隨機過程與衍生品定價基礎(chǔ)

1、隨機過程與衍生品定價基礎(chǔ) 隨機漫步與有效市場假說股價遵循隨機漫步（Random Walk）假設(shè)：任何可用于預(yù)測股票價格的信息必然已經(jīng)在股價中被反映了即：股價的變動是隨機的，且不可預(yù)測股價的隨機漫步行為歸因于（隨機且不可預(yù)測的）新信息被即時反映到股價中，因此，即刻的股價已經(jīng)反映了即刻所知的所有信息，這就是有效市場假說（Efficient Market Hypothesis）有效市場假說的形式弱有效市場：股價已經(jīng)反映了全部能從市場交易數(shù)據(jù)中得到的信息，因此對價格趨勢的分析（技術(shù)分析）是無效的半強有效市場：與公司前景有關(guān)的所有公開信息已經(jīng)在股價中得出了反映，因此基本面分析是無效的強有效市場：股價反映

2、了全部與公司有關(guān)的信息，包括未公開的內(nèi)幕信息。股價隨機漫步的經(jīng)濟意義金融資產(chǎn)價格在下一個時間段內(nèi)的變動獨立于上一個時間段內(nèi)的變動（iid假設(shè)）資產(chǎn)價格的運動過程包含兩部分，即漂移率（Drift rate）和方差率2（Variance rate）資產(chǎn)價格從初始點，經(jīng)過離散時間段t之后，預(yù)期波動（不考慮漂移律）的大小為資產(chǎn)收益率是服從均值等于，波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）等于的正態(tài)分布傳統(tǒng)理論中有效市場假設(shè)的數(shù)學(xué)意義數(shù)學(xué)意義：股價（收益）的未來預(yù)期與其歷史路徑無關(guān)（時間序列無自相關(guān)），即股價服從馬爾科夫過程定義：馬爾科夫過程（Markov Process) 是這樣的一種隨機過程，隨機變量 Wt （t &

3、;gt;= 0）的變化只與其現(xiàn)值以及對未來的預(yù)期有關(guān)，而與 Wt 的歷史路徑無關(guān)。維納過程（Wiener Process)標(biāo)準(zhǔn)維納過程 Zt （t >= 0） 是一種特殊的馬爾可夫過程，它符合1、對于每一個微小時間段 t 內(nèi)的增量 z ，有 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2、在任意兩個時間段t1 ，t2內(nèi)的增量 z1， z2獨立維納過程常用于描述物理學(xué)上的布朗運動（Brownian Motion)維納過程的數(shù)學(xué)特征 對于維納過程的增量z ，顯然有以下性質(zhì)成立E (z ) = 0標(biāo)準(zhǔn)差方差 一般維納過程（Generalized Wiener Process)定義三，我們稱隨機過程 為一般維納過程

4、，它符合其中，a ，b為常量，它們分別表示一般維納過程的漂移系數(shù)和波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）。一般維納過程的數(shù)學(xué)特征對于一般維納過程的增量z ，顯然有以下性質(zhì)成立Ito過程由上述內(nèi)容，我們擴展出Ito過程定義四，Ito過程 ，符合下式顯然，Ito過程是將一般維納過程的漂移系數(shù)a 和波動率b 擴展為潛在變量x 和時間t 的函數(shù)在許多傳統(tǒng)理論中都用Ito過程來描述金融資產(chǎn)價格的動態(tài)變化Ito引理若變量 x 符合Ito過程其中， a (x, t) 和 b (x, t)分別為 x 的漂移系數(shù)函數(shù)和波動率函數(shù)則有關(guān)于x，t的函數(shù)G(x,t)，符合Ito引理上兩式中，dz 為相同的標(biāo)準(zhǔn)維納過程則顯然，G 也符合It

5、o過程它有漂移系數(shù)函數(shù)和波動率函數(shù)股價（金融原生資產(chǎn)）的行為如前面部分所述，資產(chǎn)價格的運動過程包含兩部分，即漂移率（Drift rate）和方差率2（Variance rate）因此，我們可以將股價的變化（獨立增量）寫為擴展維納過程，若股價有常數(shù)的期望收益（漂移率），不考慮波動率，則經(jīng)過時間 t后，有兩邊取自然對數(shù)即股價（金融原生資產(chǎn)）的行為(cont)若時間間隔 t趨近于無窮小 即 上式表示不考慮波動性的股價變化（獨立增量的期望）而考慮波動性，我們假設(shè)股價變化服從Ito過程，則有衍生品的定價基礎(chǔ)：Black-Scholes-Merton微分方程基本的假設(shè)條件（和有效市場假定的部分一致）股價（

6、原生資產(chǎn)）的價格服從前述的Ito過程可以任意賣空無交易成本或稅負，證券可以完全地拆分衍生品的生存期內(nèi)無分紅沒有無風(fēng)險套利機會證券交易是連續(xù)進行的無風(fēng)險利率 r 對于任何期限都是常數(shù)衍生品的定價基礎(chǔ)：Black-Scholes-Merton微分方程由假設(shè)條件，股價的價格變化應(yīng)服從Ito過程假設(shè)變量 f 代表基于S的一種衍生資產(chǎn)價格，它是S和時間t的函數(shù)，由Ito引理，我們有我們可以通過建立一個包含股票和衍生資產(chǎn)的組合，來消除組合的未來波動（維納過程 z），這個組合包含：賣空1單位的衍生資產(chǎn)，買入 單位的股票衍生品的定價基礎(chǔ)：Black-Scholes-Merton微分方程這樣，組合的價值為而經(jīng)過

7、時點段 t后的組合價值為上述的組合是無風(fēng)險的，而在無套利假設(shè)下，無風(fēng)險資產(chǎn)的收益必等于無風(fēng)險利率即代入前式，即衍生品的定價基礎(chǔ)：Black-Scholes-Merton微分方程將前式約去 t 后化簡，即上式即著名的Black-Scholes-Merton微分方程，通過給出不同衍生資產(chǎn)的邊界條件，若存在可得的穩(wěn)定解析解，即是相應(yīng)衍生資產(chǎn)的理論價格風(fēng)險中性定價Black-Scholes-Merton微分方程的一個重要性質(zhì)：風(fēng)險中性定價通常情況下（邊界條件不給出其它的變量），方程的解是與股價的期望收益無關(guān)的，而只依賴于即期股價、股價的波動性和無風(fēng)險利率決定解的變量都與投資者的風(fēng)險偏好無關(guān)，因此我們可以在中性風(fēng)險世界中對衍生資產(chǎn)進行定價（和有效市場假說一致）風(fēng)險中性定價在風(fēng)險中性世界中，任何金融資產(chǎn)（在無套利