“建?！薄坝媚！钡膶W(xué)習(xí)水平進(jìn)行適當(dāng)評 、 價和鼓勵，教學(xué)

21、的境界就會大大提升。 另一方面， 也可以在中高年級進(jìn)行一些專題性的訓(xùn)練。 我們曾以 “雞兔同籠” 為例進(jìn)行過這方面的嘗試。 在學(xué)生初步能用不同的假設(shè)思路解答雞兔同籠的題目 后，老師提問： “生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放 在一起養(yǎng)殖，也沒誰去做數(shù)頭數(shù)腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費(fèi)苦心 地研究來研究去的，一千多年過去了，雞兔同籠這道數(shù)學(xué)題還作為寶物似的流傳 到今？” （屏幕顯示： “雞兔同籠”有什么獨(dú)特的魅力？）在學(xué)生對所提問題一時 困惑皺眉時，老師提議帶著這個問題來繼續(xù)進(jìn)行“龜鶴同游”和“人狗同行”的 研究并再次提出疑問： “雞兔同籠”有什么獨(dú)特的魅力？”經(jīng)過研究和比對，學(xué) 生發(fā)現(xiàn)： “雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有很多類似的問題都可 以看成是“雞兔同籠”問題，如人馬問題、牛雞問題、汽車和自行車的輪子問題， 等等。隨后，師生共同研究“信封里放著 5 元和 2 元的鈔票，共 8 張，34 元， 信封里 5 元和 2 元的鈔票各有多少張？” ，探討其與雞兔同籠問題的關(guān)聯(lián)。經(jīng)過 比較和猜想，學(xué)生的