線性代數(shù)--53向量空間的基和維ppt課件

1、1、基和維的概念、基和維的概念2、再論線性代數(shù)方程組的解、再論線性代數(shù)方程組的解5.3 向量空間的基和維向量空間的基和維定義定義 設(shè)設(shè)V為向量空間為向量空間 如果如果r個(gè)向量個(gè)向量a1 a2 arV 且滿足且滿足 (1) a1 a2 ar 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān) (2)V中任一向量都可由中任一向量都可由a1 a2 ar 線性表示線性表示 那么那么 向量組向量組a1 a2 ar 就稱為向量空間就稱為向量空間V的一的一個(gè)基個(gè)基 r 稱為向量空間稱為向量空間V的維數(shù)的維數(shù) 并稱并稱V為為 r 維向量空間維向量空間 注注 （1只有零向量的向量空間沒(méi)有基只有零向量的向量空間沒(méi)有基 規(guī)定其維數(shù)為規(guī)定其維數(shù)為0

2、（2若把向量空間若把向量空間V看作向量組看作向量組 則向量空間則向量空間V的基就的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組是向量組的最大無(wú)關(guān)組 向量空間向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩的維數(shù)就是向量組的秩 （3） 向量空間的基不唯一向量空間的基不唯一.5.3.1 基和維基和維定義定義 如果在向量空間如果在向量空間V中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基a1 a2 ar 那么那么V中任一向量中任一向量 x 可唯一地表示為可唯一地表示為x1a12a2 rar數(shù)組數(shù)組 1 2 r 稱為向量稱為向量x在基在基a1 a2 ar中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 在向量空間在向量空間Rn中以單位坐標(biāo)向量組中以單位坐標(biāo)向量組e1 e2 en為基為基 則向量

3、則向量x(x1 x2 xn)T可表示為可表示為xx1e1x2e2 xnen可見(jiàn)向量在基可見(jiàn)向量在基e1 e2 en中的坐標(biāo)就是該中的坐標(biāo)就是該向量的分量向量的分量 注注 線性空間線性空間V 的任意向量在不同的基下的坐標(biāo)一般不同的任意向量在不同的基下的坐標(biāo)一般不同, 但一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的但一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的注注 求一向量在一組基下的坐標(biāo)表示歸結(jié)為討論線性代數(shù)求一向量在一組基下的坐標(biāo)表示歸結(jié)為討論線性代數(shù)方程組有無(wú)解的問(wèn)題方程組有無(wú)解的問(wèn)題. 解解 例例 設(shè)設(shè)A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2

4、)T 驗(yàn)證驗(yàn)證a1 a2 a3是是R3的一個(gè)基的一個(gè)基 并求并求b1 b2在這個(gè)基在這個(gè)基中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 3123123 ,a a aRa a aAE要說(shuō)明是的一個(gè)基，只要證線性無(wú)關(guān)， 即111 12123132121222323, bx ax ax abx ax ax a設(shè)則32312221121132121) , ,() ,(xxxxxxaaabb 記作 BAX 記作 BAX 31123(), , . A BAEa a aRAEBXA B對(duì)矩陣施行初等行變換，若 能變?yōu)?，則為的一個(gè)基，且當(dāng) 變?yōu)?時(shí)， 變?yōu)?解解 ()22114212031224 2A B241003320101320

5、0113r3123,AEa a aR因，故為的一個(gè)基，且,(,.,)121232433213213b baaa所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐標(biāo)依次為 1 ,32 , 32和32 , 1 ,34 例例 設(shè)設(shè)A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 驗(yàn)證驗(yàn)證a1 a2 a3是是R3的一個(gè)基的一個(gè)基 并求并求b1 b2在這個(gè)基在這個(gè)基中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 例例 在在R3中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基a1 a2 a3 再取一個(gè)新基再取一個(gè)新基b1 b2 b3 設(shè)設(shè)A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用求用a1 a

6、2 a3表示表示b1 b2 b3的表示的表示式式(基變換公式基變換公式) 并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式) 即基變換公式為即基變換公式為 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩陣矩陣PA1B稱為從舊基到新基的過(guò)渡矩陣稱為從舊基到新基的過(guò)渡矩陣 解解 由由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1 故故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a1 a2 a3)A 1B 解 基變換公式為基變換公式為(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 設(shè)向量設(shè)向量

7、x 在舊基和新基中的坐標(biāo)分別為在舊基和新基中的坐標(biāo)分別為y1 y2 y3和和z1 z2 z3這就是從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式這就是從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式 則 321321321321) , ,() , ,(zzzyyybbbaaa 即于是 3211321yyyABzzz 即321321zzzByyyA 例例 在在R3中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基a1 a2 a3 再取一個(gè)新基再取一個(gè)新基b1 b2 b3 設(shè)設(shè)A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用求用a1 a2 a3表示表示b1 b2 b3的表示的表示式式(基變換公式基變換公式) 并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的并求向量在兩個(gè)

8、基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式關(guān)系式(坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式) 定理定理 設(shè)設(shè)b1b1、bs bs 及及 f1f1、ft ft 是向量空間的是向量空間的任兩組基，則必有任兩組基，則必有 s=t.s=t.定義定義 向量空間向量空間V 的任一基向量的個(gè)數(shù)的任一基向量的個(gè)數(shù), 稱為空間稱為空間V 的維的維dimension）, 記這個(gè)數(shù)為記這個(gè)數(shù)為 dimV證證 利用等價(jià)向量組利用等價(jià)向量組 根據(jù)向量空間基的定義可知兩組基等價(jià)的，根據(jù)向量空間基的定義可知兩組基等價(jià)的， 從而其秩相等：從而其秩相等：12rr21,rs rt從而從而 st由于由于Rn有一組明顯的自然基，有一組明顯的自然基， 100,010,0

9、0121neee故有故有 dim Rn = n , 即即Rn是是n維向量空間維向量空間.若若S是是Rn的任一子空間，那么的任一子空間，那么 dimdimnSR注注 盡管子空間盡管子空間S S的維可以低于的維可以低于n n，但它的任一向量卻是，但它的任一向量卻是n n維向量維向量, , 亦即空間維數(shù)與向量維數(shù)是不同的概念亦即空間維數(shù)與向量維數(shù)是不同的概念. . 例例 考慮練習(xí)考慮練習(xí)2 2中給出的向量空間中給出的向量空間112(,)Vspan a a其中其中 TT121 1 0 01 0 1 1,aa試求試求 dimV1.解解11 122, |Vx xaa12R、由于由于其中其中故知故知V1中任

10、一向量中任一向量x皆可依皆可依 a1, a2 線性表出線性表出. 又因矩陣又因矩陣 之秩為之秩為2， 1211100101aa 故故a1,a2a1,a2線性無(wú)關(guān)，故線性無(wú)關(guān)，故 a1,a2a1,a2是是V1V1的基，的基，從而從而 dimV1=2. dimV1=2. 但是但是 a1,a2 以及以及V1中的任一向量中的任一向量x皆為皆為4維向量維向量.5.3.2 再論線性代數(shù)方程組的解再論線性代數(shù)方程組的解5.3.2.1 齊次方程組齊次方程組m n齊次線性代數(shù)方程組齊次線性代數(shù)方程組AxO的解集的解集 N(A) 是向量空間，現(xiàn)在進(jìn)一步指出：它的通解中是向量空間，現(xiàn)在進(jìn)一步指出：它的通解中元素的一

11、般式中所含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)元素的一般式中所含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù) n- r(A) 就是就是 N(A)dim()()N Anr A的維數(shù)的維數(shù) dimN(A), 即即dim( )dim( )N AR An基礎(chǔ)解系就是基礎(chǔ)解系就是N(A)N(A)的一組基，它們線性無(wú)關(guān)，并生成的一組基，它們線性無(wú)關(guān)，并生成N(A). N(A). 齊次方程組的通解式或基礎(chǔ)解系不惟一確定，齊次方程組的通解式或基礎(chǔ)解系不惟一確定， 但通解式中獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是確定的，每一任意但通解式中獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是確定的，每一任意常數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)基向量，而基向量個(gè)數(shù)常數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)基向量，而基向量個(gè)數(shù)一定是一定是n- r(A)個(gè)個(gè). 例例

12、試解齊次線性代數(shù)方程組試解齊次線性代數(shù)方程組 06330220432543214214321xxxxxxxxxxx解解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換523421023136A5 2340 16 180 000故故 r(A)=2, 又又n=4, 方程組有非零解且?guī)в蟹匠探M有非零解且?guī)в衝-r(A)=2常數(shù)常數(shù).523421023136A1234234523406180 xxxxxxx取等價(jià)方程組取等價(jià)方程組523401618000012342345234618xxxxxxx 121234386181001xxccxx3142,xcxc令令，則方程組的通解為則方程組的通解為 1

13、212cc 基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn)基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn)(1)(1)每一個(gè)向量都是齊次方程組的解每一個(gè)向量都是齊次方程組的解; ;(2)(2)基礎(chǔ)解系中共有基礎(chǔ)解系中共有 n-r(A) n-r(A) 個(gè)向量；個(gè)向量；(3)(3)這組向量線性無(wú)關(guān)這組向量線性無(wú)關(guān). .12( )(,)N Aspan 2(di()()mnArNA根據(jù)通解的表達(dá)，該齊次方程組的解集可記為根據(jù)通解的表達(dá)，該齊次方程組的解集可記為由于由于 線性無(wú)關(guān)，即為線性無(wú)關(guān)，即為 N(A) 的一組基，于是的一組基，于是12，而通解中的兩個(gè)任意常數(shù)即為解向量對(duì)這一組基的坐標(biāo)而通解中的兩個(gè)任意常數(shù)即為解向量對(duì)這一組基的坐標(biāo).12123438

14、6181001xxccxx1212cc 基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn)基礎(chǔ)解系的構(gòu)成及特點(diǎn)(1)(1)每一個(gè)向量都是齊次方程組的解每一個(gè)向量都是齊次方程組的解; ;(2)(2)基礎(chǔ)解系中共有基礎(chǔ)解系中共有 n-r(A) n-r(A) 個(gè)向量；個(gè)向量；(3)(3)這組向量線性無(wú)關(guān)這組向量線性無(wú)關(guān). .523421023136A1234234523406180 xxxxxxx523401618000034123423452618xxxxxxx 121234100134 311 2xxxx1212 1122,xx令令，則方程組的通解為則方程組的通解為 現(xiàn)在的基礎(chǔ)解系是現(xiàn)在的基礎(chǔ)解系是 12，不同基礎(chǔ)解系代表解

15、空間的不同不同基礎(chǔ)解系代表解空間的不同的基，但每一組基礎(chǔ)解系包含的的基，但每一組基礎(chǔ)解系包含的解向量的個(gè)數(shù)是確定的，解向量的個(gè)數(shù)是確定的，5.3.2.2 非齊次方程組非齊次方程組用向量空間理論解釋相容性定理用向量空間理論解釋相容性定理. .本章定理本章定理1 1說(shuō)明了方程組說(shuō)明了方程組 Ax=b Ax=b 即即相容性的重要條件是相容性的重要條件是 bR(A) . 1 122nnx ax ax ab故方程組無(wú)解故方程組無(wú)解. . ( )bR A( )( )r Ar A事實(shí)上，假設(shè)事實(shí)上，假設(shè)( )( )r Ar A，則必則必( )( )r Ar A，必是必是b b不能依不能依a1a1，a2a2，

16、 ，anan線性表出，即線性表出，即 ( )bR A說(shuō)明向量組說(shuō)明向量組a1， a2 ， ，an線性無(wú)關(guān)，故必為線性無(wú)關(guān)，故必為R(A)的一組基，的一組基，( )bR A( )( )r Ar An假設(shè)假設(shè)()()r Ar Arn說(shuō)明生成說(shuō)明生成 R(A)的的n個(gè)向量個(gè)向量a1， a2 ， ，an線性相關(guān)，而最線性相關(guān)，而最大大因向量因向量b b對(duì)一組基的坐標(biāo)是惟一確定的，所以此時(shí)方程組有對(duì)一組基的坐標(biāo)是惟一確定的，所以此時(shí)方程組有惟一解惟一解. . ( )bR A( )( )r Ar A當(dāng)當(dāng)( )( )r Ar A時(shí)，則時(shí)，則b b必可依必可依A A的列向量組線表出，即的列向量組線表出，即進(jìn)一

17、步，假設(shè)進(jìn)一步，假設(shè)線性無(wú)關(guān)組含線性無(wú)關(guān)組含 r 個(gè)向量個(gè)向量. 假定最大線性無(wú)關(guān)組是假定最大線性無(wú)關(guān)組是an-r+1， ，an ，為，為 R(A)的一組基的一組基. t1，t2，tn-r ，向量向量 b + t1a1 + + tn-ran-r 對(duì)這組基必有惟一確定的坐對(duì)這組基必有惟一確定的坐標(biāo)，標(biāo)，設(shè)為設(shè)為 1*、 2* 、 n-r* ，就有，就有亦必在亦必在R(A)中，所以對(duì)中，所以對(duì) n r 個(gè)任意常數(shù)值個(gè)任意常數(shù)值因因b, a1, an-r均在均在 R(A)中，故它們的線性組合中，故它們的線性組合b+t1a1+ + tn-ran-r= 1*an-r+1+ + n-r*an 從此式可看出

18、，從此式可看出，-t1 -tn-r 1* n-r*T是是Ax=b的解，的解， 由于由于t1、 t2、 tn-r可取任意值，故可取任意值，故 Ax=b 的通解中含的通解中含有有 n-r 個(gè)任意常數(shù)個(gè)任意常數(shù). 其次，用向量空間的概念同樣直觀地解釋其次，用向量空間的概念同樣直觀地解釋Ax=b Ax=b 通解的結(jié)構(gòu)式通解的結(jié)構(gòu)式gphxxx先給出先給出m m n n相容非齊次方程組相容非齊次方程組0()Axb解的性質(zhì)及其與對(duì)應(yīng)齊次方程組的解的關(guān)系解的性質(zhì)及其與對(duì)應(yīng)齊次方程組的解的關(guān)系. .定理定理 設(shè)設(shè)m m n n相容非齊次方程組相容非齊次方程組Ax=bAx=b的解集為的解集為S, S, 對(duì)應(yīng)齊次

19、對(duì)應(yīng)齊次方程組的解空間為方程組的解空間為N(A)， 若已知若已知 ,21Sxx、那么那么 1()A kxkb(k0, k為常數(shù)）為常數(shù)）(3) 對(duì)任意的對(duì)任意的 xhN(A),必必 x1+ xh S.證證 明明證證 明明bbbAxAxxxA2)(2121kbAxkkxA)()(110)(2121bbAxAxxxAbbAxAxxxAhh0)(11( 1 )( 1 )( 2 )( 2 )( 3 )( 3 )故故故故Sxxh1證證 畢畢證證 畢畢122()A xxb(1)120()A xx即即12( )xxN A(2)非齊次方程組的解非齊次方程組的解集不是向量空間集不是向量空間結(jié)論結(jié)論(2)、(3)

20、則說(shuō)明了當(dāng)已知其某個(gè)解則說(shuō)明了當(dāng)已知其某個(gè)解 xp時(shí)，時(shí)，方程組的通解方程組的通解 xp(即即S中元素的通解中元素的通解)本質(zhì)上必能也本質(zhì)上必能也只能通過(guò)只能通過(guò) N(A)的通解的通解 xh表出，為表出，為隨著取隨著取xp的不同及在的不同及在N(A)中取不同的基，中取不同的基， xg的具體形式的具體形式gphxxx還是可以多樣的，但其組成還是可以多樣的，但其組成( (構(gòu)造構(gòu)造) )是惟一確定是惟一確定. . 下面從另外一個(gè)角度說(shuō)明，當(dāng)生成向量線性相關(guān)時(shí)，生下面從另外一個(gè)角度說(shuō)明，當(dāng)生成向量線性相關(guān)時(shí)，生成向量空間中任一向量按生成向量的線性表出必有無(wú)限多種成向量空間中任一向量按生成向量的線性表出必有無(wú)限多種不同的形式不同的形式. .例例 對(duì)練習(xí)對(duì)練習(xí)2 2中的中的 V2=span(b1, b2, b3), V2=span(b1, b2, b3), 可可以以但但b1、b2、 b3是線性相關(guān)的，即有不全為零的數(shù)是線性相關(guān)的，即有不全為零的數(shù) 1、 2 、 3使成立使成立0332211bbb,111321bbbv驗(yàn)證驗(yàn)證V=6 -1 7 7T v2. 于是，對(duì)任意數(shù)于是，對(duì)任意數(shù) k k 都成立都成立332211332211321)1 ()1 ()1 ()()(0bkbkbkbbbkbbbkvv因?yàn)橛幸驗(yàn)橛?由此看出向量