大學(xué)解析幾何

1、空間解析幾何基本知識(shí)一、向量1、已知空間中任意兩點(diǎn) M1(x1,y1,z1)和 M2(x2,y2,z2)，則向量uuuuuurM1M 2 (x2 x1,y2 y1, z2 z1)2、已知向量 a (a1,a2,a3)、 b (b1,b2,b3)，則222(1)向量 a的模為 |a | a1 a2 a3(2) a b (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 )(3) a ( a1, a2, a3 )3、向量的內(nèi)積 a b(1) a b |a | |b| cos a,b( 2) a b a1b1 a2b2 a3b3其中 a,b 為向量 a , b 的夾角，且 0 a, b2) a b a b 0

2、a1b1 a2 b2注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。4、向量的外積 a b (遵循右手原則，且a b a、 a b b)ijkaba1a2 a 3b1b2 b3a1 a 2a35、( 1) a/ babb1 b2b3a 3b3 0二、平面1、平面的點(diǎn)法式方程已知平面過(guò)點(diǎn) P（x0,y0,z0） ，且法向量為 n（A,B, C） ，則平面方程為A(xx0) B(y y0 ) C(zz0 ) 0注意：法向量為 n（A,B,C） 垂直于平面2、平面的一般方程Ax By Cz D 0 ，其中法向量為 n （A,B,C ）3、（1）平面過(guò)原點(diǎn)(0,0,0)

3、Ax By Cz 02）平面與 x 軸平行（與 yoz 面垂直）法向量 n 垂直于 x 軸ByCz如果 D 0 ，則平面過(guò) x 軸）平面與 y 軸平行（與 xoz 面垂直）法向量 n 垂直于y軸AxCz如果 D 0 ，則平面過(guò) y 軸）平面與 z 軸平行（與 xoy面垂直）法向量 n 垂直于z軸AxBy如果 D 0 ，則平面過(guò) z 軸）3）平面與 xoy 面平行法向量 n 垂直于 xoy 面Cz平面與 xoz 面平行法向量 n 垂直于 xoz 面By平面與 yoz 面平行法向量 n 垂直于 yoz 面Ax注意：法向量的表示三、直線1、直線的對(duì)稱式方程過(guò)點(diǎn) P（x0,y0,z0） 且方向向量為

4、v （v1,v2,v3）直線方程v1y y0v2z z0v3注意：方向向量 v (v1,v2, v3) 和直線平行直線的一般方程A1xA2xB1yB2 yC1zC2zD1D20，0注意該直線為平面A1x B1 y C1z D10和 A2x B2 y C2z D20 的交線x x0 v1t3、直線的參數(shù)方程 y y0 v 2tz z0 v3 t4、(1)方向向量 v (0,v2,v3)，直線垂直于 x 軸2)方向向量 v (v1 ,0,v3 ) ，直線垂直于 y 軸 (3)方向向量 v (v1,v2,0) ，直線垂直于 z 軸5、( 1)方向向量 v (0,0,v3) ，直線垂直于 xoy面 (

5、 2)方向向量 v (0,v2,0) ，直線垂直于 xoz 面 (3)方向向量 v (v1,0,0) ， 直線垂直于 yoz 面 應(yīng)用一、柱面1、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為f1(x,y,z) 0 ，母線的方向向量 v (v1,v2,v3) ，求柱面方程f2(x, y,z) 0 1 2 3x x1y y1 z z1v1v2v3又因?yàn)?M (x1, y1,z1) 在準(zhǔn)線上，故f1( x1,y1,z1) 0(1)f2(x1, y1, z1) 0 (2)令 x x1 y y1z z1 t ( 3)方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn) M(x1, y1, z1 ) ，則過(guò)點(diǎn) M(x1, y1 , z1)的母線為v1v2v3由

6、(1)、(2)、(3)消去 x1,y1,z1求出 t，再把 t代入求出關(guān)于 x, y, z的方程 F (x, y, z) 0， 則該方程為所求柱面方程例 1 ：柱面的準(zhǔn)線為，而母線的方向?yàn)?，求這柱面方程。x x1yy1zz1101即 x1x t , y1y, z1 zt(1)又因?yàn)镸 ( x1, y1, z1 ) 在準(zhǔn)線上，故2 x12 2 2 2 2y1 z1 1(2)，2x1 2y1 z1 2 (3)由( 1)(2)(3)22 得 x y2 z2xz10解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M(x1,y1,z1)，則過(guò)點(diǎn) M ( x1, y1 ,z1)的母線為2、圓柱面是動(dòng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等的點(diǎn)的軌

7、跡，該距離為圓柱面的半徑 方法：在圓柱面上任取一點(diǎn) M0(x0,y0,z0)，過(guò)M 0 ( x0 , y 0 , z0 )點(diǎn)做一平面垂直于對(duì)稱軸， 該平面的法向量為對(duì)稱軸的方向向量， 把該平面方程和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求得平面和對(duì)稱軸 的交點(diǎn) M1(x1,y1,z1)，則 |M0M 1 |為圓柱的半徑例 2：已知圓柱面的軸為，點(diǎn)( 1，-2 ，1)在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程。 解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn) M0(x0,y0,z0) ，過(guò)點(diǎn) M0(x0,y0,z0) 且垂直于軸的平面為(x x0 ) 2(y y0 ) 2(z z0) 0 軸方程的參數(shù)式為 x t , y 1 2t , z 1 2t 代

8、入平面方程得t x0 2 y0 2z0t9故該平面和軸的交點(diǎn)為 (x0 2y0 2z0 ,9 2x0 4y0 4z0 , 9 2x0 4y0 4z0) 9 9 91 1 5 過(guò)點(diǎn)( 1，-2 ， 1)和軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為 ( , , )3 3 3因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得228 x 5y25z 4xy 4xz 8yz 18 y 18z 99 0注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理 例 3：求以直線 x=y=z 為對(duì)稱軸，半徑 R=1 的圓柱面方程解：在圓柱面上任取一點(diǎn) M0(x0,y0,z0) ，過(guò)點(diǎn) M0(x0,y0,z0) 且垂直于軸的平面為(x x0) (y y0 ) (z

9、 軸方程的參數(shù)式為 x t , y t , zz0 ) 0t 代入平面方程得故該平面和軸的交點(diǎn)為M1( x0y03z0x 0y0z03x0 y 0 z0 )則M 0 M 1的長(zhǎng)等于半徑R=1tx0 y 0 z0故利用距離公式得(x0 x0 y30z 0 20) ( y0x0y0z0 ) 23)(z0x0 y0 z0 ) 2 1即所求方程為 (2x0 y0 z0) 2 (x0 2y0 z0 )2( x0y0 2z0) 2 9二、錐面錐面是指過(guò)定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。1、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為f1(x, y,z) 0，頂點(diǎn)為 M0(x0,y0,z0

10、) ，求錐面方程 f2(x, y, z) 0方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn) M1(x1, y1, z1) ，則過(guò)點(diǎn) M1(x1,y1, z1) 的母線為xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0又因?yàn)?M (x1, y1,z1) 在準(zhǔn)線上，故f1( x1,y1,z1) 0 (2)f2(x1, y1, z1) 0 (2)由( 1)、(2)、(3)消去 x1, y1,z1求出關(guān)于x,y,z的方程 F(x, y, z)0 ，則該方程為所求錐面方程 例 1 錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為，求這錐面方程。解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn) M 1( x1, y1, z1 ) ，則過(guò)點(diǎn) M 1(x1,y1,z1)的母線為xyzx1

11、 y1z122又因?yàn)?M (x1, y1,z1) 在準(zhǔn)線上，故x12 y12 1且 z1 c上面三個(gè)方程消去 x1, y1,z1 得a 2 b2 12、圓錐面已知圓錐面的頂點(diǎn) M0(x0,y0,z0) ，對(duì)稱軸(或軸)的方向向量為 v (v1,v2,v3)，求圓 錐面方程方法：在母線上任取一點(diǎn) M (x , y, z) ，則過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為n (x x0, y y0,z z0)利用 v 和 n 的夾角不變建立關(guān)于 x, y, z的方程，該方程為所求例 2 求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。 () 解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ，則過(guò)三點(diǎn)的平面為

12、xyz1故對(duì)稱軸的方向向量為 (1,1,1) ，一條母線的方向向量為 (1,0,0)，3 則母線和對(duì)稱軸的夾角為 1 1 1 0 1 0 3 1 cos ，即 cos 33在母線上任取一點(diǎn) M(x, y,z)，則過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為 n (x, y,z)x y z x2 y 2 z2 3 cos所以 (x y z)2 x2 y 2 z2例 3 圓錐面的頂點(diǎn)為 (1,2,3) ，軸垂直于平面 2x 2y z 1 0 ，母線和軸成 300 ，求圓 錐面方程解：在母線上任取一點(diǎn)M (x, y, z) ，軸的方向向量為 (2,2, 1) ，母線的方向向量為n (x 1, y 2,z 3)則 2(x

13、 1) 2( y 2)(z3) ( x1) 2 ( y2)2(z 3)2 9 cos300即 4(2x 2 y z3)227( x 1)2 27( y2)227( z 3) 2三、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程為f1(x, y,z)0 ，旋轉(zhuǎn)軸為 xx0 y y0 z z0 ，求旋轉(zhuǎn)f2(x, y,z)0XYZ曲面方程方法：在母線上任取一點(diǎn) M1(x1, y1, z1) ，所以過(guò) M1(x1,y1, z1) 的緯圓方程X(x x1) Y( y y1) Z(z z1) 0(x x0)2 (y y0)2 (z z0 )2 (x1 x0)2 (y1 y0)2 (z1 z0)2 又因?yàn)?M1(x1, y

14、1, z1) 在母線上，有f1(x1, y1, z1) 0f2(x1, y1, z1) 0 由上述四個(gè)方程消去 x1, y1 , z1的方程 F(x, y,z) 0為旋轉(zhuǎn)曲面 例 4 求直線繞直線：旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：在母線上任取一點(diǎn) M 1(x1,y1,z1) ，則過(guò) M1(x1,y1,z1)的緯圓方程(x x1) ( y y1) (z z1) 02 2 2 2 2 2 x y zx1y1z1x1又因?yàn)?M1(x1, y1, z1) 在母線上，有 11 1 1 1 2 由上述方程消去 x1, y1, z1的方程得 9x2四、幾種特殊的曲面方程1、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 設(shè)柱

15、面的準(zhǔn)線是 xoy 平面上的曲線f (x, y) z0y1 z1 1109 y 2 9z 2 5( x y z 1) 2 90 ，則柱面方程為 f ( x, y) 0設(shè)柱面的準(zhǔn)線是 xoz 平面上的曲線g(x,z) 0，則柱面方程為 g(x, z) 0y0設(shè)柱面的準(zhǔn)線是 yoz平面上的曲線 h(y,z) 0，則柱面方程為 h( y,z) 0x021)準(zhǔn)線是 yx2z，母線平行于 x 軸0解：柱面方程為 y2 2z22x 2 y 2 2）準(zhǔn)線是 4y31，母線平行于 y 軸解：柱面方程為 x 24z2x22y23）準(zhǔn)線是 4 9x21，母線平行于 z 軸注意：(1)母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中只

16、含兩個(gè)字母(2)準(zhǔn)線為坐標(biāo)平面內(nèi)的橢圓、 雙曲線、 拋物線等柱面稱為橢圓柱面、 雙曲線柱面、拋物線柱面例求柱面方程解： x 22、母線在坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)母線是 zf (x,0y) 0，旋轉(zhuǎn)軸是 x軸的旋轉(zhuǎn)曲面為 f(x, y2 z2) 0；旋轉(zhuǎn)軸是 y軸的旋轉(zhuǎn)曲面為 f ( x2 z2 , y) 0 (同理可寫出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程) 注意： 此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個(gè)字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。22例方程 y z x 0 是什么曲面，它是由 xoy面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的 222解： xoy面上的 y x 0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的23、平行于坐標(biāo)面的平

17、面和曲面f （x, y,z） 0的交線方程平行于 xoy 面的平面 zh和曲面 f (x, y, z)0 的交線為f ( x, y,h) 0 zh平行于 xoz 面的平面 yh和曲面 f (x, y, z) 0的交線為 f ( x, h, z) 0yh平行于 yoz面的平面 xh 和曲面 f ( x, y, z)0的交線為 f(h, y,z)xh例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線（1）2x2 y16z264解：2x2 y64、22x 2 16z2 64、22y 2 16z2 64z0y0x0（2）2 x4y216z264解：注意在 yoz 面上無(wú)交線（3） x2 9 y 2 10z 解：在 xoy 面

18、上交于一點(diǎn) （0,0）五、求投影1、求點(diǎn)在平面上的投影、求點(diǎn)到平面的距離、求關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)方法：（1）過(guò)點(diǎn)作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量（ 2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影例 5（1）求點(diǎn) A（3,1, 1） 在平面 3x y z 20 0 上的投影2）求點(diǎn) A（1,2, 5）到平面 x y z 10 0 的距離，并求該點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)1）求過(guò)直線 3x 2y 2 0 且與點(diǎn) M （1,2,1）的距離為 1的平面方程x 2 y z 6 02、求點(diǎn)在直線上的投影、求點(diǎn)到直線的距離、求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)方法：（1）過(guò)點(diǎn)作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的

19、方向向量（ 2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的投影例 6（1）求點(diǎn) A（1, 1,0） 到直線的距離，該點(diǎn)在直線上的投影2012 y 3z 3 0（2）求點(diǎn) M （1, 1,0） 到直線 的距離xy03、直線在平面上的投影 方法：（1）過(guò)直線作平面和已知平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和已知平面 法向量的外積（2）聯(lián)立兩個(gè)平面方程所得直線為該直線在平面上的投影2 x 4y z 0例 7（1）求直線在平面 4x y z 1 0 上的投影直線的方程3x y 2z 9 04 y 7 z 5 4x 5z 3 0（ 2）直線在 yoz面上的投影為，在 xoz 面上的投影為，求x 0 y

20、 0直線在 xoy 面上的投影4、曲線f （x,y,z） 0在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影g（x, y,z） 0方法：（1）消去 z得 h1（x,y）0 ，則zh1（x, y）0為曲線在 xoy面上的投影2)消去 x 得 h2( y,z)0，h2 (y,z)x00 為曲線在 yoz 面上的投影3)消去 y 得 h3 ( x, z)0，h3 ( x, z) y00 為曲線在 xoz 面上的投影例（ 1）求球面 x 2z29 與平面 xz 1 的交線在 xoy 面上的投影柱面及投影2）把曲線 2 y2y22 z 3z24x8x4z 的方程用母線平行于 x軸和 z 軸的兩個(gè)投影柱面方程表12z0示解：消

21、去 x得母線平行于 x軸的投影柱面方程 y2 z2 4z；消去 z得母線平行于 z軸的投影柱面方程 y 2 4x0 ，因此曲線可表示為22yz4z2y4x 0五、求平面方程1、過(guò)直線A1x B1y C1z D1 01 1 1 1 的平面方程可設(shè)為A2x B2y C2 z D2 0(A1 x B1 y C1z D1)(A2x B2y C2z D2 ) 0如果直線方程是點(diǎn)向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理例（ 1）在過(guò)直線xyz40的平面中找出一個(gè)平面，使原點(diǎn)到它的距離最長(zhǎng)。x 2y z 02）平面過(guò) OZ 軸，且與平面 y z 0 的夾角為 600 ，求該平面方程兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法

22、向量的夾角的補(bǔ)角）3）求過(guò)點(diǎn) M （1,0, 1） 和直線 x 2 y 1 z 1 的平面方程201x 2z 4 04）過(guò)直線作平面，使它平行于直線3y z 8 0xy40y z 6 0（5） 過(guò)平面 2x y 0和 4x 2y 3z 6的交線作切于球面 x2 y2 z2 4的平面6)求由平面 2x z 12 0,x 3y 170 所構(gòu)成的兩面角的平分面方程2、利用點(diǎn)法式求平面方程注意：（1）任何垂直于平面的向量n 均可作為平面的法向量2)和平面 Ax By Cz D0 平行的平面可設(shè)為 Ax By Cz D13）如存在兩個(gè)向量 a （a1,a2,a3） 、b （b1,b2,b3） 和平面平行

23、（或在平面內(nèi)） ，則平面的法向量為 n a ba1 a2 a3b1 b2 b3例（x1）已知兩直線為1 y 1z 1 ，x3y1z 2 ，求過(guò)兩直線的平面111112方程（2）求過(guò) A(8, 3,1)和 B(4,7,2)兩點(diǎn)，且垂直于平面3x 5 yz 21 0 的平面（3）一平面垂直于向量（2,1,2） 且與坐標(biāo)面圍成的四面體體積為9，求平面方程（4）已知球面 x2 y 2z2 2x 4 y6z0與一通過(guò)球心且與直線 x 0 垂直的yz0 平面相交，求它們的交線在 xoy 面上的投影3、軌跡法求方程方法：（ 1）設(shè)平面上任一一點(diǎn) M （x, y, z） （ 2）列出含有 x, y, z的方程

24、化簡(jiǎn)的平面方程例求由平面 x y 3z 1 0 和 x y 3z 20所構(gòu)成的二面角的平分面的方程六、求直線方程1、把直線的一般方程化為點(diǎn)向式方程方法：已知直線方程為A1xA2xB1 y C1 z D1B2 y C2 z D 2則該直線的方向向量為i j kv A1 B1 C1 (v1,v2 , v3)A2 B2 C 2在直線上任取一點(diǎn)（x0, y0,z0） ，則直線方程為x x0y y0v2z z0v32x y z 5 0例化直線的一般方程 為標(biāo)準(zhǔn)方程2x y 3z 1 02、根據(jù)直線的方向向量求直線方程例（ 1）過(guò)點(diǎn) M （0,1,2） ，且平行于兩相交平面 x y 3z 1 0和 x y

25、 3z 2 0的直線方程(2求過(guò)點(diǎn) M (2,4,0)，且與直線x 2 z 1 0平行的直線方程y 3z 2 0(3)求過(guò)點(diǎn) M (1,0, 2) ，且與平面3x 4y z 6 0 平行，又與直線 x 3 y 2 z1 4 1垂直的直線方程注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂 直均可確定直線的方向向量3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程注意：( 1)兩直線平行，則 m1m2n1n2m3n3其中 (m1,m2 ,m3)和 (n1,n2,n3 )為直線的方向向量2)兩直線x x 0y y0z z0x x1 和1y y1z z1 相交，則m1m2m3n1n

26、2n3x1 x 0y1 y 0z1 z0m1m2m30且 m1m2m3n1n2n3n1n2n33)兩直線x x 0y y0z z0x x1 和1y y1z z1 異面，其中公垂線的m1m2m3n1n2n3(v1,v2, v3) ，則兩異面直線的距離為 d| | ；公垂線方|v|i j k 方向向量為 v m1 m2 m3n1 n2 n 3x x0yy0z z0m1m2m3程為v1v2v3x x1yy1z z1n1n2n3v1v2v3例( 1)求通過(guò)點(diǎn) M (1,1,1) 且與兩直線 x y z 和 x 11 2 3 2y21z 3 都相交的直線4方程解：設(shè)所求直線的方向向量為(a,b,c)，已

27、知兩直線的方向向量為 (1,2,3) 、 (2,1,4) ，且分111012則1230 ，即 a 2b c 0 ；214abcabc別過(guò)點(diǎn)(0,0,0)、 (1,2,3)0 ，即 a 2b c 0故a故 (a, b,c)0,c 2b ，(0,1,2)x1所求直線為 x 10y112)已知兩異面直線z 1和 x01y11z1z 1 ，求它們的距離與公垂線方 03)求與直線 x 28z 3 平行且與下列兩直線相交的直線14)5x4x求過(guò)點(diǎn) P(1, 2,3)與 z軸相交，z 2x 4z 3y 5且與已知直線y33z 2 垂直的直線方程2習(xí)題1、已知柱面的準(zhǔn)線為(x1)2 (y 3)2 ( z yz

28、202)225且1)母線平行于 x 軸( 2)母線平行于直線 xy,zc ，求柱面方程2、已知柱面的準(zhǔn)線為2y22z2z 母線垂直于準(zhǔn)線所在的方程，求柱面方程3、求過(guò)三條平行線 x yz,x1 y z 1,x 1 y 1z 2 的圓柱面方程4 、求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為 x 2 2z 1 0, y z 1 0 的錐面方程5、頂點(diǎn)為 （3, 1, 2） ，準(zhǔn)線為 x2 y2 z2 1, x y z 0 ，求錐面方程6、頂點(diǎn)為 （1,2,4），軸垂直于平面 2x 2y z 0，且過(guò)點(diǎn) （3,2,1） ，求該圓錐面的方程7、求下列旋轉(zhuǎn)曲面方程（1）直線 x 1 y 1 z 1繞直線 x y z 1 旋轉(zhuǎn)

29、1 1 2 1 1 2（2）直線 x y z 1 繞直線 x y z 1 旋轉(zhuǎn)2 1 1 1 1 2（3）直線 x 1 y z 繞直線 z旋轉(zhuǎn)1 3 32 zx （4）曲線繞直線 z 旋轉(zhuǎn)22 xy18 例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線（1） x2 4y2 16z2 64 （2） x2 9y2 10z （3） x2 4y2 16z2 09(1)求點(diǎn) P(2,0, 1) 關(guān)于直線 x y 4z 12 0 的對(duì)稱點(diǎn)2x y 2z 3 02)求點(diǎn) A(2,3, 1) 到直線 2x 2y z 3 0 的距離，3x 2 y 2z 17 010 求直線 x 1 y z 1在平面 x y 2z 1 0 上的投影直線的方程1 1 111 求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面的投影柱面和投影22x y z 0 zx1x 2y 6z 53x 2 y 10z 72x2 z3yz 2x 3z 3 0yz10222zxy2 z2y12（ 1）過(guò)直線x 2 y z 6 0 作平面，使它垂直于平面x 2 y z 02）求過(guò)點(diǎn) M （3,1, 2） 和直線 x 4 y 3 z 的平面方程0 2 13）求過(guò)兩平面 3x y 2z 2 0 、x y 4z 3 0 交線且與平面 x y 2 z 1 0垂直的平面4)求過(guò)點(diǎn) M (2,0, 1)和直線 x 1 y z 2 的平面方程2 1 35)過(guò)直線 x