正余弦定理的應用

1、正余弦定理的應用三角形面積公式一、教學內(nèi)容解析 本課教學內(nèi)容出自人教版普通高中課程標準實驗教科書必修數(shù)學 5第一 章節(jié)。1. 教材內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容是正弦定理與余弦定理知識的延續(xù)， 借助正弦定理和余弦定理， 進 一步解決一些有關(guān)三角形面積的計算。 教材中先結(jié)合已知三角形面積公式推導新 的三角形面積公式， 然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面積， 最后給出三角 形面積實際問題的求解過程。2. 教學內(nèi)容的知識類型在本課教學內(nèi)容中， 包含了四種知識類型。 三角形面積公式的相關(guān)概念屬于 概念性知識， 三角形面積公式的符號語言表述屬于事實性知識， 利用正弦定理和 余弦定理求解三角形面積的步驟屬于程序性知識，

2、發(fā)現(xiàn)問題提出問題解 決問題的研究模式， 以及從直觀到抽象的研究問題的一般方法， 屬于元認知知識。3. 思維教學資源與價值觀教育資源 已知三角形兩邊及其夾角求三角形面積的探索過程能引發(fā)提出問題分 析問題解決問題的研究思維； 生活實際問題求解三角形面積， 是培養(yǎng)數(shù)學建 模思想的好契機；引出海倫公式和秦九韶“三斜求積”公式，激發(fā)學生學習數(shù)學 的興趣，探究數(shù)學史材料，培養(yǎng)學生對數(shù)學的喜愛。二、學生學情分析 主要從學生已有基礎進行分析。1. 認知基礎 ：從學生知識最近發(fā)展區(qū)來看，學生在初中已經(jīng)學習過用底和 高表示的三角形面積公式， 并且掌握直角三角形中邊和角的關(guān)系。 現(xiàn)在進一步探 究兩邊及其夾角表示的面

3、積公式符合學生的認知規(guī)律。 此外在前面兩節(jié)的學習中 學生已經(jīng)掌握了正余弦定理，這為求解三角形的邊和角打下了堅持基礎。2.非認知基礎： 通過小學、初中和高中階段三角函數(shù)和應用題的學習， 學生 具有一定的分析問題、類比歸納、符號表示的能力。具備相當?shù)娜粘Ｉ罱?jīng)驗， 能夠從實際問題抽象出數(shù)學問題并建立數(shù)學模型解決問題。三、教學策略選擇普通髙中數(shù)學課程標準 （2017 年版） 強調(diào)基于核心素養(yǎng)的教學 , 特別重視 情境的創(chuàng)設和問題的提出。史寧中教授曾指出 : “設計情境和提出問題的目的是 啟發(fā)學生思考 , 設計情境和提出問題的根基是數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)”?；诖耍竟?jié)課我的設計理念是：以問題為載體，以學生為

4、主體，創(chuàng)設有效 問題情境，努力營造開放、民主、和諧的學習氛圍，充分調(diào)動學生的興趣與積極 性。讓學生在經(jīng)歷“自主、探究、合作”的過程中，分析問題、解決問題，收獲 數(shù)學自信。1、教學方法的選擇本課結(jié)合幻燈片、 實物投影等多媒體技術(shù)的教學手段， 選擇觀察發(fā)現(xiàn)式、 問 題啟發(fā)式、合作討論式的教學方法。依據(jù)的學生認知規(guī)律，創(chuàng)設具體問題，用問 題串起教學，這樣的設計也體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題的研究模 式，不斷激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，樹立了學生的自信，激發(fā)探索欲望。在師生 互動、生生互動中，體驗知識與方法的生成過程，形成學生主動參與，自主與合 作探究的課堂氣氛，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會和

5、適當幫助。2、學習反饋的分析 通過課堂小結(jié)反饋學生的知識、方法、思想、學法上的收獲。通過三道當堂 小測題目反饋學生對運用正弦定理和余弦定理求三角形面積掌握程度。四、教學目標設置本課教學以普通高中數(shù)學課程標準（ 2017 年版）為基本依據(jù)，以“數(shù) 學育人”作為根本目標設置。1. 主題目標 突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合， 感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解。2. 單元目標 能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題。3. 細化目標為了達到以上要求，結(jié)合學生實際，本課課堂教學目標設置如下：（一）能通過分析問題、 解決問題推導出三角形兩邊及其夾角面積公式， 會 運用正

6、弦定理、余弦定理節(jié)求三角形面積。（二）經(jīng)歷從生活實際問題抽象出數(shù)學模型并求解的過程， 發(fā)展學生數(shù)學建 模素養(yǎng)，收獲數(shù)學自信。（三）體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習興趣；通過數(shù)學史知識擴展，領 略數(shù)學魅力。五、教學重點難點1. 教學重點及突出重點本節(jié)重點在于運用正弦定理和余弦定理求三角形面積。為了突出重點設置了三個層次的題目：首先是推導出三角形面積公式后的跟 蹤訓練，熟練三角形面積公式；其次是通過例一及例一練習題來重點加強用正弦 定理求三角形面積公式；最后通過生活實際問題探究強化余弦定理求三角形面積 公式知識。此外，在課堂小測中再次突出重點準備了三道題強化重點。2. 教學難點及難點突破難點1：例

7、一中如何靈活選用正弦定理和余弦定理求解三角形面積。難點1突破設置為例題，注重分析過程，剖析思路并詳細板書過程，幫助學生理解。從 問題出發(fā)，抓住面積公式，要計算面積就要知道三角形的兩邊及其夾角，明確要求的元素；聯(lián)系題目，已知兩角和其中一角的對邊，屬于正弦定理問題；代數(shù)求 解，代入具體數(shù)值求值。數(shù)學題的解題過程其實就是運用所學知識把已知條件和 所求聯(lián)系起來的過程，這中間注意培養(yǎng)學生運用“聯(lián)系”的思想方法。難點2：生活實際問題的解決一一能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際 問題。難點2突破合作探究把本該是例題的題作為探究題目，在例一認真講解的基礎上， 放心大膽交由學生合作探究解題，引導學生在探究中解

8、決問題，加深印象，最終 收獲數(shù)學自信。六、教學過程設計1、教學流程生活實際深入探究數(shù)海拾貝復習舊知理解例題合作探究自主小結(jié)生->->->活動思考探究學習過程建立模型認真自測得出結(jié)論跟蹤訓練解決問題挑戰(zhàn)自我課堂小結(jié) 當堂檢測 高考提升師生配合完成學習內(nèi)容2、具體過程 步驟1:提出問題，引發(fā)思考（3min）前面我們學習了正弦定理和余弦定理，并利用這兩個定理進行了解三角形的探索,今天我們更進一步來探究三角形面積的計算。根據(jù)初中三角形全等判定的知識，我們知道：在三角形中兩邊和夾角確定，這個 三角形就是確定的。那么它的面積該如何求呢設計意圖：通過創(chuàng)設問題，形成思維撞針，激發(fā)深層次思考，

9、揭示課題。步驟2：復習舊知，新課準備（3min）我們初中學習過的面積公式是什么直角三角形中的邊角有什么關(guān)系那我們不妨從這兩個方面入手， 來具體探究一下已知兩邊和夾角求三角形面積的 問題。設計意圖：復習初中三角形面積公式和直角三角形邊角關(guān)系，并在這個過程中發(fā)現(xiàn)方法，把 高用邊和角表示，更有利于學生接受，并在潛移默化中教會學生運用聯(lián)系的觀點看問題, 提高學生分析問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)。步驟3:問題驅(qū)動，探索發(fā)現(xiàn)（6min）給出問題，學生自主探究，再讓學生分享探索過程，得出結(jié)論。把課堂還給學生 探究一 如圖，在 ABC中，邊BC，CA, AB上的高分別記為ha, hb, he問題1你

10、能用 ABC邊角分別表示ha, hb, he嗎 提示ha bsinC csin Bhb csin A asinChc asin B bsi nA問題2你能用邊a與高ha表示 ABC的面積嗎提示S ABC-ahaabsinCacsin B2 21同理我們可以得出S abc besi nA2結(jié)論，已知 ABC中，a, b, c,所對的角分別為A, B, C，其面積為S,則:S ABCabsin C2-acsin B2bcsin A2設計意圖：帶著問題學習，讓學生自己發(fā)現(xiàn)關(guān)系，引導其總結(jié)，能夠激發(fā)學生的學習主動性, 建立數(shù)學學習自信，并且對知識印象深刻。步驟4：解決問題，實踐真知（2min）經(jīng)過前面

11、同學們的探究，現(xiàn)在我們可以回答剛上課時老師的問題了。學生回答問題：在三角形中兩邊和夾角確定，這個三角形就是確定的。那么它的 面積該如何求呢實踐出真知，來道題試試看：練習1、在 ABC中，已知A 30，b 2, c 2.3,求 ABC的面積參考答案 S ABC 1 bcsin A 2 2,3.32 2 2設計意圖：呼應開頭，讓學生經(jīng)歷提出問題，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，并在這個過程中 熟練公式，體會解決問題的快樂，建立數(shù)學自信。步驟5:提升難度，例題學習（10min）同學們成功的get到了用兩邊及其夾角表示的三角形面積公式這個新技能，下面讓我們一起來看看這個題如何解。例1在ABC中，已知B 60

12、,C45 ,A 180 (BC)180(6045 )sin A sin 75sin(4530 )sin 45根據(jù)正弦定理,bccbsin C4、6sin B sin C 'sin B3，1 .1 .4 6、6、2b 4，求ABC的面積解:75234S 2U 6 V 2cos30 cos45 sin 30練習在ABC 中,已知B 45 ,C 120 ,b 2，求 ABC 的面積4參考答案設計意圖:難度提升，把三角形面積公式和正弦定理相結(jié)合，學生要求解面積，先要同正弦 定理解三角形。通過此題幫助學生復習加深正弦定理，教會學生用聯(lián)系的觀點看問題， 逐步分析問題解決問題，同時為接下來學生自主探

13、究余弦定理相關(guān)面積問題做好鋪墊。講練結(jié)合，例題講完緊跟練習，及時鞏固。步驟6:生活實際，深入探究（10min）好多同學說，老師我們學的這些知識有用么，有用，現(xiàn)在就有一個問題等你解決學生自主探究解決問題并請同學上黑板分享解題思路。探究二如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中，要把一個三角形 的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的 三條邊長分別為68m,88 m,127 m,這個區(qū)域的面積是多 少（只需列式不需要計算）思考：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎 提示：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。解：設a 68m,b88m,c127m,根據(jù)余弦定理的推

14、論,cosB2 2.2 2 2 2cab12768882ac2 127 68sin B、1 cos2 B1 應用S 丄acsinB可解。2設計意圖：從生活中挖掘、提煉素材，尋找實際背景和激趣元素，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興 趣,體會數(shù)學在實際生活中的應用意識，培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題的能力。引導學生自主思考如何把生活實際問題化歸為數(shù)學問題，并利用余弦定理求解三角形面 積。通過化歸過程體會數(shù)學建模的思想，提升數(shù)學思維。步驟7：數(shù)海拾貝，延伸課堂（3min）在數(shù)學史上解三角形的問題中，如何由三角形的三邊直接求出三角形的面積是 一個比較困難的問題，古希臘數(shù)學家阿基米德、古希臘數(shù)學家海倫，還有我

15、國南宋著 名數(shù)學家秦九韶都給出了求解公式，有興趣的同學可以閱讀書 21頁進一步的學習S .p(p a)(p b)(p c),這里 p (a b c).海倫公式* 22 cb2 2秦九韶“三斜求積”公式設計意圖：介紹數(shù)學史小知識，增長學生見識，培養(yǎng)數(shù)學興趣，感受數(shù)學史魅力。不僅語文 有詩和遠方，在幾千年文明中數(shù)學也有其獨特的魅力。步驟8:小結(jié)提升，課堂自測（3+5min）我們這節(jié)課的內(nèi)容就到這，請大家說說這節(jié)課有什么收獲。 同學們總結(jié)的很好，接下來檢驗一下你們是不是真的學會了。 課堂小測：1、 在 ABC中，已知A 60 ,b 1,c 2,則 ABC面積為（）.2、 在 ABC中，已知a 3,b 、13,c 4,則 ABC面積為（）.3、在 ABC中，已知A 60 ,b 2, ABC面積為2j3，則a （）.高考鏈接：（2017全國二卷理數(shù)17題）4、ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知sin（A C） 8sin2B,2 （1）求 cosB.若a c 6, ABC面積為2,求b.設計意圖：梳理課堂所學，強化三角形面積公式。當堂檢測學習效果，及時反饋問題。個 別學生單獨輔導，幫助學生真正融會貫通。見識高考真題，激發(fā)求知欲，為學有余力 學生加餐。6作業(yè)與板書布置作業(yè)：1 、課本18頁練習題1、22