湖南大學(xué)流體力學(xué)第八章

1、工程流體力學(xué)工程流體力學(xué)2015. 9第八章第八章 不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)8.1速度環(huán)量速度環(huán)量8.2流函數(shù)與速度勢(shì)流函數(shù)與速度勢(shì)8.3基本平面勢(shì)流基本平面勢(shì)流8.4基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單疊加基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單疊加8.5平行流繞流圓柱體的流動(dòng)平行流繞流圓柱體的流動(dòng) 自然界出現(xiàn)的流體運(yùn)動(dòng)絕大自然界出現(xiàn)的流體運(yùn)動(dòng)絕大多數(shù)都是有旋運(yùn)動(dòng)，它們有時(shí)很多數(shù)都是有旋運(yùn)動(dòng)，它們有時(shí)很容易觀察到，如當(dāng)河水流過(guò)橋墩容易觀察到，如當(dāng)河水流過(guò)橋墩和劃船用漿擊水時(shí)，在橋墩和漿和劃船用漿擊水時(shí)，在橋墩和漿的后面總要形成渦旋，船只行駛的后面總要形成渦旋，船只行駛時(shí)船尾部也同樣隨著渦旋區(qū)。還時(shí)船尾部也同樣隨

2、著渦旋區(qū)。還有大氣中的臺(tái)風(fēng)和龍卷風(fēng)也是渦有大氣中的臺(tái)風(fēng)和龍卷風(fēng)也是渦旋運(yùn)動(dòng)。旋運(yùn)動(dòng)。 自然界中自然界中流體的渦旋運(yùn)動(dòng)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)熱帶氣旋熱帶氣旋臺(tái)風(fēng)來(lái)了！臺(tái)風(fēng)來(lái)了！卡門(mén)渦街卡門(mén)渦街澡盆渦澡盆渦卡門(mén)渦街造成美國(guó)著名的塔科馬卡門(mén)渦街造成美國(guó)著名的塔科馬海峽大橋于海峽大橋于1940年年11月月7日在日在8級(jí)級(jí)大風(fēng)中崩塌。大風(fēng)中崩塌。水龍卷水龍卷陸龍卷陸龍卷2010年年5月黑龍江發(fā)生的龍卷風(fēng)月黑龍江發(fā)生的龍卷風(fēng) 實(shí)際上，渦旋的產(chǎn)生、變化對(duì)流體運(yùn)動(dòng)有重要影響。實(shí)際上，渦旋的產(chǎn)生、變化對(duì)流體運(yùn)動(dòng)有重要影響。（1）氣旋的形成與變化常決定了氣象條件的變化；）氣旋的形成與變化常決定了氣象條件的變化；（2）飛機(jī)

3、與船只在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦旋運(yùn)動(dòng)要耗散能）飛機(jī)與船只在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦旋運(yùn)動(dòng)要耗散能量、產(chǎn)生阻力；量、產(chǎn)生阻力；（3）飛機(jī)的翼型及升力也與渦旋有關(guān)；）飛機(jī)的翼型及升力也與渦旋有關(guān)；（4）水利建設(shè)中也常人為地制造渦旋以消耗水流的動(dòng)）水利建設(shè)中也常人為地制造渦旋以消耗水流的動(dòng)能，從而保護(hù)壩基。能，從而保護(hù)壩基。 因此在流體力學(xué)中，渦旋運(yùn)動(dòng)的基本理論占有很因此在流體力學(xué)中，渦旋運(yùn)動(dòng)的基本理論占有很重要的地位。重要的地位。試驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)分散成若干多股水體比一整股水體時(shí)的流試驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)分散成若干多股水體比一整股水體時(shí)的流態(tài)的穩(wěn)定性好、消能率高。態(tài)的穩(wěn)定性好、消能率高。 此種型式的消能方式是否存在立軸漩渦？從表此

4、種型式的消能方式是否存在立軸漩渦？從表孔下泄的高速水流，在各股水體的間隔處，必孔下泄的高速水流，在各股水體的間隔處，必將產(chǎn)生剪切渦。目前水利專家正在研究的兩個(gè)將產(chǎn)生剪切渦。目前水利專家正在研究的兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}： (1)剪切渦是否會(huì)發(fā)展成為剪切渦是否會(huì)發(fā)展成為立軸漩渦立軸漩渦； (2)若形成立軸漩渦，立軸漩渦是否會(huì)若形成立軸漩渦，立軸漩渦是否會(huì)延伸到消延伸到消力池底板力池底板。8.1速度環(huán)量速度環(huán)量 、速度環(huán)量、速度環(huán)量 如圖，求微元線段如圖，求微元線段 與與速度速度 在方向在方向 上的分上的分 量的乘積沿量的乘積沿AB曲線的積分：曲線的積分： 若若A與與B重合重合, 便成了封閉周線便成了封閉周

5、線.速度在封閉周線切線上的分量沿速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量的線積分稱為速度環(huán)量, 表示為：表示為： BABAABdsVsdV cosVkdzjdyidxsd , kwj viuV BABAAB)wdzvdyudx(sdV 速度環(huán)量的正向規(guī)定為速度環(huán)量的正向規(guī)定為:沿封閉周線前進(jìn)時(shí)沿封閉周線前進(jìn)時(shí),周線周線所包圍的面積在速度方向的左側(cè)。因此，逆時(shí)針?lè)较虻乃鼑拿娣e在速度方向的左側(cè)。因此，逆時(shí)針?lè)较虻乃俣拳h(huán)量為正速度環(huán)量為正. 二、斯托克斯定理（二、斯托克斯定理（Stokes Law） 當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)

6、沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強(qiáng)度之和量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強(qiáng)度之和。這就是。這就是斯托克斯定理。用公式表示為：斯托克斯定理。用公式表示為： 或：或： kkwdzvdyudxsdV)(I dA2sdVVn 1.微元封閉周線的斯托克斯定理微元封閉周線的斯托克斯定理 在在oxy平面上取一微元平面上取一微元 矩形封閉周線矩形封閉周線, 面積面積 dA=dxdy, 流體在流體在A, B， C, D四點(diǎn)速度如圖所示。四點(diǎn)速度如圖所示。 這樣，沿封閉周線這樣，沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：的速度環(huán)量為： 可見(jiàn)，沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所可見(jiàn)，沿微元封閉周線的速度

7、環(huán)量等于該周線所包圍的面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度，這就證明了微元封閉包圍的面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度，這就證明了微元封閉周線的斯托克斯定理。周線的斯托克斯定理。dIdA2dxdy)yu-xv( dyv)dyyvv(21dx)dyyuu()dyyudxxuu(21 -dy)dyyvdxxvv()dxxvv(21dx)dxxuu(u21 dyvv21dxuu21dyvv21dxuu21dzADDCCBBA 可見(jiàn)，沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍的可見(jiàn)，沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍的面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度，即斯托克斯定理。面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度，即斯托克斯定理。 2單連通域與多連通域單連通域與多連通域 要保證流

8、場(chǎng)中的要保證流場(chǎng)中的u，v，w，和，和p等都是等都是x，y，z，t的單值連續(xù)函的單值連續(xù)函數(shù)，對(duì)流場(chǎng)所在區(qū)域要有限制條件：數(shù)，對(duì)流場(chǎng)所在區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。否則稱多連通區(qū)域。 將外周線將外周線K1, 內(nèi)周線內(nèi)周線K2用用AB, AB連接連接,將原區(qū)域用封閉周將原區(qū)域用封閉周 線線ABK2BAK1A所包圍所包圍, 則則 該區(qū)域即成為單連通區(qū)域。該區(qū)域即成為單連通區(qū)域。 3.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理有限單連通區(qū)域的斯托克

9、斯定理 對(duì)任一微元矩形可求得速度環(huán)量對(duì)任一微元矩形可求得速度環(huán)量 di=dIi，則總速度環(huán)量：，則總速度環(huán)量： 另一方面，總速度環(huán)量中沿各微另一方面，總速度環(huán)量中沿各微 元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線 積分方向相反，剛好抵消，僅剩積分方向相反，剛好抵消，僅剩 下沿外封閉周線下沿外封閉周線K的切向速度線的切向速度線 積分，即：積分，即： 總速度環(huán)量：總速度環(huán)量： 即沿有限單連通域即沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該區(qū)域漩渦強(qiáng)度封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該區(qū)域漩渦強(qiáng)度的總和的總和,這就是有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理。這就是有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理。dAdId

10、Anii 2 KsdV dA2sdVAnK 4.多連通區(qū)域的斯托克定理多連通區(qū)域的斯托克定理 對(duì)右圖中由多連通區(qū)域?qū)τ覉D中由多連通區(qū)域 改成的單連通區(qū)域，速改成的單連通區(qū)域，速 度環(huán)量可寫(xiě)成：度環(huán)量可寫(xiě)成： 由由Stokes定理：定理： 假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：定理成為：AKAABBBKABAKABABK1212 1122 KAKAKBBK 2112KKAKABABK dA2n2k1k dA2n2k1k Stokes定理說(shuō)明，速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒(méi)有定理說(shuō)明，速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒(méi)有旋渦，

11、就沒(méi)有環(huán)量。反過(guò)來(lái)，環(huán)量等于零，總漩渦強(qiáng)度等于零，旋渦，就沒(méi)有環(huán)量。反過(guò)來(lái)，環(huán)量等于零，總漩渦強(qiáng)度等于零，環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。 例例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。 流體以等速度流體以等速度u0沿水平沿水平 方向流動(dòng)，求沿矩形封方向流動(dòng)，求沿矩形封 閉周線的速度環(huán)量：閉周線的速度環(huán)量： 同樣可證，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。同樣可證，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。dA2n2k1k 00bu0buoo413423121234 例例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。 如圖，包有間斷面的兩股平

12、行流中矩形封閉周線如圖，包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量：的速度環(huán)量： 有間斷面的平行流有間斷面的平行流 中速度環(huán)量不等于零。中速度環(huán)量不等于零。 在實(shí)際流體中在實(shí)際流體中, 由于粘由于粘 滯力的作用滯力的作用, 使分界面使分界面 上下形成速度梯度上下形成速度梯度, 即即 所以有漩渦存在。所以有漩渦存在。, 0yu , 021)yuxv(z 三三.湯姆生定理（湯姆生定理（Thomsons Law） 湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下沿任湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線

13、的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。 1.證明證明：沿封閉周線的速度環(huán)量：沿封閉周線的速度環(huán)量： 速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率：速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率： )wdzvdyudx(sdV (a) )()()()()( dzDtDwdyDtDvdxDtDudzDtDwdyDtDvdxDtDuwdzvdyudxDtDDtDVdDtsDd)sd(DtD )sd(DsdDtVDt)VdV(sd 即即dw)dz(DtD , dv)dy(DtD , du)dx(DtD 2222()( ()()()()2222uduvdvwdwuvwVdddd 理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程： 代入（代入（a）式右邊第二項(xiàng)得

14、：）式右邊第二項(xiàng)得： (a)式成為式成為. xp1fDtDux )()(1()1()1()1()( FzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfdxfdzzpfdyypfdxxpfdzDtDwdyDtDvdxDtDu 0)P2V( .ddPd)2V(dDtDF2F2 2.討論討論 在理想流體中速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生，自在理想流體中速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生，自行消滅。流場(chǎng)中原來(lái)有渦的，則永遠(yuǎn)有渦，原來(lái)沒(méi)有渦行消滅。流場(chǎng)中原來(lái)有渦的，則永遠(yuǎn)有渦，原來(lái)沒(méi)有渦的，就永遠(yuǎn)沒(méi)有。的，就永遠(yuǎn)沒(méi)有。 四、海姆霍茲定理（四、海姆霍茲定理（Helmholezs Law） 海姆霍茲的三個(gè)漩渦定

15、理是研究理想流體有旋流動(dòng)海姆霍茲的三個(gè)漩渦定理是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理，它說(shuō)明了漩渦的基本性質(zhì)。（通過(guò)環(huán)量證的基本定理，它說(shuō)明了漩渦的基本性質(zhì)。（通過(guò)環(huán)量證明明Stokes定理）。定理）。 1海姆霍茲第一定理：海姆霍茲第一定理： 在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相同。在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相同。 證明：證明： 即沿包圍渦管任一封閉即沿包圍渦管任一封閉 周線的速度環(huán)量都相等。周線的速度環(huán)量都相等。 也就是在渦管各截面上也就是在渦管各截面上 的漩渦強(qiáng)度都相等。即的漩渦強(qiáng)度都相等。即 可見(jiàn)可見(jiàn),渦管在流體中既不渦管在流體中既不 能開(kāi)始能開(kāi)始,也不能終止也不能終止,只能只能 是自

16、成封閉的管圈是自成封閉的管圈,或在或在 邊界上開(kāi)始邊界上開(kāi)始,終止終止,如圖示。如圖示。常常數(shù)數(shù) AndA2 0AABBAAABBBABAABAB 2. 海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）渦管守恒定理） 正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。 證明：證明： 在渦管表面上取封閉周線在渦管表面上取封閉周線 K 沿周線沿周線K的速的速 度環(huán)量等于零度環(huán)量等于零 速度環(huán)量不隨時(shí)間變化速度環(huán)量不隨時(shí)間變化, 沿沿 周線周線K的速度環(huán)量永遠(yuǎn)是零。的速度環(huán)量永遠(yuǎn)是零。 渦管永

17、遠(yuǎn)保持為由相渦管永遠(yuǎn)保持為由相 同質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。同質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。STOKESTHOMSON 3海姆霍茲第三定理：海姆霍茲第三定理： 在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下，正壓性的理想流在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，保持定體中任何渦管的漩渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，保持定值。值。 證明：證明： 根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，該環(huán)量等于渦管的漩渦強(qiáng)度，所以渦管間變化，該環(huán)量等于渦管的漩渦強(qiáng)度，所以渦管的漩渦強(qiáng)度也不隨時(shí)間變化。的漩渦強(qiáng)度也不隨時(shí)間變化。8.2,速度勢(shì)與流函數(shù)速度勢(shì)與流函數(shù) 一一.有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)

18、 對(duì)無(wú)旋流動(dòng)，滿足：對(duì)無(wú)旋流動(dòng)，滿足： 若令：若令： 得：得： 則則 yuxv , xwzu , zvyw dx dy dzdudxvdyw dzxyz z w, yv , xu , , 22zvywzyzvzyyw 同理，可得同理，可得 按矢量分析：按矢量分析： 無(wú)旋流動(dòng)必可表示成某一函數(shù)無(wú)旋流動(dòng)必可表示成某一函數(shù) 的梯度。函數(shù)的梯度。函數(shù)就稱為速度勢(shì)函數(shù)，所以無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流就稱為速度勢(shì)函數(shù)，所以無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。動(dòng)。 二、速度勢(shì)的特點(diǎn)二、速度勢(shì)的特點(diǎn) 在有勢(shì)流動(dòng)中沿曲線的切向速度線積分在有勢(shì)流動(dòng)中沿曲線的切向速度線積分等于終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢(shì)之差，與曲線形狀等于終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢(shì)

19、之差，與曲線形狀無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 yu xv , xwzu yVui vjwkijk xz 證：證： 在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線的速度在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線的速度環(huán)量等于零。環(huán)量等于零。 證：證： BAABBABAABd )dzzdyydxx( )wdzvdyudx( 0 d )wdzvdyudx(KK 不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。 證：證： 不可壓縮流體的連續(xù)性方程：不可壓縮流體的連續(xù)性方程： 將將 代入得代入得 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)函數(shù) 是一個(gè)調(diào)和函數(shù)

20、。是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 求解不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)求解不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng),歸結(jié)為根據(jù)起始條件和歸結(jié)為根據(jù)起始條件和邊界條件求解邊界條件求解Laplace方程得到速度勢(shì)進(jìn)而求得速度場(chǎng)方程得到速度勢(shì)進(jìn)而求得速度場(chǎng),再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。0 zw yv xu z w,y v ,xu 0 z y x2222222 三、流函數(shù)三、流函數(shù) 1流函數(shù)的導(dǎo)出流函數(shù)的導(dǎo)出 由不可壓縮流體的連續(xù)性方程得：由不可壓縮流體的連續(xù)性方程得： 平面流動(dòng)的流線微分方程：平面流動(dòng)的流線微分方程： 得得 令全微分令全微分 即函數(shù)即函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。 , dxdyuv

21、0vdxudy udyvdxdyydxxd xv yu yvxu yxyv -yxxu22 在流線上在流線上d=-vdx+udy=0，即，即=常數(shù)。所以函常數(shù)。所以函數(shù)數(shù)(x,y)稱為流函數(shù)。稱為流函數(shù)。 2流函數(shù)的物理意義流函數(shù)的物理意義 流函數(shù)的物理意義：平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)流函數(shù)的物理意義：平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。 證明：如圖證明：如圖,通過(guò)通過(guò)AB上流函上流函 數(shù)為數(shù)為1的流線和流函數(shù)為的流線和流函數(shù)為 2的流線間的體積流量為：的流線間的體積流量為：21 cos( , )cos(, )()() BBAABB

22、AABAqV dluV xvV y dldydxuvdludy vdxdldld 3討論討論 （1）只要是不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)，就存在）只要是不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)，就存在流函數(shù)，而不論其是理想流體，還是粘性流體，流函數(shù)，而不論其是理想流體，還是粘性流體，是無(wú)旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng)。是無(wú)旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng)。 （2）不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足）不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。 證明：證明： 無(wú)旋無(wú)旋 z=0, 0yuxv 代代入入上上式式得得 ,xvyu 022222yx （3）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流

23、網(wǎng)。 即即 滿足上式，等勢(shì)滿足上式，等勢(shì) 線簇和流線簇互相線簇和流線簇互相 正交，構(gòu)成正交網(wǎng)正交，構(gòu)成正交網(wǎng) 絡(luò)，簡(jiǎn)稱流網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱流網(wǎng) （如圖）（如圖）xxy y 例例 90 90角域流的速度勢(shì)和流函數(shù)角域流的速度勢(shì)和流函數(shù) 已知已知: 90: 90角域流的速度分布式為：角域流的速度分布式為：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k為常數(shù)）。為常數(shù)）。 求：（求：（1 1）判斷該流場(chǎng)是否存在速度勢(shì)，若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)等勢(shì)線圖；）判斷該流場(chǎng)是否存在速度勢(shì)，若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)等勢(shì)線圖； （2 2）判斷該流場(chǎng)是否存在流函數(shù)。若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)流線圖；）判斷該流場(chǎng)是否存在流

24、函數(shù)。若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)流線圖； 解：解：（1 1）先計(jì)算速度旋度）先計(jì)算速度旋度 上式中上式中C C為常數(shù)。速度勢(shì)函數(shù)為為常數(shù)。速度勢(shì)函數(shù)為 0vuxy說(shuō)明流場(chǎng)是無(wú)旋的，存在速度勢(shì)說(shuō)明流場(chǎng)是無(wú)旋的，存在速度勢(shì)( (x x, , y y) )，212ukx,kxf( y)x 212f ( y) vky, f( y)kyCy 2212k(xy ) C(a)等勢(shì)線方程為等勢(shì)線方程為x x2 2- -y y2 2= =常數(shù)，在常數(shù)，在xyxy平面上是分別以第一、三象限角平分線和平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如圖中的實(shí)線所示。第二、四象限角平分線為漸近

25、線的雙曲線族，如圖中的實(shí)線所示。 （2 2）再計(jì)算速度散度）再計(jì)算速度散度 0uvkkxy v說(shuō)明該流場(chǎng)是不可壓縮平面流動(dòng)，存在流函數(shù)說(shuō)明該流場(chǎng)是不可壓縮平面流動(dòng)，存在流函數(shù)( (x,yx,y) )，ukx,kxyg(x)y0kyg( x)vky,g( x), g( x)Cx 上式中上式中C C為常數(shù)，流函數(shù)為為常數(shù)，流函數(shù)為 流線方程為流線方程為xyxy= =常數(shù)，在常數(shù)，在xyxy平面上是分別以平面上是分別以x x, ,y y軸為漸近線的雙曲線族，如軸為漸近線的雙曲線族，如圖中的虛線所示。圖中的虛線所示。x x, ,y y軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢(shì)線族正軸也是流線，稱其為零流線

26、。流線族與等勢(shì)線族正交。交。 kxy C(b)已知已知: 90: 90角域流的速度分布式為：角域流的速度分布式為：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k為常數(shù)）。為常數(shù)）。 2212k(xy ) C(a)8.3基本平面勢(shì)流基本平面勢(shì)流 一、平行流一、平行流 設(shè)流體作等速直線流動(dòng)。設(shè)流體作等速直線流動(dòng)。 積分得速度勢(shì)：積分得速度勢(shì)： (a) 又又 , 00vvuu 00 ,vvyuux dyvdxudyydxxd00 yvxu00 0 0 vvxuuy 積分得流函數(shù)積分得流函數(shù) (b) 顯然（顯然（a）,(b)兩式滿足兩式滿足Laplace方程，而且等勢(shì)線方程，而且等勢(shì)線 與流

27、線與流線 互相垂直?；ハ啻怪?。 二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯 1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯定義點(diǎn)源與點(diǎn)匯定義 設(shè)在無(wú)限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方設(shè)在無(wú)限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。如圖流出，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。如圖(a)。 若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，如圖為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，如圖(b)。yuxv00 )(00cyvxu )(00cyuxv 在這些流動(dòng)中，從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速在這些流動(dòng)中，從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。

28、將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)（或匯點(diǎn)），則：度。將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)（或匯點(diǎn)），則： 即即 2勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù) 每秒通過(guò)半徑為的單位長(zhǎng)度圓柱面的流量為：每秒通過(guò)半徑為的單位長(zhǎng)度圓柱面的流量為： 得得 點(diǎn)源點(diǎn)源 點(diǎn)匯點(diǎn)匯 0rvvrrvrdd rQvr 2 0v 0r Q0v 0r Q 積分得：積分得： 源點(diǎn)（匯點(diǎn)）為奇點(diǎn)。源點(diǎn)（匯點(diǎn)）為奇點(diǎn)。 3流函數(shù)流函數(shù) 積分得：積分得： 等勢(shì)線是半徑不同的同心圓，與流線正交。等勢(shì)線是半徑不同的同心圓，與流線正交。 同樣可證明同樣可證明和和都滿足都滿足Laplace方程，點(diǎn)源和方程，點(diǎn)源和點(diǎn)匯確是無(wú)旋流動(dòng)。點(diǎn)匯確是無(wú)旋流動(dòng)。rQvr 2 22ln =ln22QQr

29、xyyxxyyuxvddddd yyxQxxyxQyd)(2d)(22222 2tan2dd2122QcxyQyxxyyxQ 4壓力分布?jí)毫Ψ植?平面平面oxy是無(wú)限水平面，根據(jù)伯努里方程：是無(wú)限水平面，根據(jù)伯努里方程： 將將 表達(dá)式代入上式，得：表達(dá)式代入上式，得： 可見(jiàn)可見(jiàn): 圖中表示圖中表示 時(shí)時(shí), 點(diǎn)匯沿半徑點(diǎn)匯沿半徑 r的壓力分的壓力分布。布。 pgvpr22rv2221 8rgQpp 0 ,8 ; 21220 pgpQrrpr時(shí)時(shí) rr0 三、渦流和點(diǎn)渦三、渦流和點(diǎn)渦 1渦束與渦流渦束與渦流 渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉(zhuǎn)，軸）旋轉(zhuǎn)，由渦

30、束誘導(dǎo)出的平面流由渦束誘導(dǎo)出的平面流, 稱為渦流稱為渦流. 如圖如圖,它是以它是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。 按按Stokes定理定理, 沿圓周流線沿圓周流線 的速度環(huán)量等于渦束的漩的速度環(huán)量等于渦束的漩 渦強(qiáng)度（渦強(qiáng)度（I），即），即: 可見(jiàn)：可見(jiàn)： 常常數(shù)數(shù) Irv 2)( ) ( 20勢(shì)勢(shì)流流旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)區(qū)區(qū)rrrv 在渦束內(nèi)在渦束內(nèi) 2勢(shì)流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布勢(shì)流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布 伯努里方程：伯努里方程： 在渦束邊緣在渦束邊緣 由此解得渦核半徑由此解得渦核半徑 pgvp2222221 82rgpgvpp 2020220211 8vprgpp 02201 8ppgr 3渦核

31、區(qū)的壓力分布渦核區(qū)的壓力分布 平面定常流動(dòng)的平面定常流動(dòng)的Enlar運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 渦內(nèi)速度渦內(nèi)速度 代入代入, 再分別乘再分別乘 并相加得并相加得 即即 積分得：積分得： yypxxpyyxxdd)dd( 12xpyuvxuu 1ypyvvxvu 1xvyu ,yx d,dpyxd)(d 12222 cvcrp 22222 4壓力分布圖壓力分布圖 渦核中心的壓力：渦核中心的壓力： 渦核邊緣的壓力：渦核邊緣的壓力：202202020020000021 2121: , , ,B.C.vvppvpvvpvpcvvpprr 解解得得代代入入20vppc 20021vpp 故故 可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外

32、壓降相等，都等于以渦核可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。如圖所示。邊緣的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。如圖所示。20002121vppppppcc )( 5點(diǎn)渦點(diǎn)渦 成為一條渦線，這樣的渦流稱為點(diǎn)渦。成為一條渦線，這樣的渦流稱為點(diǎn)渦。 渦點(diǎn)是一奇點(diǎn)。渦點(diǎn)是一奇點(diǎn)。 (1) 速度勢(shì)速度勢(shì) 積分得速度勢(shì)積分得速度勢(shì),00r, vr00rrvrvr 21 0 d2dddrrxy1tan22 （2）流函數(shù)）流函數(shù) 積分得流函數(shù)積分得流函數(shù) 環(huán)流逆時(shí)針環(huán)流逆時(shí)針, 環(huán)流順時(shí)針環(huán)流順時(shí)針.222yxxyx 222yxyxy 222222d212)( 2)(d2dddrryxyxyyxx r

33、ln2 0 0 8.4 基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加 一、無(wú)旋流動(dòng)的特性一、無(wú)旋流動(dòng)的特性 無(wú)旋流動(dòng)有一重要特性：幾個(gè)無(wú)旋流動(dòng)迭加無(wú)旋流動(dòng)有一重要特性：幾個(gè)無(wú)旋流動(dòng)迭加后仍然是無(wú)旋流動(dòng)。后仍然是無(wú)旋流動(dòng)。 證：證： 設(shè)：設(shè)： 則則 同樣：同樣： ) ,Laplace,Laplace,(321321方方程程是是線線性性的的且且方方程程滿滿足足 3222122 3222122 求求 對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 此即速度在此即速度在 x 方向的分量：方向的分量： 同樣，求對(duì)同樣，求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)得：的偏導(dǎo)數(shù)得： 即即 可見(jiàn)，無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)及流函數(shù)的代數(shù)和可見(jiàn)，無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)及流函數(shù)的代

34、數(shù)和等于新的無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)，它的速度等于新的無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)，它的速度是這些無(wú)旋流動(dòng)速度的矢量和。是這些無(wú)旋流動(dòng)速度的矢量和。 xxxx321 321uuuu 321vvvv 二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦螺旋流螺旋流 在旋風(fēng)燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除在旋風(fēng)燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除 塵器等設(shè)備中塵器等設(shè)備中, 流體自外沿流體自外沿 圓周切向進(jìn)入圓周切向進(jìn)入, 又從中央不又從中央不 斷流出。這樣的流動(dòng)可認(rèn)為斷流出。這樣的流動(dòng)可認(rèn)為 是點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的迭加。設(shè)環(huán)是點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的迭加。設(shè)環(huán) 流方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛄鞣较驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?則迭加則迭加 后新的組合流動(dòng)的速度勢(shì)為：后新的組合流

35、動(dòng)的速度勢(shì)為： 流函數(shù)流函數(shù))ln(212ln221 rQrQ)ln(21ln2221rQrQ 令令 =常數(shù)，常數(shù)， 得等勢(shì)線得等勢(shì)線 =常數(shù)，得流線常數(shù)，得流線 這是兩組相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇，如圖，這是兩組相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇，如圖，稱為螺旋流。稱為螺旋流。 切向速度：切向速度： 徑向速度：徑向速度： 代入伯努里方程，得流場(chǎng)中的壓力分布代入伯努里方程，得流場(chǎng)中的壓力分布 Qecr 1 Qecr2rrv 21 rQrvr 2 22212222111)(8rrQgpp 水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的 流動(dòng)是點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭加流動(dòng)是點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭加 的例子，如圖。的例子，如圖。 三、點(diǎn)源和

36、點(diǎn)匯三、點(diǎn)源和點(diǎn)匯 偶極流偶極流 1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯點(diǎn)源與點(diǎn)匯 將位于將位于A(-a, 0)的點(diǎn)源的點(diǎn)源 和位于和位于B(a, 0)的點(diǎn)匯迭的點(diǎn)匯迭 加加, 迭加后速度勢(shì)為迭加后速度勢(shì)為: BBAArQrQln2ln2 如圖如圖 若若 流函數(shù)流函數(shù) 式中式中 為動(dòng)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)P與源點(diǎn)與源點(diǎn)A和匯和匯 點(diǎn)點(diǎn)B的連接線的連接線 之間的夾角。之間的夾角。 由流線方程，由流線方程， 得得, 即流線是經(jīng)過(guò)即流線是經(jīng)過(guò)源源 點(diǎn)點(diǎn)A和匯點(diǎn)和匯點(diǎn)B的圓線的圓線簇。簇。2222)(,)(axyPBraxyPArBA QQQBA 2222)()(ln4ln2)ln(ln2axyaxyQrrQrrQBABA PBAQQ 2

37、)(2 P CP 2偶極流偶極流 點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近，即，點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近，即， 就是偶極流。就是偶極流。 使使 (有限常量有限常量)，M為偶極矩。為偶極矩。 偶極流的速度勢(shì)：偶極流的速度勢(shì)： 如圖如圖, 0a, Qa0MaQ2 BbABArrrQrrQ122lnln BABABA, rrr ,MaQQ,a,arr202cos2時(shí)2a02a0BQQ22222cos2coslimln1lim22rcos 222AABaaQQrMrMxMxrrxy 22222212122222202222102222-111144 44 2 22lim2tan2lim, 022tan21tan2 )tan(ta

38、n2 cMycMxcMcMyxyxyMayxayQayxayQQaayxayQaxyaxyaxyaxyQaxyaxyQQaQa 得等勢(shì)線得等勢(shì)線常數(shù)常數(shù)得流線得流線常數(shù)常數(shù)令令時(shí)時(shí) 即流線是半徑為，即流線是半徑為， 圓心為圓心為 且與且與x軸在原點(diǎn)相切的軸在原點(diǎn)相切的 圓周簇，如圖中實(shí)線。圓周簇，如圖中實(shí)線。 等勢(shì)線是半徑為，等勢(shì)線是半徑為， 圓心為圓心為 且與且與y軸在原點(diǎn)相切軸在原點(diǎn)相切 的圓周簇，如圖中虛線。的圓周簇，如圖中虛線。14cM 14 , 0cM 24 cM 0,42 cM 8.5平行流繞圓柱體的流動(dòng)平行流繞圓柱體的流動(dòng)一一.平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)

39、1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動(dòng)平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動(dòng) 流函數(shù)流函數(shù) 流線方程流線方程 零流線方程：零流線方程： 即即 2222211212yxVMyVyxyMyV ,c cyxyMyV 2220 c012122 yxVMyV VMyxy2 022 所以所以, 零流線是一個(gè)零流線是一個(gè) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,半徑半徑 的圓周的圓周 和和x軸所構(gòu)成的圖形。這軸所構(gòu)成的圖形。這 流線到流線到A處分成兩股處分成兩股,沿上、沿上、 下兩個(gè)半圓周流到下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，點(diǎn)， 又重新匯合，如圖。又重新匯合，如圖。 2、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流

40、的平面流動(dòng) 一個(gè)平行流繞半徑為一個(gè)平行流繞半徑為 的圓柱體的平面流動(dòng)，的圓柱體的平面流動(dòng)，可以用這個(gè)平行流與偶極矩可以用這個(gè)平行流與偶極矩 的偶極流迭的偶極流迭加面成的組合流動(dòng)代替。加面成的組合流動(dòng)代替。 VMr200r202rVM 流函數(shù)：流函數(shù)： 速度勢(shì)：速度勢(shì)： 3、繞流的速度分布、繞流的速度分布 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量 沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量：沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量： 平行流繞圓柱體的平面流動(dòng)沒(méi)有速度環(huán)量。平行流繞圓柱體的平面流動(dòng)沒(méi)有速度環(huán)量。02202220 sin11rrrrrVyxryV 022022 cos12rrrrrVyxxMxV si

41、ncos220220111rrVrvrrVrvr0dsin1d220 rrrVsv 在圓柱面上速度按正在圓柱面上速度按正 弦曲線分布，如圖。弦曲線分布，如圖。 在在0和和180(A點(diǎn)點(diǎn))處，處， , 稱為駐稱為駐點(diǎn)。在點(diǎn)。在90，270處，處， 達(dá)到最大值達(dá)到最大值 4、繞流的壓力分布、繞流的壓力分布 圓柱面上任一點(diǎn)的壓力，由伯努里方程：圓柱面上任一點(diǎn)的壓力，由伯努里方程： sin v 0 v )( rVrr20在圓柱面上0vv Vv2max)sin41(21 22 2222 Vppgvpgvp即即 工程上常用無(wú)因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任工程上常用無(wú)因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任一點(diǎn)的壓力

42、，定義為：一點(diǎn)的壓力，定義為： 對(duì)繞流圓柱體：對(duì)繞流圓柱體： 根據(jù)上式計(jì)算根據(jù)上式計(jì)算 出的理論無(wú)因出的理論無(wú)因 次壓力系數(shù)曲次壓力系數(shù)曲 線如圖中實(shí)線線如圖中實(shí)線 所示所示. 注意此時(shí)注意此時(shí) 角是從前駐角是從前駐 點(diǎn)沿順時(shí)針點(diǎn)沿順時(shí)針 方向增加。方向增加。221 VppCp 前駐點(diǎn)前駐點(diǎn) (0)： ( 90): 后駐點(diǎn)（后駐點(diǎn)（180）：與點(diǎn)相同。）：與點(diǎn)相同。 可見(jiàn)，圓柱體所可見(jiàn)，圓柱體所 受流體壓力上下受流體壓力上下 左右都對(duì)稱。因左右都對(duì)稱。因 此，作用在圓柱此，作用在圓柱 面上的壓力在各面上的壓力在各 個(gè)方向上都互相個(gè)方向上都互相 平衡，合力等于平衡，合力等于 零。零。2max21

43、 , 1 , 0 VpppCvAp 2min0max23 , 3 ,2 VpppCVvvp 5、達(dá)朗伯疑題、達(dá)朗伯疑題 理想流體繞流圓柱體，理想流體繞流圓柱體， 作用在圓柱面上的合力作用在圓柱面上的合力 為零可用分析方法證明。為零可用分析方法證明。 如圖，在單位柱長(zhǎng)圓柱如圖，在單位柱長(zhǎng)圓柱 體上，作用在微元弧段體上，作用在微元弧段 的微小總壓力的微小總壓力 ，則，則 沿沿x向向y向的分量為：向的分量為： dd0rs ddF0pr Fd dsin-ddcosd00prFprFyx )sin41(2122 Vpp 流體作用在圓柱體上總壓力沿流體作用在圓柱體上總壓力沿x向和向和y向的分量：向的分量：

44、 即作用在圓柱體上的壓力合力為零。圓柱體受即作用在圓柱體上的壓力合力為零。圓柱體受到的與來(lái)流方向平行和垂直的力，又稱為流體作到的與來(lái)流方向平行和垂直的力，又稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力。所以當(dāng)理想流體的用在圓柱體上的阻力和升力。所以當(dāng)理想流體的平行流無(wú)環(huán)流地繞流圓柱體時(shí)，沒(méi)有作用在圓柱平行流無(wú)環(huán)流地繞流圓柱體時(shí)，沒(méi)有作用在圓柱體上的阻力和升力。這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)有很大的矛體上的阻力和升力。這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)有很大的矛盾，這就是著名的盾，這就是著名的達(dá)朗伯疑題達(dá)朗伯疑題。 其原因在于實(shí)際流體都是有粘性的。理想流體不其原因在于實(shí)際流體都是有粘性的。理想流體不考慮粘性，已不能適用于分析流動(dòng)阻力這種流體考慮粘性，已不能適用于分析流動(dòng)阻力這種流體粘性起作用的場(chǎng)合。