例說(shuō)波利亞“怎樣解題表”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、例說(shuō)波利亞“怎樣解題表”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用本文從波利亞的“怎樣解題表”出發(fā),結(jié)合具體的例子,在具體的例子中一步一步地講解波利亞的“怎樣解題表”在解數(shù)學(xué)題時(shí)的步驟和思想,來(lái)回答一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的.下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例.例已知點(diǎn)P(3,4)是橢圓+=1(ab0)上的一點(diǎn),F1,F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，若PF1,PF2,試求橢圓方程.講解第一,弄清問(wèn)題.問(wèn)題1你要求解的是什么?要求解的是橢圓方程,在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征地表示出來(lái)(圖1-1).問(wèn)題2有哪些已知條件?一方面是題目條件中給出的點(diǎn)P(3,4),橢圓上PFUPF2;另一個(gè)方面是已經(jīng)在平面幾何中學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形的一些性

2、質(zhì)和橢圓中半焦距c和長(zhǎng)半軸a,短半軸b之間的關(guān)系,即a2-b2=c2.把已知的兩個(gè)量添到圖示處(圖1-1)就得到了新添的兩個(gè)點(diǎn)P,Q(其中Q表示PF1LPF2);它們與F之間有條鴻溝，表示要求解的問(wèn)題和已知的量沒(méi)有直接的聯(lián)系,我們的任務(wù)就是要將要求解的量F和已知的量聯(lián)系起來(lái).第二,擬定計(jì)劃.問(wèn)題3怎樣才能求出F?我們已經(jīng)知道了橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和一個(gè)RtAPF1F2，如果能夠確定橢圓方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b,那么我們就能夠求解橢圓的方程了,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求a和b.（1） 我們?cè)趫D示上添加進(jìn)兩個(gè)新的點(diǎn)a和b,用斜線把它們和F連接起來(lái),以此來(lái)表示a,b這兩個(gè)量和F之間的聯(lián)系（圖1-2即式（1）的幾何圖示）

3、,這樣我們就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定a和b的值了.問(wèn)題4怎樣求得a和b?我們根據(jù)已知條件RtPF1F2,再結(jié)合整個(gè)圖形，我們可以知道直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,也就是說(shuō)坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)P的距離等于半焦距c.我們?cè)趫D示上（圖1-2）再添加兩個(gè)點(diǎn)半焦距c,和L（L表示線段OP的長(zhǎng)度,其中O表示坐標(biāo)原點(diǎn)），連接c和L,表示c和L有相等的關(guān)系.連接Q和c,Q和L,表示c和L相等的關(guān)系是由Q推出來(lái)的.連接P和L,表示L的長(zhǎng)度是由點(diǎn)P的坐標(biāo)確定的,從而c=L=5.我們要求解的是a和b的值,因此很自然地想到在橢圓中還隱藏著這樣的關(guān)系:a2-b2=c2,于是我們連接a和c,b和c（圖1-3）,表示c和a,b有a2

4、-b2=c2的關(guān)系,再連接a和b表示b可以用a表示,即b2=a2-25.這時(shí)橢圓方程可以寫(xiě)成：+=1.同時(shí)我們還應(yīng)注意到點(diǎn)P在橢圓上還沒(méi)有用到，因此我們連接P和a（圖1-3）,表示把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程+=1.一個(gè)未知數(shù),一個(gè)方程恰好可以解出a,從而橢圓的方程就確定了.至此,我們已在F與P,Q之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng),解題思路全部溝通.第三,實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.連接OP(圖1-3).:PF1XPF2 .PF1F2是直角三角形, .|OP|=|F1F2|=c.又|OP|=5.c=5,橢圓的方程為:+=1. 點(diǎn)P(3,4)在橢圓上,+=1,解得a2=45或a2=5(舍去),故所求的橢圓方程為+=1.

5、第四,回顧.(1) 正面校驗(yàn)每一步,推理是合理的,有效的,計(jì)算是精確的.本題也可作特殊性檢驗(yàn),即按照兩點(diǎn)之間的距離公式分別求解出線段PF1和PF2的長(zhǎng)度,再驗(yàn)證PF1F2能否成為直角三角形;同時(shí)驗(yàn)證|PF1|+|PF2|是否等于2a.(2) 還能用其他的方法得到這個(gè)結(jié)果嗎?,條條大道路羅馬萬(wàn)事都不是絕對(duì)的,我們應(yīng)該在信念上堅(jiān)信每道題目都是有多種解法的,那么本例有沒(méi)有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如圖1-1所示,令F1(-c,0),F2(c,0).:PF1XPF2.kUk=-1,即U=-1,解得c=5.橢圓的方程為：+=1（以下步驟同上述解答）.(3) “能將本例的方法用于其他的問(wèn)題嗎?能,我們看到解決本例的關(guān)鍵在于分析已知條件后得到:|OP|=|F1F2|=c,或者kUk=-1.可見(jiàn)，這是解決本例的“泉眼”，勤于分析已知條件,對(duì)于培養(yǎng)解數(shù)學(xué)題的“靈感”是非常有必要的.小結(jié)回顧這個(gè)解題過(guò)程,“怎樣解題表”包含四部分內(nèi)容弄清問(wèn)題､擬訂計(jì)劃､實(shí)現(xiàn)計(jì)劃､回顧.波利亞說(shuō):“弄清問(wèn)題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備;制訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它;在引發(fā)之后,我們實(shí)現(xiàn)它;回顧此過(guò)程和求解的結(jié)果,是試圖更好地利用它.”解題的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)不斷地變更問(wèn)題的過(guò)程（如上文中分析的將求F轉(zhuǎn)化成求a和b,再將求a和b轉(zhuǎn)化為求c）,通過(guò)不斷地變更問(wèn)題,引入新的量,從而