《極限運(yùn)算法則》PPT課件課件

1、福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院1定定義義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim0lim, ,.nnnxaNZnNxa 使使恒恒有有定義N定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) Axfxx)(lim0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院2定定義義 Axfxx)(lim0.|)(|,|0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000000000| | xxxx xxxxx xxxx xxx 注注意意：說(shuō)明說(shuō)明.,)10有有關(guān)關(guān)的的正正數(shù)數(shù)與與任任意意給給定定的的接接近近程程度度與與用用來(lái)來(lái)刻刻劃劃 xx.,|0

2、)20不不能能去去掉掉是是重重要要的的定定義義中中xx .)()30是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院3左極限左極限右極限右極限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院4第五節(jié)第五節(jié) 極限運(yùn)

3、算法則極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小與無(wú)窮大二、極限的運(yùn)算法則二、極限的運(yùn)算法則 新課新課 第一章第一章 福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院5一、無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小與無(wú)窮大1. 無(wú)窮小無(wú)窮小(infinitesimal ).若若 , ,則稱(chēng)則稱(chēng) 為為 x x0 時(shí)的時(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小. .0)(lim0 xxx )(x v 若若 , ,則稱(chēng)則稱(chēng) 為為x 時(shí)的時(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小. .0)(lim xx )(x v 福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院6注意：注意：福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院72) 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:引理引理.)()()()(lim00時(shí)的無(wú)

4、窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxxxAxfAxfxx 意義意義1) 將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小無(wú)窮小);).(,)()()20 xAxfxxf 誤誤差差為為附附近近的的近近似似表表達(dá)達(dá)式式在在給給出出了了函函數(shù)數(shù) 福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院8注意注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .推論推論1 1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,有極限的變量與無(wú)窮小的有極限的變量與無(wú)窮小的 乘積是無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小. .推論推論2 2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .xxxxx1arctan,

5、1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院92、無(wú)窮大、無(wú)窮大定義定義: 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大無(wú)窮大.0lim( )xxf x 0000, ,( )Mxxf xM 有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)lim ( )xf x 00, ,( )MXxXf xM 有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院10定義中定義中| f(x) |M 換成換成 f(x) M (或或 f(x) 0, x0=2My(x)在在R上無(wú)界：上無(wú)界： M 0, x0 R, 有有 | y(x0) | M有有 | y(x0) | =(2M)cos(2M)M 無(wú)界無(wú)界lim(

6、 )xf x 00, ,( )MXxXf xM 有有 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) M0, X 0 , 但有但有x1=X使得使得| y(x1) | = (2X+/2)cos(2X+/ 2)0且且A1, B為常數(shù)為常數(shù)) ) 00lim ( ),lim ( )xxxxf xAg xB000 xxxxlim g(x)lim g(x)g(x)Bg(x)Bxxxxxxxx則則有有l(wèi)imf(x)lim f(x)A .limf(x)lim f(x)A .22011lim00lim(cossin)lim(cossin)xxxxxxxxxxx 但如但如1若若補(bǔ)充補(bǔ)充(書(shū)書(shū)P56 )福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院35三、小結(jié)三、

7、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1） 無(wú)窮?。o(wú)窮小（ 大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小. .（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量 , 但是無(wú)界但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大變量未必是無(wú)窮大.福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院361. 極限的四則運(yùn)算法則及其推論

8、極限的四則運(yùn)算法則及其推論; 2. 極限求法極限求法;1) 多項(xiàng)式與分式函數(shù)多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法代入法求極限求極限;2) 消去零因子法求極限消去零因子法求極限;3) 無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;5) 利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;6) 利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4) 分母或分子有理化分母或分子有理化.福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院37.sin114lim 22xxxxxx 求極限求極限例例解解xxxxxxsin114lim22 22sin111114limxxxxxx .1 練習(xí)練習(xí):福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院

9、福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院38另解另解則則令令,xt xxxxxxsin114lim22 ttttttsin114lim22 22sin111114limtttttx .1 .sin114lim 22xxxxxx 求極限求極限例例練習(xí)練習(xí):福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院39一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無(wú)窮小量皆以、 凡無(wú)窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是無(wú)窮小是無(wú)窮小則則是無(wú)窮大是無(wú)窮大若若、在同一過(guò)程中、在同一過(guò)程中xf.10

10、,21,0:4 yxxxyx能能使使應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)滿(mǎn)足足什什么么條條件件問(wèn)問(wèn)是是無(wú)無(wú)窮窮大大函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明練練 習(xí)習(xí) 題題福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院40.,0,1,0(1sin1這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)但但當(dāng)當(dāng)上上無(wú)無(wú)界界在在區(qū)區(qū)間間三三、證證明明函函數(shù)數(shù) xxxy福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院41一、一、1 1、0 0； 2 2、Cxfxx )(lim； 3 3、； 4 4、)(1xf. .二、二、210104 x. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院42._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填

11、空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院43._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院4438231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、福州大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)