2019年東北三省四市高三模擬考試即長春三模(理數(shù),全word)

1、數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第1頁（共4頁）2019 年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2019 年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試數(shù) 學(xué)（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分 150 分考試時間為 120 分 鐘，其中第n卷 22 題-24 題為選考題，其它題為必考題考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回 注意事項：1.答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚， 將條形碼準確粘貼在條 形碼區(qū)域內(nèi)2.選擇題必須用 2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫， 字體工整、筆跡清楚3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無

2、效；在草稿紙、試題卷上答題無效 4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀第I卷（選擇題，共 60 分）一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）1若集合A = x | x：4，則集合y|y = x，1,xA=相關(guān)系數(shù)為r3A. r2:r40 : r3:r1C. r4 ：r2A. y 10： ：y乞1卄3+2i2.若z15A.i223 直線l:xA.1 或-6B.y|0 y：1C.y|0 Ey乞3D.y|0 Ey：35i2=my 2與圓 M :1B.-2B.1 或-7c 1

3、5.C.i2 22 2x2 y 2y=0 相切，貝 Um的值為1D.1 或7C.-1 或 74對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是相關(guān)系數(shù)為*10相關(guān)系數(shù)為r2D.數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第2頁（共4頁）: 0 ： r3:r1相關(guān)系數(shù)為r4B. r4: r2: 0：口 ：:： r3r2: r4: 0 :口 ：:： r3數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第3頁（共4頁）5各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an中,3耳,2a3，2a2成等差數(shù)列,貝ya10a12a15a19a20a23a8 a10 a13 a17 a18 a21A.1B.3JIC.6D.916.函數(shù)f（x）=3cos x-log2x

4、的零點個數(shù)為2 2A.2B.3C.47.個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是1，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是63A.i4C.i4D.i58函數(shù)f（x）二As in Cx）（0）的圖像與x軸的交點6的橫坐標構(gòu)成一個公差為二的等差數(shù)列，要得到函數(shù)2g（x）二Acosx的圖像只需將f（X）的圖像D.5A.向左平移C.向左平移B.向右平移D.向右平移9給出下列說法:命題，則1sin二2a=一6xoR，使sinxo n”是2k二（k Z）2ap :二x0（ -2則AB”.那么命題（其中正確的個數(shù)是A. 41”的否命題是假命題;命題“sinB，xs x=2）為真命題B. 32 2篤- %=1（a0,

5、b0）的右是焦點是拋物線a bP,且|PF|=5,則該雙曲線的離心率為A.5B. ,5C. 2C. 2D. 1y8x的焦點，兩曲線的一個D.2 ”3數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第4頁（共4頁）數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第5頁（共4頁）11.四棱錐S - ABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心0在同一平面內(nèi)，當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于4 4、3，則球0的體積等于16一232,2C.二D.二334 道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一道題沒有被這4 位選中的情況有4、282A. 二B. 二33A.288 種B.144 種C.72 種D.

6、36 種數(shù)學(xué)試題卷（文科）第6頁（共4頁）AB第卷（非選擇題，共 90 分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題-21 題為必考題，每個試題考生都必須作答，第 22 題-24 題為選考題，考生根據(jù)要求作答 二、填空題（本大題包括 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.13._二項式（2+x）（1仮）4的展開式中x的系數(shù)是 _ .x14某長方體的三視圖如右圖，長度為J0 的體對角線在正視圖中的長度為、.6，在側(cè)視圖中的長度為5，則該長方體的全面積為15等比數(shù)列a*的首項為a，公比為q，其前n項和為Sn，則數(shù)列sn為遞增數(shù)列的充分必要條件是 _.16、 如

7、果直線2ax - by 5 = 0 （a 0,b0）和函數(shù)f （x） = mx 11（m 0,m = 1）85的圖像恒過同一個定點，且該定點始終落在圓（x -a T）2 （y b -2）2的內(nèi)部4ab或圓上，那么一叱的取值范圍是_.2a +b三、解答題（本大題包括 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟）17、 （本小題滿分 12 分）在厶ABC中，向量m =（2cos B,1），向量n = （2cos2（旦）,T sin 2B），且滿42足m + ” =|m n.求角B的大??； 求sin2A - sin2C的取值范圍.18. （本小題滿分 12 分）2019 年 2

8、 月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率.某大型銀行在一個星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示：求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）；從本周內(nèi)該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率；假設(shè)該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù) 10 個星期 不變，在這段時間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過 20 年得人數(shù)，求E（）.19.（本小題滿分 12 分）側(cè)視圖D1C1數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第7頁（共4頁）已知四棱柱ABCD-ABC1D1中，AA 底面ABCD,數(shù)學(xué)試題卷（文科）第8頁（共4頁）ABADC =90,AB | CD

9、,AD =CD = DDi=2AB=2 .求證：AU _ B1C;求二面角A BD G的正弦值；(3)求四面體ABDG的體積20.（本小題滿分 12 分）2 2已知Fi, F2分別為橢圓 篤爲=1（a b 0）的左右焦點，M , N分別為其左右頂a b點，過F2的直線丨與橢圓相交于A,B兩點.當直線l與x軸垂直時，四邊形AMBN的面積等于 2，且滿足MF2= J2|AB+ F2N求此橢圓的方程；當直線l繞著焦點F2旋轉(zhuǎn)但不與x軸重合時，求AM AN - BM BN的取值范圍21.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù)f （x） xlnx.討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；1對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）k

10、x-?恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當a m時，對于任意正實數(shù)x,不等式f （a x）：f（a）巷恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性請考生在 22、23、24 三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分22.（本小題滿分 10 分）選修 4 1:幾何證明選講.自圓O外一點P引圓的一條切線PA,切點為A , M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B,C兩點，且求證：MBP與MPC相似;求/MPB的大小.23.（本小題滿分 10 分）選修 4 4:坐標系與參數(shù)方程選講.x = sin J cos）在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（二為參數(shù)），若

11、以該BMP =100,BPC =40.數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第9頁（共4頁）y =s in 2日直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為：?sin（r匚）=孑t（其中t為常數(shù)）.數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第10頁（共4頁）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求t的取值范圍； 當t二.2時，求曲線M上的點與曲線N上點的最小距離24.（本小題滿分 10 分）選修 4 5:不等式選講.已知函數(shù)f （x） =x -1 12x 2 |.解不等式f（x） 5;1一若關(guān)于x的方程a的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍f（x）42019 年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2019

12、年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標準一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）1.D 2.C3. B 4. A 5.D6. B 7.C8.A9.B10.C11.B12.B簡答與提示：1. D 集合A = x | 2：x：2,1：x 1：3，則0 x 1：3，即y|y=|x+1,x壬A =y|0蘭yc3.故選 D.由于丄當故選 C.1-i (1 i)(1+i)2222 23.B 由題意可知，圓M:x 2x y的圓心到直線丨：x = my 2的距離為圓的半徑,2，由點到直線的距離公式可知m = 1或m = -7.故選 B.4.A 由相關(guān)系數(shù)的定義以

13、及散點圖所表達的含義可知2：4 : 03：1，故選A.5.D 由題意a3=3 2a2，即a1q3a12a1q，可得q2-2q -3 = 0,q =3或a10a12a15a19a20a232q - -1，又已知q-0,即q=3,23=q9.故選 D.a8*a10*a13+&18*a21兀16.B 在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y =3cos?x和y = log2X 的圖像，可得交點個數(shù)為 3.故選 B.7.C 初始值i =1,T =0,P =15，第一次循環(huán)后i=2,T=1,P=5，第二次循環(huán)后11i =3,T =2,P =1，第三次循環(huán)后i =4,T =3,P，第四次循環(huán)后i =5,T =：4

14、,P丄7632.數(shù)學(xué)試題卷(文科)第7頁(共4頁)因此循環(huán)次數(shù)應(yīng)為 4 次，故i：5可以作為判斷循環(huán)終止的條件 .故選 C.8.A 由函數(shù)f （x）二As inxj 0）的圖像與x軸的交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為6數(shù)學(xué)試題卷(文科)第7頁(共4頁)jrHg(x)二Acos2x，可將g(x)化為g(x) =Asin(2x )，可知只需將f (x)向左平移一個26單位即可獲得 f (x；) sin2(x Q 才“口門 x 才故選 A.JT1兀19.B 命題“若，則sin”的否命題是“若，則sin”，6262是假命題，因此正確；命題p :-lx。R,使sinx01，則p:xR,si nx1完全符合命題

15、否定的規(guī)則，因此也正確；“函數(shù)y =sin(2 )為偶函數(shù)”的充要JI71條件是si n-二1，即 3 (k Z)，因此錯誤；命題p:“(0,三)，使sin x cosx=丄”中sin x cosx二、2(in x二cosx) - 2sin(x )，22241當x (0,)時，1：. 2sin(x) _、2，即p : -lx 0 )，使sin x cosx二2422為假命題，而命題q :“在ABC中，若si nA si n B,貝U A B”為真命題，可知 命題(一p)q為真命題，因此正確.一共有 3 個正確.故選 B.2 210.C 雙曲線 務(wù)一=1的右焦點F是拋物線y2=8x的焦點可知c=

16、 2,又PF =5a b可知P到拋物線的準線x二-2的距離為 5，可設(shè)P(3,m)，根據(jù)兩點間距離公式可2 2 2 2得到m=2“，將雙曲線 篤與=1 方程化為 務(wù)丄三“，代入點P的坐標a ba 4 -a并求解關(guān)于a的一元二次方程， 可求得a =1或a =36又c a， 可將a =36舍去， 可知a2=1，即a=1,(或根據(jù)雙曲線定義得 2a=|PF2|PR|=2),綜上可知c2雙曲線的離心率為e2.故選 C.a 111.B 由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當體積最大時，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面 在球大圓上，可得知底面正

17、方形的對角線長度為球的半徑r，且四棱錐的高h二r,進而可知此四棱錐的四個側(cè)面均是邊長為、2r的正三角形，底面為邊長為,2r的正方形，所以該四棱錐的表面積為因此r2= 2,r =2，進而球O的體積V=二r332的等差數(shù)列可知，函數(shù)f(X)的周期為二，可知.=2，即函數(shù)f(x)=Asin(2xS =443(、2r)2(、2r)2=4 4 3，4二2匸二色Z.故選B.33數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第13頁（共4頁）12. B 首先選擇題目，從 4 道題目中選出 3 道，選法為C3，而后再將獲得同一道題目的 2 位老師選出，選法為C4，最后將 3 道題目，分配給 3 組老師，分配方式為A, 即滿足題意的情況

18、共有C：C：A；=144種故選 B.二、填空題（本大題包括 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）13. 314.4 6 53 515.a 0且q 016.,7 9簡答與提示：213. 利用分步計數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項有一（-、x）4和x 14，求和后x可得3x，即X的系數(shù)為 3.14. 由體對角線長.10，正視圖的對角線長6， 側(cè)視圖的對角線長5， 可得長方體的長寬高分別為，2，1,因此其全面積為2（、5 1 ,5 2 1 24 6 5.15. 由Sn1 Sn得，當q =1時，Sn1-Sn= a 0；當q = 1時，S.勺- S.二aqn 0，即a0,1=q0.綜合可得數(shù)列S

19、n單調(diào)遞增的充要條件是：a 0且q0.16. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）二mx1，1（m .0,m = 1）恒過定點（-1,2），將ab點（-1,2）代入ax-by=0，可以得a 25.對作如下變形：2a+bab 1_ 5_ 5_52a b（a 2b） （- -）1 4 2（-a）5 2（-）.a ba ba ba b25285由于（-1,2）始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以a2（b ）2.24工a 2b =5-.-a = 11 a = 3由25285，解得或，這說明點（a,b）在以A（1,2）和a （b ）=b=2 b=1L24b1baB（3,1）為端點的線段上運動，所以一的取值范

20、圍是一，2，從而一-的取值范圍a3a b是2, -0，進一步可以推得一的取值范圍是色,.32a+b7 9三、解答題（本大題必做題 5 小題，三選一選 1 小題，共 70 分）數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第14頁（共4頁）17. （本小題滿分 12 分）【命題意圖】本小題借助向量的垂直與數(shù)量積考查三角函數(shù)的化簡，并且考查利用三角函數(shù)的變換與輔助角公式求取三角函數(shù)的值域【試題解析】解：由m +n = mn，可知口丄mn= 0然而m =(2cosB,1),n =(2COS2(B)，T sin2B)= (1-sinB,-1 sin2B)，數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第15頁（共4頁）1所以m n二2cosB -sin

21、2B -1 sin 2B二2cos B -1二0，cosB二-(5sin2A si n2C = si n2A si n2(2A) = si n2A(3cos A丄sin A)23225232、331213= sinA cos AsinAcos A = 一sin A sin A cos A41,311二=1( sin2A cos2A) =1sin(2A ).2 222618.（本小題滿分 12 分）【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，具體涉及到統(tǒng)計圖的應(yīng)用、 二項分布以及數(shù)學(xué)期望的求法【試題解析】 解：由四邊形ADD1A1是正方形，所以AD1_ A1D.又AJ_平面ABCD，ZADC

22、 =90，所以AA1 DC,AD _ DC，而AA）AD = A，所以DC_平面AA1D1D,AD1_ DC.又RD DC =D，所以AD1平面A1DCB1， 從而 AD _B1C.2421 -cos2A、3 sin2A . 311 si n2A- cos2A 2244(9 分)31 JI因為.B，所以A （0,），即2A （3366_6片，即s13 322,.,所以1 sin(2A )(,，即sin A sin C的取值范圍是264 2n:計2吟|d2分)【試題解析】平均年限10 10 15 1020 25 - 25 20 30 15n =80:、22(年).(4 分)所求概率p二G：C25

23、C0C80137632(8 分)945x =16 8 B（10,1；），所以E =1019.（本小題滿分 12 分）【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的垂直關(guān)系、二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用以及幾何體體積的求法由條件知(12 分)數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第16頁（共4頁）（4分）以D為坐標原點，DA，DC,DD1為坐標軸建立空間直角坐標系D - xyz，則數(shù)學(xué)試題卷（文科）第i17頁（共4頁）易得B(2,1,0)Ci(0,2,2), Ai(2,0,2)，設(shè)平面ABD的法向量為n(xi, yi, Zi)，則求得m =（i,-2,_i）；設(shè)平面CiBD的法向量為(

24、9 分)V,則V =SABCDAA = 6，又三棱錐A）- ABD的體積等于二棱錐B- AiDiCi的體積，記為Vi，而三棱錐D - AiDiCi的體積又等于三棱錐1 i2Ci-CBD的體積，記為V2.貝V由于V2 i 2二一i3 23i i4V22 2 2，所以所求四面體的體積為V - 2Vi- 2V2= 2.3 23(i2分)（本小題滿分 i2 分）【命題意圖】 本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識2【試題解析】 當直線1與 x 軸垂直時，由SAMBN=-2a2b2，得b = i.2 aniDB=0ni

25、DAi= 0n=&2肆2cosnrn2nin2ln2則由.門2DB =0DC = 0求得壓二（i,2,2）,則根據(jù)于是可得sin八.（3）設(shè)所給四棱柱的體積為20.又MF2|=JF|AB+F2N，所以a c =、2更a - c,a即ac =2，又a2二c2 i,數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第18頁（共4頁）_ 2解得a2.因此該橢圓的方程為 y2=i.2設(shè)A(Xi,yJ,B(X2,y2)，而M(-、2,0), N2,0),所以AM=(一，2-論，-yj,AN=(,2-捲，-yj,BM = (- . 2 - X2, -y2),BN = (. 2X2, -72)(4 分)從而有AM AN BM B

26、N =(、2xj(、2xj yj (- 2x2)(、2x2)y22x；y：y；_4=(x X2)2-22(% y2)2-2yiy2-4.(6 分)數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第19頁（共4頁）可得)-4=8-6)(t2+2)2t2*2.分)令t 2二m，則m2.從而有AM ANBM BN二一 -一=8(丄-3)2-一，m m m 88，所以可以求得AM AN - BM BN的取值范圍是-9,0).(12 分)81【試題解析】 令f （X -ln x 10，得xef （x） ()2x1k : lnx.2xx 2x 2x21k (x)：0； 當x (_,：)時，k (x)0.2數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第20頁

27、（共4頁）xln x構(gòu)造函數(shù)g（x）x，則問題就是要求g（a xp:：g（a）恒成立.（9 分）e1所以函數(shù)在點x處取得最小值,2因此所求的k的取值范圍是（-二，112k-1 =ln 1=1 - In2.2(7 分)結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)m存在.解釋如下:f (ax) f(a) ex= (a x)ln( a x)：aln a ex(a x)ln( a x)aealn aae3，數(shù)學(xué)試題卷（文科）第21頁（共4頁）”(In x +1)ex_xln x exg(x)2xe1令h(x) =l nx 1 xl nx，則h(x) In x-1，顯然h (x)是減函數(shù).x又h (1) = 0,所以函數(shù)h(

28、x) = ln x 1 xln x在(0,1)上是增函數(shù)，在(1, ：)上是減111122-e函數(shù)，而h(2) = ln2 12ln -21220,e e e ee eh(1) =l n1 1 -l n1 =10,h(e) =l ne1-el ne=1 1-e=2-e：0.所以函數(shù)h(x) =ln x1 -xln x在區(qū)間(0,1)和(1,二)上各有一個零點，令為 為和X2(捲： ：X2)，并且有:在區(qū)間(0,為)和(X2,：) 上,h(x)：0,即g (x)：0；在區(qū)間(為公2)上,h(x) 0,即g (x) 0.從而可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,xj和(x?,，：)上 單調(diào)遞減，在區(qū)間(捲，

29、X2)上單調(diào)遞增.g(1) = 0，當0 x : 1時，g(x) 0；當x 1時，g(x) 0.還有g(shù)(x2)是函數(shù)的極大值，也是最大值 .題目要找的m=X2，理由是:當a X2時，對于任意非零正數(shù)x，a x a X2，而g(x)在區(qū)：)上單調(diào)遞減，所以g(a x) : g(a)一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明mx2；當0：a：x2時，取x = x2- a，顯然x 0且g(a x) = g (x2)g(a)，題目所要求的不等式不恒成立，說明m不能比x2小.綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)m就是x?，即存在最小正常數(shù)m = x2,當a - m時，對于任意正實數(shù)x，不等式f (a x

30、)：f (a)ex恒成立.(12 分)(注意：對于X1和X2的存在性也可以如下處理：1 1令h(x) =ln x 1 - xln x =0,即卩l(xiāng)n x.作出基本函數(shù)y = ln x和y =x1x11的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點很容易知道方程ln X有兩個正實數(shù)根x Tx1和x2，且0： % 1,x21(實際上x2.24)，可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,xJ和(X2,=)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x,X2)上單調(diào)遞增.g(1) =0，當0 ”：x：1時，g(x)：0；當x 1時，g(x) 0.還有g(shù)(X2)是函數(shù)的極大值，也是最大值.)22.(本小題滿分 10 分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明及其運算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識內(nèi)容.對于g (x)求導(dǎo)得In x 1 - xln xxe數(shù)學(xué)試題卷(文科)第22頁(共4頁)【試題解析】 因為MA為圓的切線，所以MA2二MB MC.又M為PA中點，所以MP2=MB MC.3，數(shù)學(xué)試題卷（文科）第23頁（共4頁）