第七節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、考綱要求考情分析1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.1.從近幾年的高考命題看，對本節(jié)的考查以基礎(chǔ)知識為主，一是考查函數(shù)的圖象、運算、數(shù)值大小的比較；二是與二次函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2.題型主要以選擇題、填空題為主，如運算、比較大小、性質(zhì)運用等；與方程、不等式結(jié)合時以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.知識能否憶起知識能否憶起一、根式一、根式1根式的概念根式的概念根式的概念根式的概念符號表示符號表示備注備注如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根

2、n1且且nN*xna負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) 兩個兩個 相反數(shù)相反數(shù) 正數(shù)正數(shù) 2兩個重要公式兩個重要公式a a -a a 二、有理數(shù)指數(shù)冪二、有理數(shù)指數(shù)冪1冪的有關(guān)概念冪的有關(guān)概念(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0沒有意義沒有意義1mna2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)aras (a0，r，sQ)；(2)(ar)s (a0，r，sQ)；(3)(ab)r (a0，b0，rQ)arsarsarbr三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)yax(a0，且，且a1)圖象圖象0a1圖象圖象特征特征在在x軸軸 ，過定點，過定點上方上方(0,1)

3、動漫演示更形象，見配套課件動漫演示更形象，見配套課件超鏈超鏈接接函數(shù)函數(shù)yax(a0，且，且a1)性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域值域值域 單調(diào)性單調(diào)性函數(shù)函數(shù)值變值變化規(guī)律化規(guī)律 當(dāng)當(dāng)x0時，時，當(dāng)當(dāng)x0時，時，當(dāng)當(dāng)x0時，時，(0，)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)y1y10y10y1RA9B7C10 D9答案：答案：B小題能否全取小題能否全取A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：解析：12x0，2x1，x0.答案：答案：A3已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過定點的圖象恒過定點P，則點，則點P的坐的坐 標(biāo)是標(biāo)是()A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：解析：當(dāng)當(dāng)x1時，時，f

4、(x)5.答案：答案：A4若函數(shù)若函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的值的值 為為_ 解析：解析：a23a31，a2或或a1(舍舍) 答案：答案：25若函數(shù)若函數(shù)y(a21)x在在(，)上為減函數(shù)，則上為減函數(shù)，則 實數(shù)實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運算轉(zhuǎn)化為冪的運算，從而簡指數(shù)冪的意義把根式的運算轉(zhuǎn)化為冪的運算，從而簡化計算過程化計算過程2指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，的大小

5、決定的，因此解題時通常對底數(shù)因此解題時通常對底數(shù)a按按0a1進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論指數(shù)式的化簡與求值指數(shù)式的化簡與求值 例例1化簡下列各式化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù)其中各字母均為正數(shù))指數(shù)式的化簡求值問題，要注意與其他代數(shù)式的指數(shù)式的化簡求值問題，要注意與其他代數(shù)式的化簡規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)化簡規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)同底數(shù)冪的運算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)同底數(shù)冪的運算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對于化簡結(jié)果，形為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對于化簡結(jié)果，形式力求統(tǒng)一式力求統(tǒng)一 答案答案D1與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函

6、數(shù)的圖象的研究，往往與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象其圖象2一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解奇思妙想：本例B、C改為下圖，A、D不變，則函數(shù)yaxa(a0，且a1)的圖象可能是？解：C由f(1)0可知選C.A關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱 B關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱C關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱 D關(guān)于直線關(guān)于直線yx對稱對稱 (2)方程方程2x2x的解的個數(shù)是的解的個數(shù)是_(2)方程的解可看作

7、函數(shù)方程的解可看作函數(shù)y2x和和y2x的圖象交點的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個的圖象交點的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個函數(shù)圖象函數(shù)圖象(如圖如圖)由圖象得只有一個交點，因此該方程只由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解有一個解答案：答案：(1)A(2)1答案：C例例3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用答案答案(，00，)答案：答案：2 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單

8、調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助題時，都要借助“同增異減同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決3(1)(2012福州質(zhì)檢福州質(zhì)檢)已知已知a20.2，b0.40.2，c 0.40.6，則，則() AabcBacb Ccab Dbca (2)(2012上海高考上海高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)e|xa|(a為常為常 數(shù)數(shù))若若f(x)在區(qū)間在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則a的取的取 值范圍是值范圍是_解析：解析：(1)由由0.20.6,0.40.40.6，即，即bc；因為；因為a20.21，b0.4

9、0.2b.綜上，綜上，abc.(2)結(jié)合函數(shù)圖象求解因為結(jié)合函數(shù)圖象求解因為yeu是是R上的增函數(shù)，所以上的增函數(shù)，所以f(x)在在1，)上單調(diào)遞增，只需上單調(diào)遞增，只需u|xa|在在1，)上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知a1.答案：答案：(1)A(2)(，1變式探究2013天津模擬如果函數(shù)ya2x2ax1(a0，且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，試求a的值解：設(shè)tax，則yt22t1(t1)22.其對稱軸為直線t1，當(dāng)a1時，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3或a5(舍)；當(dāng)0a1時，ta，a1，ymax(a1)22a1114， 2對于含對于含ax、a2x的表達(dá)式，通常可以令的表達(dá)式，通常可以令tax進(jìn)行換進(jìn)行換元，但換元過程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化元，但換元過程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系為我們熟悉的一元二次關(guān)系 若若0a1，函數(shù)，函數(shù)ya2x2ax1在在1,1上的最大值上的最大值是是14，則，則a的值為的值為_解題訓(xùn)練要高效解題訓(xùn)練要高效見見“課時跟蹤檢課時跟蹤檢測（十）測（十）”教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）（給有能力的學(xué)生加餐）0ba；其中不可能成立的關(guān)系式有其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個個 B2個個C3個個 D4個個ab0；0ab；ba0；ab答案答案 ：B