姜啟源編《數(shù)學(xué)模型》第四版_第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型-靜態(tài)優(yōu)化模型靜態(tài)優(yōu)化模型3.1 存貯模型存貯模型3.2 生豬的生豬的出售時(shí)機(jī)出售時(shí)機(jī) 3.3 森林救火森林救火3.4 消費(fèi)者的選擇消費(fèi)者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支血管分支3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題. 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)慕Ｄ康拇_定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)).簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)

2、化模型( (靜態(tài)優(yōu)化靜態(tài)優(yōu)化) )3.1 存貯模型存貯模型問(wèn)問(wèn) 題題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi). 該廠該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi)每日每件每日每件1元元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小一次（生產(chǎn)

3、周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要要求求不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.問(wèn)題分析與思考問(wèn)題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次, 每次每次100件件,無(wú)貯存費(fèi)無(wú)貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)準(zhǔn)備費(fèi)5000元元.日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元元. 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, 每次每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元元. 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次,每次每次

4、5000件件, 貯存費(fèi)貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元元.平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, ,平均每天費(fèi)用最小嗎平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考問(wèn)題分析與思

5、考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小.模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費(fèi)

6、用的平均值最小使每天總費(fèi)用的平均值最小. .4. 為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用221QTccC每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問(wèn)題連續(xù)化離散問(wèn)題連續(xù)化20( )dTcq tt一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解min2)(21rT

7、cTcTC求求 T 使使d0dCT212crcrTQ212rccT 模型解釋模型解釋QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對(duì)的微小變化對(duì)T,Q的影響的影響T對(duì)對(duì)c1的的(相相對(duì)對(duì))敏感度敏感度 111/),(ccTTcTS11ddcTc T21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或或r增加增加1%, T減少減少0.5%經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ 用于訂貨供應(yīng)情況用于訂貨供應(yīng)情況:不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型模型應(yīng)用

8、模型應(yīng)用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原問(wèn)題回答原問(wèn)題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1, 每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi) c2 , T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨件立即到貨.思考思考: 為什么與前面計(jì)算的為什么與前面計(jì)算的C=950元有差別元有差別?允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設(shè)：原模型假設(shè)

9、：貯存量降到零時(shí)貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(lái)件立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足.T1rTQ Ac2Bc3周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用一周期一周期貯存費(fèi)貯存費(fèi)120( )dTcq tt一周期一周期缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)13( )dTTcq ttTCQTC),(0,0QCTC每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值平均值（目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)）213121)(2121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用( ,)minC T Q

10、 求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T T記作記作T T , , Q Q記作記作Q Q . .允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT 212crcrTQ不允許不允許缺貨缺貨模型模型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型OqQ rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足注

11、意：缺貨需補(bǔ)足Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR存存 貯貯 模模 型型 存貯模型存貯模型(EOQ公式公式)是研究批量生產(chǎn)計(jì)劃的是研究批量生產(chǎn)計(jì)劃的重要理論基礎(chǔ)重要理論基礎(chǔ), 也有實(shí)際應(yīng)用也有實(shí)際應(yīng)用. 建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用, 為什么為什么?在什么條件下在什么條件下可以不考慮可以不考慮(習(xí)題習(xí)題1)? 建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無(wú)限大建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無(wú)限大(生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)), 如果生產(chǎn)能力有限如果生產(chǎn)能力有限(大于

12、需求量的常數(shù)大于需求量的常數(shù)), 應(yīng)作怎應(yīng)作怎樣的改動(dòng)樣的改動(dòng)(習(xí)題習(xí)題2)?3.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，備，估計(jì)估計(jì)可使可使80kg重的生豬體重增加重的生豬體重增加2kg.問(wèn)問(wèn)題題市場(chǎng)價(jià)格目前為市場(chǎng)價(jià)格目前為8元元/kg，但是，但是預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)每天會(huì)降低每天會(huì)降低 0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售?如果如果估計(jì)估計(jì)和和預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響?分分析析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使

13、利潤(rùn)最大時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大.trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利潤(rùn)天后出售，可多得利潤(rùn)20元元.建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出售價(jià)格出售價(jià)格 p=8gt銷(xiāo)售收入銷(xiāo)售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤(rùn)利潤(rùn) Q= RC估計(jì)估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1=pw 4t敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響. 估計(jì)估計(jì)r=2， g

14、=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對(duì)對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 rrttrtS/),(ddt rr t3604060),(rrtS生豬每天增加的體重生豬每天增加的體重 r 變大變大1%，出售時(shí)間推遲，出售時(shí)間推遲3%. 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響. 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對(duì)對(duì)g的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 /d( , )/dt tt gS t gg gg

15、t32033),(ggtS生豬價(jià)格每天的降低生豬價(jià)格每天的降低g增加增加1%，出售時(shí)間提前，出售時(shí)間提前3%. 0.060.080.10.120.140.160102030gt強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售.由由 S(t,r)=3建議過(guò)一周后建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算再作計(jì)算.wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響. w=80+rt w = w(t)p=8gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137

16、t0)( tQ每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的資金每天投入的資金 4)()()()(twtptwtpttwtptQ4)()()(利潤(rùn)利潤(rùn)3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.問(wèn)題問(wèn)題分析分析問(wèn)題問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林

17、燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題問(wèn)題分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫(huà)出時(shí)刻畫(huà)出時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間轉(zhuǎn)而討論單位

18、時(shí)間燒毀面積燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度).模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度火勢(shì)蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度速度). 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3 .假設(shè)假設(shè)1）的解釋?zhuān)┑慕忉?rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與

19、t 成正比成正比.面積面積 B與與 t2 成正比成正比dB/dt與與 t 成正比成正比xbtt12220d( )ddtBB ttt模型建立模型建立ddBtbOt1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼

20、續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)ddBtbOt1t2xt模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻, 火火勢(shì)蔓延速度勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)每個(gè)隊(duì)員平均滅火隊(duì)員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)

21、量由模型決定隊(duì)員數(shù)量 x3.4 消費(fèi)者消費(fèi)者的選擇的選擇背景背景消費(fèi)者在市場(chǎng)里如何分配手里一定數(shù)量的錢(qián)，消費(fèi)者在市場(chǎng)里如何分配手里一定數(shù)量的錢(qián)，選擇購(gòu)買(mǎi)若干種需要的商品選擇購(gòu)買(mǎi)若干種需要的商品. 根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一條最優(yōu)化原理“消費(fèi)者消費(fèi)者追求最大效用追求最大效用” ，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助消費(fèi)者決定他的選擇消費(fèi)者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)，假定只有甲乙兩種商品供消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)得數(shù)量分別為當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)得數(shù)量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時(shí)，的甲

22、乙兩種商品時(shí)，得到的效用可用得到的效用可用函數(shù)函數(shù)u (x1, x2)度量度量，稱(chēng)為稱(chēng)為效用函數(shù)效用函數(shù).效用函數(shù)效用函數(shù) 利用等高線概念在利用等高線概念在x1, x2平面上畫(huà)出平面上畫(huà)出函數(shù)函數(shù)u 的等值線的等值線, u (x1, x2)=c 稱(chēng)為稱(chēng)為等效用線等效用線等效用線就是等效用線就是“ 實(shí)物交換模型實(shí)物交換模型”中的中的無(wú)差別曲線無(wú)差別曲線，效用就是那里的效用就是那里的滿滿意度意度. . Ox2u(x1,x2) = cx11l2l3lc增加增加 一族單調(diào)減、下凸、一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線互不相交的曲線. 效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙兩種商品的單價(jià)甲乙兩種商品

23、的單價(jià), y消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢(qián)消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢(qián) x1, x2 購(gòu)得甲乙兩種商品數(shù)量購(gòu)得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1x1x2幾何分析幾何分析 x2u(x1,x2) = cx1O1l2l3lc增加增加u(x1, x2) = c 單調(diào)減、單調(diào)減、下凸、互不相交下凸、互不相交.在條件在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使下使效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1, x2)最大最大. AB必與一條等效用線必與一條等效用線相切于相切于Q點(diǎn)點(diǎn) (消費(fèi)點(diǎn)消費(fèi)點(diǎn)).Q (x1, x2) 唯一唯一.消費(fèi)線消費(fèi)線AB模型求解模型求解yxpxpxxu221121s.t.),(max引入拉格朗日引入拉格朗日乘子乘子構(gòu)

24、造函數(shù)構(gòu)造函數(shù))(),(),(22112121xpxpyxxuxxL0, 021xLxL與幾何分析得到的與幾何分析得到的 Q 一致一致2112d/dxuuxxx 等效用線等效用線u (x1, x2)=c的斜率的斜率 消費(fèi)線消費(fèi)線AB的斜率的斜率21/ pp21,2,12121ppxuxuxxxx2121ppxuxu結(jié)果結(jié)果解釋解釋效用函數(shù)效用函數(shù)的構(gòu)造的構(gòu)造等效用線等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸. 解釋條件中正負(fù)號(hào)的實(shí)際意義解釋條件中正負(fù)號(hào)的實(shí)際意義222221212120,0,0,0,0uuuuuxxxxxx 充分條件充分條件

25、當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價(jià)格之比時(shí)效用函數(shù)最大當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價(jià)格之比時(shí)效用函數(shù)最大. 21,xuxu 邊際效用邊際效用商品商品數(shù)量數(shù)量 增加一個(gè)單位時(shí)效用的增量增加一個(gè)單位時(shí)效用的增量 0,)(. 1121xxu效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式,212211ppxpxp 購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比成正比, 比例系數(shù)是參數(shù)比例系數(shù)是參數(shù)與與之比的平方根之比的平方根. u(x1,x2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別度量甲乙兩種商品對(duì)消費(fèi)分別度量甲乙兩種商品對(duì)消費(fèi)者的效用，或者消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)

26、者的效用，或者消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài) .2121ppxuxu1,0,. 221xxu0,)(. 3221baxbxau2211xpxp 購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比只取決于只取決于, 與價(jià)格無(wú)關(guān)與價(jià)格無(wú)關(guān). u(x1,x2)中中 , 分別分別度量?jī)煞N商品的效用或者度量?jī)煞N商品的效用或者偏愛(ài)偏愛(ài).實(shí)際應(yīng)用時(shí)實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)對(duì)最優(yōu)解的分析，決定采用根據(jù)對(duì)最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù)哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù).2121ppxuxu效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式效用最大化模型應(yīng)用舉例效用最大化模型應(yīng)用舉例 例例1 1

27、征銷(xiāo)售稅還是征收入稅征銷(xiāo)售稅還是征收入稅 政府從消費(fèi)者身上征稅的兩種辦法政府從消費(fèi)者身上征稅的兩種辦法: 銷(xiāo)售稅銷(xiāo)售稅 根據(jù)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)若干種商品時(shí)花的錢(qián)征稅根據(jù)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)若干種商品時(shí)花的錢(qián)征稅 收入稅收入稅 根據(jù)消費(fèi)者的收入征收所得稅根據(jù)消費(fèi)者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)為征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)為p1, p2，消費(fèi)者準(zhǔn)備花，消費(fèi)者準(zhǔn)備花的錢(qián)為的錢(qián)為y, 等效用線為等效用線為u (x1, x2)=c，消費(fèi)點(diǎn)為，消費(fèi)點(diǎn)為Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,

28、x2) =cOx2x1l 例例1 1 征銷(xiāo)售稅還是征收入稅征銷(xiāo)售稅還是征收入稅 對(duì)甲商品征對(duì)甲商品征銷(xiāo)售稅銷(xiāo)售稅, 稅率為稅率為p0 征稅前的消費(fèi)點(diǎn)征稅前的消費(fèi)點(diǎn)Q yxpxpp22101)( 消費(fèi)線消費(fèi)線AB1, B1在在B的左邊的左邊 AB1與與l1相切于相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征若改為征 收入稅收入稅 政府得到的銷(xiāo)售稅額政府得到的銷(xiāo)售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷(xiāo)售稅額征收的稅額與銷(xiāo)售稅額 p0 x1*相同相同 *102211xpyxpxp 消費(fèi)線消費(fèi)線A2B2與與l2相切于相切于Q2, 可證可證B2在在B1的右邊的右邊. l2在在l1上上？l2在在l1下？下？ 如果如

29、果l2在在l1上方，上方，Q2的效用函數(shù)值將大于的效用函數(shù)值將大于Q1, 對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)征收入稅比征銷(xiāo)售稅好對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)征收入稅比征銷(xiāo)售稅好. 例例2 價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者政府為鼓勵(lì)商品的生產(chǎn)或者減少消費(fèi)者的負(fù)擔(dān)所采取政府為鼓勵(lì)商品的生產(chǎn)或者減少消費(fèi)者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價(jià)格補(bǔ)貼辦法：的兩種價(jià)格補(bǔ)貼辦法： 把補(bǔ)貼款直接給生產(chǎn)者把補(bǔ)貼款直接給生產(chǎn)者 把補(bǔ)貼款發(fā)給消費(fèi)者而讓商品漲價(jià)把補(bǔ)貼款發(fā)給消費(fèi)者而讓商品漲價(jià) 鼓勵(lì)商品生產(chǎn)鼓勵(lì)商品生產(chǎn),對(duì)消費(fèi)者無(wú)影響對(duì)消費(fèi)者無(wú)影響 讓甲商品價(jià)格漲到讓甲商品價(jià)格漲到p1+p0, 補(bǔ)貼消費(fèi)者多花的錢(qián)補(bǔ)貼消費(fèi)者多花的錢(qián) p0 x1*,使仍達(dá)

30、到消費(fèi)點(diǎn)使仍達(dá)到消費(fèi)點(diǎn)Q *0221011)(xpyxpxpplQABu (x1, x2) =cOx1x2*2x*1xlQABx1x2補(bǔ)貼補(bǔ)貼前的消費(fèi)點(diǎn)前的消費(fèi)點(diǎn)Q BA消費(fèi)線消費(fèi)線 過(guò)過(guò)Q, 與與l相切于相切于Q 的效用函數(shù)值大于的效用函數(shù)值大于Q),(21xxQx1 x2* 對(duì)消費(fèi)者更有利對(duì)消費(fèi)者更有利 對(duì)甲商品生產(chǎn)不利對(duì)甲商品生產(chǎn)不利3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策背景背景根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的又一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的又一條最優(yōu)化原理“生產(chǎn)者生產(chǎn)者追求最大利潤(rùn)追求最大利潤(rùn)” ，用數(shù)學(xué)建模的方法，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助生幫助生產(chǎn)者或供銷(xiāo)商做出決策產(chǎn)者或供銷(xiāo)商做出決策.生產(chǎn)者或供銷(xiāo)商根據(jù)產(chǎn)品的成本和

31、產(chǎn)值決定投入，生產(chǎn)者或供銷(xiāo)商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷(xiāo)售情況制訂價(jià)格按照商品的銷(xiāo)售情況制訂價(jià)格. 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中“消費(fèi)者追求最大效用消費(fèi)者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？生產(chǎn)者呢？最大利潤(rùn)模型最大利潤(rùn)模型 x產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量f (x) 邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值 x變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)值的改變量變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)值的改變量 c(x) 邊際成本邊際成本 x變化一個(gè)單位時(shí)成本的改變量變化一個(gè)單位時(shí)成本的改變量最大利潤(rùn)在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時(shí)達(dá)到最大利潤(rùn)在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時(shí)達(dá)到. . 假定產(chǎn)品可以全部銷(xiāo)售出去變成收入假定產(chǎn)品可以全部銷(xiāo)售出去變成收入 f(x) 產(chǎn)值產(chǎn)值(收入收入), c(x)

32、 成本成本 )()()(xcxfxr利潤(rùn)利潤(rùn) 達(dá)到最大利潤(rùn)的達(dá)到最大利潤(rùn)的產(chǎn)產(chǎn)量量 x*)()(*xcxf0)(* xr在產(chǎn)品可以全部銷(xiāo)售出去的條件下確定商品價(jià)格，在產(chǎn)品可以全部銷(xiāo)售出去的條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大使利潤(rùn)最大. 產(chǎn)量產(chǎn)量x等于銷(xiāo)量，數(shù)量無(wú)限制等于銷(xiāo)量，數(shù)量無(wú)限制. 收入與收入與x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格. 成本成本與與 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) c 即即邊際成本邊際成本. 銷(xiāo)量銷(xiāo)量x 依于價(jià)格依于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù).簡(jiǎn)化假設(shè)簡(jiǎn)化假設(shè)0,)(babpapx求求p使使 r(p) 最大最大最優(yōu)定價(jià)模型最優(yōu)定價(jià)模型 利潤(rùn)利潤(rùn))()(bpac

33、pcxpxprc / 2 成本的一半成本的一半b 彈性系數(shù)彈性系數(shù)價(jià)格上升價(jià)格上升1單位時(shí)銷(xiāo)量的下降幅度單位時(shí)銷(xiāo)量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求)b p* a p* a, b可可由由p和和x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作擬合得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作擬合得到 利潤(rùn)達(dá)到最大的定價(jià)利潤(rùn)達(dá)到最大的定價(jià)利潤(rùn)利潤(rùn))()(bpacppr最優(yōu)定價(jià)模型最優(yōu)定價(jià)模型 d0drpbpapx)(bacp22*ddxbp 投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1, c2 甲乙產(chǎn)品的單位成本甲乙產(chǎn)品的單位成本s

34、總投資費(fèi)用總投資費(fèi)用f (x1, x2) 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函數(shù) sxcxc2211在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2) = vx1O1l2l3lv增加增加等產(chǎn)值線等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)單調(diào)減、下凸、互不相交減、下凸、互不相交.幾何分析幾何分析 投資線投資線AB必與一條等必與一條等產(chǎn)值產(chǎn)值線相切于線相切于Q點(diǎn)點(diǎn).與效用最大化模型類(lèi)似與效用最大化模型類(lèi)似下凸下凸稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高 投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型 21,2,12121ccxfxfxxx

35、x最優(yōu)解最優(yōu)解(x1, x2)滿足滿足 sxcxc2211在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值用拉格朗日乘子法求條件極值21,xfxf邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價(jià)格之比時(shí)，產(chǎn)值達(dá)到最大價(jià)格之比時(shí)，產(chǎn)值達(dá)到最大. . 產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對(duì)偶關(guān)系產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對(duì)偶關(guān)系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) )(max),(scxxfcsg投資費(fèi)用一定的產(chǎn)值最大模型投資費(fèi)用一定的產(chǎn)值最大模型 g(s,c)給定的單位成本給定的單位成本c下費(fèi)用不超過(guò)下費(fèi)用

36、不超過(guò)s的最大產(chǎn)值的最大產(chǎn)值. 產(chǎn)值一定的投資費(fèi)用最小模型產(chǎn)值一定的投資費(fèi)用最小模型 )(min),(vxfcxcvss(v,c)給定的單位成本給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于下產(chǎn)值不低于v的最小費(fèi)用的最小費(fèi)用. 對(duì)偶極值問(wèn)題對(duì)偶極值問(wèn)題 只要解決其中之一只要解決其中之一, 另一個(gè)就迎刃而解另一個(gè)就迎刃而解 成本函數(shù)是簡(jiǎn)單的線性函數(shù)成本函數(shù)是簡(jiǎn)單的線性函數(shù) c(x). 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中常常難以確定在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中常常難以確定. 從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小對(duì)偶關(guān)系的應(yīng)用產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小對(duì)偶關(guān)系的應(yīng)用 Qf (x) vlA

37、BOx1x2 給定給定v和和c求得最小費(fèi)用求得最小費(fèi)用s(v,c)=s )(min),(vxfcxcvs 畫(huà)出直線畫(huà)出直線AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點(diǎn)在的點(diǎn)在AB上方上方, 且且AB上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)Q位于位于l: f (x)=v上上 改變改變c重復(fù)上述過(guò)程重復(fù)上述過(guò)程, 得到得到一系列不同斜率的直線一系列不同斜率的直線 區(qū)域區(qū)域f (x)v在直線上方在直線上方, 其邊界是等產(chǎn)值線其邊界是等產(chǎn)值線l: f (x)=v 包包絡(luò)絡(luò)線線 改變改變v重復(fù)上述過(guò)程重復(fù)上述過(guò)程, 得到一系列等產(chǎn)值線得到一系列等產(chǎn)值線 3.6 血血 管管 分分 支支背背景

38、景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng).給血管壁以營(yíng)養(yǎng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng).克服血液流動(dòng)的阻力克服血液流動(dòng)的阻力.消耗能量與取決于血管的幾何形狀消耗能量與取決于血管的幾何形狀.在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則達(dá)到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度.問(wèn)問(wèn)題題模型假設(shè)模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱(chēng)地處于同一平面一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱(chēng)地處于同一平面.血液流動(dòng)近似于黏性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液流動(dòng)近似于黏

39、性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng).血液給血管壁的能量隨血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚的增加而增加，管壁厚度度d近似與血管半徑近似與血管半徑r成正成正比比.qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC與與CB, CB 黏性流體在剛黏性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)性管道中運(yùn)動(dòng)48rpql pA,C壓力差，壓力差， 黏性系數(shù)黏性系數(shù)克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 2148 q lEq pr提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量E2 21,2lbrE管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l,管壁厚度管

40、壁厚度d與與r成正比成正比模型假設(shè)模型假設(shè)qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218rlqpqE克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE1tan ,sinlLH/ lH/24124111( ,)(/)(tan)2sinE r rkqrbrLH/(kq /rbr) H/機(jī)體為血流提供能量機(jī)體為血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE4114rr0E442cos214937,32. 1/26. 1

41、1rr24124111( , , )(/)(/tan )(/)2/sinE r rkqrbrLHkqrbrH0/40/4512115211rkqrbrkqrb412cosrr模型模型解釋解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動(dòng)脈半徑大動(dòng)脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21493732. 1/26. 11rr觀察：狗的血管觀察：狗的血管)4(5n3025n血管總條數(shù)血管總條數(shù)97302510103222n推論推論n=？3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)

42、輸背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米的成本為每立方米0.1英鎊英鎊. 專(zhuān)家建議從專(zhuān)家建議從9600km遠(yuǎn)的南極用拖船遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水運(yùn)送冰山，取代淡化海水. 從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行詮慕?jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備1. 日租金和最大運(yùn)量日租金和最大運(yùn)量船船 型型小小 中中 大大日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運(yùn)量（最大運(yùn)量（m3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/km）3. 融化速率（融化速率（m/天）天）與南極距離與南極距離 (km)船速船速(km/h)

43、0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(m3)船速船速(km/h) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立方選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較.模型模型假設(shè)假設(shè) 航行過(guò)程中船速不變，總距離航行過(guò)程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同. 到

44、達(dá)目的地后到達(dá)目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水.建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運(yùn)輸過(guò)程運(yùn)輸過(guò)程融化規(guī)律融化規(guī)律總費(fèi)用總費(fèi)用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u(mài) (km

45、/h)與南極距離與南極距離d(km)融化速率融化速率r(m/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)的線性函數(shù)d4000時(shí)時(shí)u與與d無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時(shí)半徑天時(shí)半徑冰山初始體積冰山初始體積30043VR343ttVRt天時(shí)體積天時(shí)體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)31030134( , )()34tkkVV u Vtr選定選定u,V0, 航行航行t天時(shí)冰山體積天時(shí)冰山體積31030134( ,)()

46、34TttVV u Vr到達(dá)目的地到達(dá)目的地時(shí)冰山體積時(shí)冰山體積uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc),()lg(24),(30210ctVuVcucutVuq),)(lg(3211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英鎊英鎊/km)q1對(duì)對(duì)u線性線性, 對(duì)對(duì)lgV 線性線性選定選定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英鎊英鎊/天天)燃料消耗總費(fèi)用燃料消耗總費(fèi)用TttVuqVuQ100),(),(1)43(34lg)6(2.731310tkkrVuu V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運(yùn)送每立方米水費(fèi)用運(yùn)送每立方米水費(fèi)用 冰山初始體積冰山初始體積V0的日的日租金租金 f(V0)（英鎊）（英鎊）uT400航行天數(shù)航行天數(shù)總?cè)剂舷馁M(fèi)用總?cè)剂舷馁M(fèi)用拖船租金費(fèi)用拖船租金費(fèi)用uVfVuR400)(),(00冰山運(yùn)輸總費(fèi)用冰山運(yùn)輸總費(fèi)用),(),(),(000VuQVuRVuS1)43(34lg)6(2 . 7),(3131010tkkTtrVuuVuQ冰山到達(dá)目的地冰山到達(dá)目的地后得到的水體積后得到的水體積),(85. 0),(