本章主要介紹了單跨靜定梁和多跨靜定梁的內(nèi)力分析計算1

1、第三章第三章 靜靜 定定 梁梁本章主要介紹了單跨靜定梁和多跨靜定梁的內(nèi)力分本章主要介紹了單跨靜定梁和多跨靜定梁的內(nèi)力分析計算及內(nèi)力圖的繪制方法。通過本章的學習，主要應析計算及內(nèi)力圖的繪制方法。通過本章的學習，主要應掌握：掌握：（1 1） 梁的內(nèi)力及其正負號規(guī)定；梁的內(nèi)力及其正負號規(guī)定；（2 2） 單跨靜定梁內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制方法單跨靜定梁內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制方法；（3 3） 多跨靜定梁的內(nèi)力分析計算多跨靜定梁的內(nèi)力分析計算。 本章提要本章提要本本 章章 內(nèi)內(nèi) 容容3.1 3.1 單跨靜定梁的內(nèi)力計算；單跨靜定梁的內(nèi)力計算；3.2 3.2 斜梁的斜梁的內(nèi)力計算；內(nèi)力計算；3.3 3.3 多跨靜

2、定梁的內(nèi)力計算。多跨靜定梁的內(nèi)力計算。 靜定梁包括單跨靜定梁（簡支梁、懸臂梁、外伸梁） 和多跨靜定梁，分別見圖1(a)、(b)、(c)和(d)所示。 靜定梁的受力分析是其它桿系結構受力分析的基礎，因此掌握靜定梁受力分析的基本方法，將有助于進一步結合幾何組成分析去研究其它桿系結構的內(nèi)力計算。3.1 3.1 單跨靜定梁的內(nèi)力計算單跨靜定梁的內(nèi)力計算3.1.1 3.1.1 粱內(nèi)截面上的內(nèi)力及正負號規(guī)定粱內(nèi)截面上的內(nèi)力及正負號規(guī)定由材料力學可知，在一般荷載作用下，梁內(nèi)任一截由材料力學可知，在一般荷載作用下，梁內(nèi)任一截面上通常有三種內(nèi)力，即面上通常有三種內(nèi)力，即軸力軸力N N、剪力、剪力Q Q和彎矩和彎

3、矩M M。 內(nèi)力的正負號規(guī)定：內(nèi)力的正負號規(guī)定： 軸力軸力N N：以拉力為正；：以拉力為正； 剪力剪力Q Q：對隔離體順時針旋轉為正；：對隔離體順時針旋轉為正； 彎矩彎矩M M：使桿件下側受拉為正。：使桿件下側受拉為正。 3.1.2 3.1.2 指定截面內(nèi)力的計算指定截面內(nèi)力的計算計算梁計算梁指定截面指定截面內(nèi)力采用的基本方法是內(nèi)力采用的基本方法是截面法截面法，即，即沿計算截面用一假想截面將構件切開，取任一側為研究沿計算截面用一假想截面將構件切開，取任一側為研究對象，在荷載和支座反力等外力和截面上內(nèi)力的作用下，對象，在荷載和支座反力等外力和截面上內(nèi)力的作用下，隔離體處于平衡狀態(tài)，利用靜力平衡方

4、程即可求出三個隔離體處于平衡狀態(tài)，利用靜力平衡方程即可求出三個內(nèi)力。內(nèi)力。例例1 1 如圖如圖3.2a3.2a所示簡支梁，試計算距所示簡支梁，試計算距A A支座距離為支座距離為1m1m處處C C截面上的內(nèi)力。截面上的內(nèi)力。圖2 解：解：（1 1）求支座反力）求支座反力先假設反力方向如圖所示，以先假設反力方向如圖所示，以整梁為研究對象：整梁為研究對象：X=0:X=0:X XA A-P=0-P=0 X XA A=P=4kN=P=4kN M MB B=0: Y=0: YA A* *l-ql-q* *l l* *0.50.5* *l=0l=0 Y YA A=0.5ql=0.5ql =0.5 =0.53

5、 34kN=6kN4kN=6kN Y=0: YA+YY=0: YA+YB B=ql=ql Y YB B=ql=ql-VA-VA =(3 =(34-6) kN4-6) kN=6kN=6kN(2)(2)求指定截面內(nèi)力求指定截面內(nèi)力 從指定從指定c c截面截開梁，取左半為對象，受力如圖截面截開梁，取左半為對象，受力如圖示：示：由靜力平衡條件得：由靜力平衡條件得：X=0: NX=0: NC C+X+XA A=0 N=0 NC C=-X=-XA A=-4kN=-4kNY=0: -QY=0: -QC C+Y+YA A-q-q* *l=0l=0 Q QC C=Y=YA A-q-q* *1=1=（6-36-3

6、* *1 1）=3kN=3kN M MC C=0: Y=0: YA A* *1-M1-MC C-q-q* *1 1* *0.5=00.5=0 Mc=YMc=YA A* *1-q1-q* *0.50.5* *1=(6-31=(6-30.5) 0.5) =4.5kN =4.5kNm m 由上述例題可知：由上述例題可知：梁內(nèi)某截面上的軸力梁內(nèi)某截面上的軸力N N等于該截面任一側所有外力等于該截面任一側所有外力沿梁軸切線方向所作投影的代數(shù)和；沿梁軸切線方向所作投影的代數(shù)和；( (其中：背離截面投影為正，反之為負。其中：背離截面投影為正，反之為負。) ) 梁內(nèi)某截面上的剪力梁內(nèi)某截面上的剪力Q Q等于該

7、截面任一側所有外力等于該截面任一側所有外力沿梁軸法線方向所作投影的代數(shù)和；沿梁軸法線方向所作投影的代數(shù)和；( (其中：繞截面順轉投影為正，反之為負。其中：繞截面順轉投影為正，反之為負。) ) 梁內(nèi)某截面的彎矩梁內(nèi)某截面的彎矩M M等于該截面任一側所有外力對等于該截面任一側所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。該截面形心的力矩的代數(shù)和。( (其中：下拉為正，反之為負。其中：下拉為正，反之為負。) ) 根據(jù)上述結論，可以不畫隔離體受力圖，不列平衡根據(jù)上述結論，可以不畫隔離體受力圖，不列平衡方程而直接計算截面內(nèi)力，亦稱方程而直接計算截面內(nèi)力，亦稱“直接外力法直接外力法”22()()d Qqxd xd

8、MQd xdMd Qqxd xd x 3.1.3 3.1.3 內(nèi)力圖的繪制內(nèi)力圖的繪制（1 1）根據(jù)微分關系作圖根據(jù)微分關系作圖 荷載集度荷載集度q(xq(x) )、剪力、剪力Q Q和彎矩和彎矩M M之間的微分關系：之間的微分關系：例例2 2 繪制例繪制例1 1簡支梁的內(nèi)力圖。簡支梁的內(nèi)力圖。解解: : 在例在例.1.1中已求出該簡支梁的支座反力，下面確定控中已求出該簡支梁的支座反力，下面確定控制截面上的內(nèi)力，該梁的控制截面包括支座制截面上的內(nèi)力，該梁的控制截面包括支座A A、支座、支座B B和梁的中點。和梁的中點。 支座支座A A：根據(jù)靜力平衡條件可求得其剪力：根據(jù)靜力平衡條件可求得其剪力

9、Q QA A=V=VA A=6kN=6kN； 該支座為鉸支座且該支座處無外力偶作用，該支座為鉸支座且該支座處無外力偶作用， 故其彎矩為零。故其彎矩為零。 支座支座B B：同樣可求得該處剪力：同樣可求得該處剪力Q QB B=V=VB B=-6kN=-6kN；M MB B=0=0。 跨跨 中中：取跨中截面右側為隔離體取跨中截面右側為隔離體如圖如圖3 3，內(nèi)力方向，內(nèi)力方向 如圖中所示。如圖中所示。 圖.3 根據(jù)靜力平衡條件：根據(jù)靜力平衡條件：X=0: NX=0: NX X-P=0-P=0 N NX X=P=4kN=P=4kN，方向與原假設相同，方向與原假設相同Y=0: QY=0: QX X+V+V

10、B B-q-ql/2=0l/2=0 Q QX X=3=32-6=02-6=0M MX X=0: M=0: MX X+q+q(l/2)(l/2)(l/4)-V(l/4)-VB B(l/2)=0(l/2)=0 M MX X=(6=(64)/2-(34)/2-(34)/24)/24/4=6kN4/4=6kNm m 由于該梁上承受均布荷載和一固定軸力，因此該梁由于該梁上承受均布荷載和一固定軸力，因此該梁各截面上的軸力為一常數(shù)，軸力圖為一水平直線，剪各截面上的軸力為一常數(shù)，軸力圖為一水平直線，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為一拋物線，且在跨中處力圖為一傾斜直線，彎矩圖為一拋物線，且在跨中處為最大值，如圖為最

11、大值，如圖4 4所示。所示。圖.4 （2 2）用疊加法作內(nèi)力圖用疊加法作內(nèi)力圖 當荷載種類不同或荷載數(shù)量不止一個時，常常采當荷載種類不同或荷載數(shù)量不止一個時，常常采用用疊加法疊加法繪制結構的內(nèi)力圖。繪制結構的內(nèi)力圖。 疊加法的基本原理疊加法的基本原理是：是：結構上全部荷載產(chǎn)生的內(nèi)結構上全部荷載產(chǎn)生的內(nèi)力與每一荷載單獨作用所產(chǎn)生的內(nèi)力的代數(shù)和相等。力與每一荷載單獨作用所產(chǎn)生的內(nèi)力的代數(shù)和相等。（1）集中荷載作用下（2）集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖3m3m4kN4kNm6kNm4kNm4kNm4kNm例例3 3 疊加法作圖示簡支梁彎疊加法作圖示簡支梁彎矩圖。矩圖。例例4 4 疊加法作圖示外伸梁

12、彎疊加法作圖示外伸梁彎矩圖。矩圖。4kNm2kNm4kNm4kNm（1 1）懸臂段分布荷載作用下）懸臂段分布荷載作用下（2 2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3 3）疊加得彎矩圖）疊加得彎矩圖6kNm4kNm2kNm3m3m8kNm2kN/m2m例例5 5 圖圖示外伸梁，承受集中荷載示外伸梁，承受集中荷載P=4kNP=4kN，均布荷載，均布荷載q=3kN/mq=3kN/m，疊加法疊加法繪制其內(nèi)力圖。繪制其內(nèi)力圖。（3 3） 繪制彎矩圖的步驟繪制彎矩圖的步驟 求支座反力求支座反力 求控制截面的彎矩值，控制截面包括桿的兩端、求控制截面的彎矩值，控制截面包括桿的兩端、集中力作用處（求剪力時

13、要取兩側各一個截面）、力集中力作用處（求剪力時要取兩側各一個截面）、力偶作用處兩側、均布荷載的起點、終點和中點等；偶作用處兩側、均布荷載的起點、終點和中點等； 若二控制截面間無外力作用，則連以直線。若有若二控制截面間無外力作用，則連以直線。若有外力作用，則連直線（基線）后疊加上簡支梁的彎矩外力作用，則連直線（基線）后疊加上簡支梁的彎矩圖。圖。3.2 3.2 斜梁的內(nèi)力計算斜梁的內(nèi)力計算工程實際中樓梯等結構常簡化為斜梁。工程實際中樓梯等結構常簡化為斜梁。樓梯斜梁承受的荷載主要有兩種，一種是沿斜梁水樓梯斜梁承受的荷載主要有兩種，一種是沿斜梁水平投影長度分布的荷載，如樓梯上人群的重量等；另一平投影長

14、度分布的荷載，如樓梯上人群的重量等；另一種是沿傾斜的梁軸方向分布的豎向荷載，如梁的自重等。種是沿傾斜的梁軸方向分布的豎向荷載，如梁的自重等。一般在計算時，為計算簡便可將沿梁軸方向分布的一般在計算時，為計算簡便可將沿梁軸方向分布的豎向荷載按等值轉換為沿水平方向分布的豎向荷載，如豎向荷載按等值轉換為沿水平方向分布的豎向荷載，如圖圖 (a)(a)所示，梁斜長為所示，梁斜長為ll，水平投影長度為，水平投影長度為l l，沿梁軸，沿梁軸線方向分布的荷載為線方向分布的荷載為qq，轉換為沿水平方向分布的荷載，轉換為沿水平方向分布的荷載為為q q，則由于是等值轉換，所以有：，則由于是等值轉換，所以有： qlql

15、=ql=ql即即: q=ql/l: q=ql/l=q/cos=q/cos下面以承受沿水平向分布的均布荷載的斜梁為例進下面以承受沿水平向分布的均布荷載的斜梁為例進行內(nèi)力分析，如圖行內(nèi)力分析，如圖(b)(b)所示。所示。根據(jù)平衡條件，可以求出支座反力為：根據(jù)平衡條件，可以求出支座反力為： X XA A=0,=0, Y YA A=Y=YB B=1/2ql=1/2ql則距則距A A支座距離為支座距離為x x的截面上的內(nèi)力可由取隔離體求出。的截面上的內(nèi)力可由取隔離體求出。如圖如圖(c)(c)所示，荷載所示，荷載qxqx、YAYA，在梁軸方向（，在梁軸方向（t t方向）的分方向）的分力分別為力分別為qxs

16、inqxsin、YAsinYAsin；在梁法線方向（；在梁法線方向（n n方向）的方向）的分力分別為：分力分別為：qxcosqxcos、YAcosYAcos。則由平衡條件得：。則由平衡條件得：T=0T=0： Y YA Asin-qxsin+Nsin-qxsin+NX X=0=0 N NX X=(qx-1/2ql)sin=(qx-1/2ql)sinN=0: YN=0: YA Acos-qxcos-Qcos-qxcos-QX X=0=0 Q QX X=(1/2ql-qx)cos=(1/2ql-qx)cosMX=0: YMX=0: YA Ax-qxx-qxx/2-Mx/2-MX X=0=0 M MX

17、 X=1/2qx(1-x)=1/2qx(1-x)由此即可繪出其內(nèi)力圖如圖由此即可繪出其內(nèi)力圖如圖 (d)(d)所示。所示。由上可知：彎矩圖為拋物線形，跨中彎矩為由上可知：彎矩圖為拋物線形，跨中彎矩為1/8ql1/8ql2 2，它與承受相同荷載的水平簡支梁完全相同，它與承受相同荷載的水平簡支梁完全相同，Q Q圖與同樣條件的水平簡支梁的圖與同樣條件的水平簡支梁的Q Q圖形狀相同，但圖形狀相同，但數(shù)值是水平簡支梁的數(shù)值是水平簡支梁的coscos倍。倍。 3.3.13.3.1 多跨靜定梁幾何組成多跨靜定梁幾何組成 多跨靜定梁是由若干根伸臂梁和簡支梁用鉸聯(lián)結多跨靜定梁是由若干根伸臂梁和簡支梁用鉸聯(lián)結而成

18、，并用來跨越幾個相連跨度的靜定梁。這種梁常而成，并用來跨越幾個相連跨度的靜定梁。這種梁常被用于橋梁和房屋的檁條中，如被用于橋梁和房屋的檁條中，如圖圖1010所示。其簡圖如所示。其簡圖如圖圖11(a)11(a)所示。所示。 多跨靜定梁按其幾何組成特點可有兩種基本形式，多跨靜定梁按其幾何組成特點可有兩種基本形式，第一種基本形式如第一種基本形式如圖圖11(b)11(b)所示；第二種基本形式如所示；第二種基本形式如圖圖12(a)12(a)所示所示 ，其層次圖如，其層次圖如圖圖12(b)12(b)所示。所示。 3.3 3.3 多跨靜定梁的內(nèi)力計算。多跨靜定梁的內(nèi)力計算。圖圖10 10 圖圖11 11 圖

19、圖1212 3.3.2 3.3.2 多跨靜定梁的內(nèi)力計算多跨靜定梁的內(nèi)力計算 由層次圖可見，作用于基本部分上的荷載，并不由層次圖可見，作用于基本部分上的荷載，并不影響附屬部分，而作用于附屬部分上的荷載，會以支影響附屬部分，而作用于附屬部分上的荷載，會以支座反力的形式影響基本部分，因此在多跨靜定梁的內(nèi)座反力的形式影響基本部分，因此在多跨靜定梁的內(nèi)力計算時，應先計算高層次的附屬部分，后計算低層力計算時，應先計算高層次的附屬部分，后計算低層次的附屬部分，然后將附屬部分的支座反力反向作用次的附屬部分，然后將附屬部分的支座反力反向作用于基本部分，計算其內(nèi)力，最后將各單跨梁的內(nèi)力圖于基本部分，計算其內(nèi)力，

20、最后將各單跨梁的內(nèi)力圖聯(lián)成一體，即為多跨靜定梁的內(nèi)力圖。聯(lián)成一體，即為多跨靜定梁的內(nèi)力圖。 例例6 6 試作出如試作出如圖圖13(a)13(a)所示的四跨靜定梁的彎矩圖和剪所示的四跨靜定梁的彎矩圖和剪力圖。力圖。解：（解：（1 1） 繪制層次圖，如繪制層次圖，如圖圖13(b)13(b)所示。所示。 （2 2） 計算支座反力，先從高層次的附屬部分開計算支座反力，先從高層次的附屬部分開始，逐層向下計算：始，逐層向下計算： EFEF段：由靜力平衡條件得段：由靜力平衡條件得 M ME E=0:=0: Y YF F4-104-102=02=0 Y YF F=5kN=5kN Y=0: Y=0: Y YE E=20+10-Y=20+10-YF F=25kN=25kN 圖13 CECE段：段：將將Y YE E反向作用于反向作用于E E點，并與點，并與q q共同作用可得：共同作用可得： M MD D=0: =0