工廠升級(jí)方案的優(yōu)化模型數(shù)學(xué)建模

1、工廠升級(jí)方案的優(yōu)化模型（一）: 摘要利用MATLAB件對(duì)所給的價(jià)格與需求量的關(guān)系進(jìn)行曲線擬合，并借助LINGO 軟件對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解， 通過(guò)比較利潤(rùn)最大值和收益率得出了兩個(gè)方 案的優(yōu)劣性并在此基礎(chǔ)上給出了一個(gè)更好的提案。對(duì)于方案1,首先我們用MATLA軟件對(duì)所給的價(jià)格與需求量的關(guān)系進(jìn)行了曲線擬合得到了兩種產(chǎn)品的需求量與價(jià)格滿足的關(guān)系式， 然后根據(jù)題意有：該公司提供芯片的總數(shù)不超過(guò)最大值 等約束條件，得出非線性規(guī)劃模型。我們借助LINGOS件對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行了求解（程序及運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)下面），并計(jì)算得到了它的收益率最大利潤(rùn) 丫為5194979元，W100X勺產(chǎn)量為：4327, W200X

2、勺產(chǎn)量為: 2432, W100X勺價(jià)格應(yīng)訂為：617.838元W200X勺價(jià)格應(yīng)訂為：1200.919元對(duì)于方案 2，我們利用了同方案 1同樣的方法得到了兩種產(chǎn)品的需求量與價(jià)格滿足的關(guān)系式，然后根據(jù)題意有：該公司提供芯片的總數(shù)不超過(guò)最大值 ，等約束條 件，得出非線性規(guī)劃模型。我們同樣借助 LINGO軟件對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行了求 解（程序及運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)下面），并計(jì)算得到了它的收益率最大利潤(rùn) 丫5797733.元，W100X勺產(chǎn)量為：3349, W200X勺產(chǎn)量為：5747,W100X勺價(jià)格應(yīng)訂為：732.0423 元,W200X勺價(jià)格應(yīng)訂為：998.3252元因此我們得出了方案 2比方案 1勺總

3、利潤(rùn)大,故方案 2優(yōu)于方案 1；但方案 2 勺收益率卻沒(méi)有方案 1 勺高。最后我們?cè)谏鲜龌A(chǔ)上運(yùn)用 規(guī)劃將三個(gè)工廠是否升級(jí)表示出來(lái) ,定義1為升級(jí), 0為不升級(jí)，然后根據(jù)題意得出約束條件（同理），我們同樣借助LINGC軟件對(duì)01 性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行了反復(fù)試驗(yàn)求解（程序見(jiàn)下面）,得出了將升級(jí)為利潤(rùn)最大的方案，由此我們得出了一個(gè)更好的方案。最大利潤(rùn)丫為6797733元;W100x的價(jià)格應(yīng)訂為：701.12元，W200x的價(jià)格應(yīng)訂為：957.23元。同時(shí)得出下個(gè)月的最大利潤(rùn) 丫為 9097428元；W100x的價(jià)格應(yīng)訂為：750.0422元，W200x的 價(jià)格應(yīng)訂為： 867.3252 元。（二）：關(guān)鍵

4、詞非線性規(guī)劃模型，曲線擬合， LINGO 軟件，收益率， 0-1 規(guī)劃，最小貨幣損失。（三）：?jiǎn)栴}重述 :1 基本情況： 某公司所屬的高新技術(shù)研究所開(kāi)發(fā)了一種新的產(chǎn)品 W200X ，該公司 現(xiàn)有三個(gè)工廠，都生產(chǎn)普通的產(chǎn)品W100X。公司計(jì)劃將現(xiàn)有工廠升級(jí)，升級(jí)后的工廠將能產(chǎn)生 W100X 和 W200X 兩種產(chǎn)品。2有關(guān)信息：（1假設(shè)各工廠現(xiàn)有的工人數(shù)和預(yù)計(jì)需要的升級(jí)費(fèi)用如下:工廠工人數(shù)升級(jí)費(fèi)（萬(wàn)元）A13010A24017.5A36020其中A1離該公司的研究所最近，A2是最新最大的工廠。（2）升級(jí)過(guò)程需要一周，在此期間，工廠將停產(chǎn)。該公司在過(guò)去的幾個(gè)月進(jìn)行 了市場(chǎng)調(diào)研，W100X現(xiàn)有的批發(fā)

5、價(jià)為400元。預(yù)測(cè)每種產(chǎn)品一個(gè)月的需求量隨 價(jià)格變換的數(shù)據(jù)：W100X價(jià)格（元）需求量（個(gè)）W200X價(jià)格（元）需求量（個(gè)）2401580040027000400r 11300r 60016500480935076012100600665010005400800佃5012002950（3） 工人情況：工人的工資是 45元/小時(shí)。工廠一星期做工40小時(shí)。工人數(shù)為 固定數(shù)值。（4） 產(chǎn)品情況：W100X的零件成本40元，需1.5小時(shí)工作量；W200X的零件 成本為64元，需1.75小時(shí)工作量；每個(gè)W100X產(chǎn)品需要兩個(gè)老芯片，每個(gè)W200X 產(chǎn)品需要兩個(gè)新芯片，該公司提供芯片的生產(chǎn)方程為：8 x老

6、芯片數(shù)+3 x新芯片數(shù)=10萬(wàn)元/月（5）兩位副總裁分別提出了方案 1,方案2,如下：方案1:只讓A1工廠升級(jí)，只生產(chǎn)新產(chǎn)品 W200X ;方案2:所有工廠都升級(jí)，可生產(chǎn)兩種產(chǎn)品。3提出的問(wèn)題：根據(jù)老板的要求，提出以下問(wèn)題：（1）研究?jī)晌桓笨偛锰岢龅姆桨?，建立模型求解，分析比較；自己研究出一個(gè) 最好的方案，使得貨幣損失盡量小和利益盡可能大，讓總裁最為滿意。（2）提出的方案包括：?jiǎn)栴}陳述，方案的模型和分析，尋求最佳方案的方法， 結(jié)果的分析。（3）解決下個(gè)月第幾個(gè)工廠升級(jí)，每種產(chǎn)品的定量和定價(jià)。（四）：?jiǎn)栴}分析在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的今天，企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)也越來(lái)越激烈，公司的產(chǎn)品必須不 斷的更新才能適應(yīng)市場(chǎng)

7、的需求，更新產(chǎn)品就意味著要對(duì)生產(chǎn)硬件升級(jí)或更新，對(duì) 產(chǎn)品的生產(chǎn)以及銷售方案也要做優(yōu)化和調(diào)整，因此，只有制定一個(gè)最優(yōu)的方案， 才能使得公司的利潤(rùn)最大化?，F(xiàn)在討論的問(wèn)題是公司生產(chǎn)和銷售計(jì)劃最有方案的 確定問(wèn)題。根據(jù)題意，要做的是研究?jī)蓚€(gè)副總裁提出的方案， 再基于這兩種方案的研究， 提出一種更加合理的方案，來(lái)實(shí)現(xiàn)公司的利潤(rùn)最大化。首先要確定一個(gè)銷售價(jià)格， 正確地制定新舊產(chǎn)品的價(jià)格很重要。 紙袋了每種產(chǎn)品一個(gè)月的需求量隨價(jià)格變化 的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，就可以根據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，將每種產(chǎn)品價(jià)格與需求量的關(guān)系擬合成 一條曲線，受生產(chǎn)能力的限制，只能根據(jù)每種產(chǎn)品的產(chǎn)量來(lái)確定產(chǎn)品價(jià)格和市場(chǎng) 需求量。方案1只有工廠A1升級(jí)

8、，只生產(chǎn)新產(chǎn)品 W200X。方案2讓所有的工廠的都 升級(jí)，可以同時(shí)生產(chǎn) W100X 和 W200X 。方案 1和方案 2 是在約束條件不同的 情況下，追求最大利潤(rùn)的規(guī)劃問(wèn)題。只要建立規(guī)劃模型，一公司的最大利潤(rùn)為目 標(biāo)函數(shù)，對(duì)模型進(jìn)行求解，再對(duì)得到的模型結(jié)果進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上根據(jù)結(jié)果 提出進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)的新方案。根據(jù)市場(chǎng)需求和價(jià)格，每個(gè)工廠都有升級(jí)和不 升級(jí)兩種可能，分別設(shè)為 0 和 1，由 0-1 規(guī)劃模型，可以建立一個(gè)關(guān)于最大利潤(rùn) 為目標(biāo)的函數(shù)，由此可以求得工廠的升級(jí)情況，最大利潤(rùn)以及各廠的產(chǎn)量。根據(jù)規(guī)劃模型的升級(jí)情況，可以對(duì)下個(gè)月的升級(jí)情況進(jìn)行分析。如果有一個(gè) 工廠升級(jí)，下個(gè)月就是升級(jí)

9、 1個(gè)工廠或者 2 個(gè)工廠升級(jí)的情況，這樣還需要再建 立一個(gè)規(guī)劃模型來(lái)確定工廠的升級(jí)情況和最大利潤(rùn)。如果有 2 個(gè)工廠升級(jí)，那么 下個(gè)月就升級(jí)剩下的 1 個(gè)工廠，只要確定產(chǎn)品的產(chǎn)量和定價(jià)。（五）：?jiǎn)栴}假設(shè)1. 假設(shè)價(jià)格與需求量之間的關(guān)系穩(wěn)定。2. 設(shè)工廠升級(jí)為 1，不升級(jí)為 0。3. 假設(shè)工廠沒(méi)有存貨，當(dāng)月生產(chǎn)的當(dāng)月全部售完。4. 假設(shè)工人不工作就不發(fā)放工資。5. 一個(gè)月按四個(gè)星期計(jì)算。6. 工廠給的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精確可靠。（六）：符號(hào)約定Y ： 利潤(rùn)；P ：生產(chǎn)成本；P1: w100x 的價(jià)格；P2: w200x 的價(jià)格；Xi1:第i個(gè)工廠生產(chǎn) w100x的數(shù)量；Xi2:第i個(gè)工廠生產(chǎn) w200x

10、的數(shù)量；Wi:第 i 個(gè)工廠的升級(jí)費(fèi)用；總的升級(jí)費(fèi)用為 W；T ： 工人總工資；b1:老芯片的使用數(shù)量；b2:新芯片的使用數(shù)量；N1 :w100x的總產(chǎn)量；N2:w200x的總產(chǎn)量；Di:第 i 個(gè)工廠的工人數(shù)量(七) :數(shù)學(xué)模型的建立及求解1:用 Matlab 擬合出價(jià)格與需求量關(guān)系的函數(shù) 將下列程序輸入 Matlab : N=input(N=);p=input(p=);n=length(N);s1=sum(N);s2=sum(N.*N);s3=sum(p);s4=sum(N.*p);A=n,s1;s1,s2;B=s3;s4;C=AB;x=C(1,1);y=C(2,1);u=N(1):0.0

11、05:N(n);xy輸入： N=15800 11300 9350 6650 1950;p=240 400 480 600 800運(yùn)行后得： x =871.1543y = -0.0407輸入： N=27000 16500 12100 5400 2950;p=400 600 760 1000 1200運(yùn)行得 x =1203y =-0.0321所以產(chǎn)品 w100x 的價(jià)格與需求量之間的函數(shù)關(guān)系：N1=21404.28 - 24.57*P1產(chǎn)品 w100x 的價(jià)格與需求量之間的函數(shù)關(guān)系：N2=37476.63 - 31.15*P22 下面對(duì)兩個(gè)副總裁提出的方案建立模型進(jìn)行求解：方案1:只升級(jí)工廠A1，

12、且升級(jí)后的A1只生產(chǎn)產(chǎn)品W200X，則建立的模型即為求出A1生產(chǎn) w200x和A2、A3生產(chǎn)w100x的最大利潤(rùn)模型如下:函數(shù): Y=(X21+X31 )*p1+X12*p2-W-T-P條件: 8*b1+3*b2= X21+X31N2=X12P=40*(X21+X31 )+64 *X12T=45*1.5 X( X21+X31 ) +1.75X12W=W1=1000004X 40(D2+D3)=1.5*(X21+X31 )(4-1)*40=1.75X12在 Lingo 里輸入如下程序來(lái)求解:max= X21*p1+X31*p1+X12*p2-W-T-P;8*b1+3*b2= X21+X31;N2

13、=X12;P=40*X21+40*X31+64*X12;T=60*X21+60*X31+78.75*X12;W=100000;160*D2+160*D3=1.5*X21+1.5*X31;120=1.75*X12;gin(X12);gin(X21);gin(X31);end 運(yùn)行結(jié)果為：Local optimal solution found at iteration: 25069995194979.Objective value:VariableValueReduced CostX212108.000000-264.5208P1617.83800.000000X312219.000-264.5

14、210X122432.00000-1055.986P21200.9190.000000W100000.00.000000T378795.00.000000P253312.00.000000B112448.000.000000B2136.00000.000000N16224.0000.000000N268.000000.000000D20.0000000.000000D358.350000.000000RowSlack or Surplus Dual Price15194979.1.00000028.0000000.00000030.0000000.00000040.0000000.000000

15、50.000000253.317160.0000002.18298670.000000-253.317180.000000-2.18298690.000000-1.000000100.000000-1.000000110.000000-1.000000120.0000000.000000131.0000000.000000由運(yùn)行結(jié)果結(jié)果可知： 最大利潤(rùn)丫為5194979元W100x 的產(chǎn)量為： 4327W200x 的產(chǎn)量為： 2432W100x 的價(jià)格應(yīng)訂為： 617.838 元W200x 的價(jià)格應(yīng)訂為： 1200.919 元模型 2：方案 2：讓三個(gè)工廠都升級(jí)，這樣三個(gè)工廠都能生產(chǎn) W100

16、X 、w200x 兩種產(chǎn)品， 這樣所有工廠都得停工一個(gè)星期，建立模型如下： 函數(shù)： Y=(X11+X21+X31)*P1+(X12+X22+X32)*P2 -W-T-P;條件： 8*b1+3*b2= X11+X21+X31N2=X12+X22+X32P=40* ( X11+X21+X31 ) +64 *(X22+X12+X32);T=45*1.5* (X11+X21+X31 )+1.75*(X22+X12+X32) W=W1+W2+W3=(10+17.5+20)*100003*40(D1+D2+D3)=1.5*(X11+X21+X31 )+1.75*(X22+X12+X32) 在 Lingo

17、里輸入如下程序來(lái)求解： max=(X11+X21+X31)*P1+(X12+X22+X32)*P2 -W-T-P;8*b1+3*b2= X11+X21+X31;N2=X12+X22+X32; P=40*(X11+X21+X31)+64 *(X22+X12+X32); T=60*(X11+X21+X31)+78.75*(X22+X12+X32); W= (10+17.5+20)* 10000;120*(D1+D2+D3)=1.5*(X11+X21+X31)+1.75*(X22+X12+X32); gin (x11);gin (x12);gin (x21);gin (x22);gin (x31);

18、gin (x32);end51523運(yùn)行得結(jié)果：5797733.Local optimal solution found at iteration:Objective value:VariableValueReduced CostX111.00000.000000X211.000000-0.1259096E-02X313347.000000-0.1259096E-02P1732.04230.000000X122013.000105.0503X222628.000105.0503X321106.000P2998.32520.000000W475000.00.000000T1168350.0.00

19、0000P941096.00.000000B11922.0000.000000B228208.000.000000N1961.00000.000000N214104.000.000000D10.0000000.000000D20.0000000.000000D3217.69580.000000RowSlack or Surplus Dual Price15797733.1.00000020.00000043.3081030.000000-346.464840.000000-129.924350.00000039.1127460.000000452.776970.000000-39.112748

20、0.000000-452.776990.000000-1.000000100.000000-1.000000110.000000-1.000000120.0000000.000000由運(yùn)行結(jié)果結(jié)果可知：最大利潤(rùn)丫為5797733. 元WIOOx的產(chǎn)量為：3349W200x的產(chǎn)量為：5747WIOOx的價(jià)格應(yīng)訂為：732.0423 元W200x的價(jià)格應(yīng)訂為：998.3252 元3.對(duì)方案1和方案2的結(jié)果進(jìn)行分析和比較： 從結(jié)果可以看出：（1）w100x和w200x兩種產(chǎn)品的價(jià)格方案2都比方案1低，但方案2 的利潤(rùn)卻高于方案1。（2）方案1中升級(jí)后的工廠只能生產(chǎn) w100x 一種產(chǎn)品，有一定的局限

21、 性，方案2更具有合理性。（3）公司非常關(guān)注非貨幣損失，而對(duì)于方案 2來(lái)說(shuō)，所有廠都升級(jí)， 升級(jí)費(fèi)用會(huì)增加，并且升級(jí)所有工廠都要停止生產(chǎn)一個(gè)星期，造 成非貨幣損失偏大。所以需要找到一個(gè)優(yōu)化方案，使得公司能夠獲得最大利潤(rùn)，同時(shí)非貨幣損失要盡 量小。模型3：方案3:要找到一個(gè)優(yōu)化方案，使得公司能夠獲得最大利潤(rùn)，同時(shí)非貨幣損失要 盡量小，根據(jù)分析，引入0-1規(guī)劃模型，表第i個(gè)工廠升級(jí)Ci=表第i個(gè)工廠不升級(jí)9#則可以建立如下數(shù)學(xué)模型:maxY Ci*xil*pi+z Ci*Xi2*P2 -W-T-P;函數(shù)：日山條件：8*b1+3*b2v=100000;2 *C ii =1X*ii =1N1=2140

22、4.28-24.57*P1;N2=37476.63-31.15*P2;N1=CiXi 13N2=-Ci * Xi 2;i -133P=40*Ci*Xi1+64 * Ci* Xi2;i =1i =133T=45*1.5* Ci*Xi1+1.75* Ci*Xi2;i Ti=1W=W1+W2+W3=(10*C1+C2*17.5+C3*20)*10000333(4-Ci)*40*Di=1.5* Ci * Xi 1+1.75* Ci * Xi 2i=1idi =1在Lingo里輸入如下程序來(lái)求解：max=(X11+X21+X31)*P1+(X12+X32)*P2 -W-T-P;8*b1+3*b2= X1

23、1+X21+X31;N2=X12 +X32;P=40*(X11+X21+X31)+64 *( X12+X32); T=60*(X11+X21+X31)+78.75*( X12+X32);W= (10+20)* 10000;120*(D1+D3)+160*D2 =1.5* (X11+X21+X31 )+1.75* ( X12+X32);gin (x11);gin (x12);gin (x21);gin (x31);gin (x32);end運(yùn)行后得結(jié)果：Local optimal soluti on found at iterati on:119Objective value:6797733.V

24、ariableValueReduced CostX110.00000.000000X213238.000000.5409307E-04X310.00000-0.8458066E-04P1701.120.000000X122036.000105.0503X323996.000105.0503P2957.230.000000W475000.00.000000T1168350.0.000000P941096.00.000000B11922.0000.000000B228208.000.000000N1961.00000.000000N214104.000.000000D10.0000000.0000

25、00D20.0000000.000000D3217.69580.000000X220.0000000.000000RowSlack or Surplus Dual Price16797733.1.00000020.00000043.3081030.000000-346.464840.000000-129.924350.00000039.1127460.000000452.776970.000000-39.1127480.000000-452.776990.000000-1.000000100.000000-1.000000110.000000-1.000000120.0000000.00000

26、0由結(jié)果可知只需 A1 和 A3 兩個(gè)工廠升級(jí) 最大利潤(rùn) Y 為 6797733 元；W100x 的價(jià)格應(yīng)訂為： 701.12 元W200x 的價(jià)格應(yīng)訂為： 957.23 元這個(gè)方案使得利潤(rùn)大于方案 1 和方案 2，且第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量大大高于第一種產(chǎn) 品的產(chǎn)量，升級(jí)費(fèi)用和停工時(shí)間也減少了，所以這個(gè)方案較好。4下個(gè)月的工廠升級(jí)和產(chǎn)量、定價(jià)由方案3知道下個(gè)月只需要升級(jí) A2即可，A2停工一個(gè)星期，則可建立最大利潤(rùn) 的如下模型：函數(shù)：Y=(X11+X21+X31)*P1+(X12+X22+X32)*P2 -W-T-P;條件： 8*b1+3*b2= X11+X21+X31N2=X12+X22+X32P

27、=40* ( X11+X21+X31 ) +64 *(X22+X12+X32);T=45*1.5* (X11+X21+X31 )+1.75*(X22+X12+X32)W= W2 =17.5*100004*40(D1+D3 )+3*40=1.5* (X11+X21+X31 )+1.75*(X22+X12+X32) 在 Lingo 里輸入如下程序來(lái)求解： max=(X11+X21+X31)*P1+(X12+X22+X32)*P2 -W-T-P; 8*b1+3*b2= X11+X21+X31;N2=X12+X22+X32; P=40*(X11+X21+X31)+64 *(X22+X12+X32);

28、T=60*(X11+X21+X31)+78.75*(X22+X12+X32); W= 17.5* 10000;160*(D1+D3)+120*D2 =1.5* (X11+X21+X31 )+1.75* (X22+X12+X32 ); gin (x11);gin (x12);gin (x21);gin (x22);gin (x31);gin (x32);end 運(yùn)行結(jié)果為： Local optimal solution found at iteration:109525Objective value: 9097428.VariableValueReduced CostX110.000000-0.

29、1258066E-02X210.00000.2136114E-05X314100.00000.000000P1750.04220.000000X123002.0000105.0503X223101.000000105.0275X322699.000000105.0275P2867.32520.000000W175000.00.000000T1168350.0.000000P941096.00.000000B11922.0000.000000B228208.000.000000N1961.00000.000000N214104.000.000000D10.0000000.000000D30.0000000.000000D2217.69580.000000RowSlack or Surplus Dual Price19097428.1.00000020.00000043.3081030.000000-346.464840.000000-129.924350.00000039.1127460.000000