閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、二、介值定理二、介值定理一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章函數(shù)與極限定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對對于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y一、最大值和最小值定理一、最

2、大值和最小值定理定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定能取到最大值和最小值的函數(shù)一定能取到最大值和最小值. .ab2 1 xyo( )yf x ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若留意留意:1.:1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, , 定理不一定定理不一定成立成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函

3、數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .二、介值定理二、介值定理定義定義: :000()0,( ).xf xxf x 如如果果使使則則稱稱為為數(shù)數(shù)的的零零點點函函( )( , ).f xa b 0 0即即方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根此定理又稱為根的存在性定理此定理又稱為根的存在性定理ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)( xfy 幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設設,)

4、(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(少少有有一一個個交交點點至至與與水水平平直直線線連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間之間的任何值的任何值. .Mm例例1 ,),()(上上連連續(xù)續(xù)在在設設 xf,)(limAxfx 且且上有界。上有界。在在則則),()( xf,)(limAxfx 證證有有對對即即NxN ,0,0,1)()(

5、)(AAAxfAAxfxf ,|)(| Axf,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在 xf,)(上上連連續(xù)續(xù)在在NNxf ,)(| )(|011NxMxfM 使使證證畢畢則則取取.| )(|, |1max1MxfMAM 1 取取例例2 2.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令, 1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xx ,4,0)(上上連連續(xù)

6、續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間xf13 xex至少有一個不超過至少有一個不超過 4 4 的的 證：證：證明證明令令1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e003 e根據(jù)零點定理根據(jù)零點定理 , , )4,0( ,0)( f使使原命題得證原命題得證 . .)4,0(內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間在開區(qū)間顯然顯然正根正根. .例例3 3sin(,)xmxnmn 0 00 0例例4 驗證方程驗證方程至少有一個正根不大于至少有一個正根不大于證證 設設. nm ( )sinf xxmxn ,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在nmxf ,0) 0( nf, 0)sin(1 ()( nmmnmf;0)

7、(nmnmf 時時，則則當當;0)()0(0)( nmffnmf時時，當當由零點定理，至少由零點定理，至少0)(), 0( fnm使使. 0)(, 0( fnm使使故故至至少少存存在在例例5 設設( ) ,f xab在在上上連連續(xù)續(xù),0)( xf且且上上恒恒正正（或或恒恒負負）。在在則則,)(baxf 證證 假設假設上上不不恒恒為為正正，在在,)(baxf則至少則至少,0)(,00 xfbax使使,0)(,11 xfbax使使,10 xx 設設, ,10baxx ,)(10上上連連續(xù)續(xù)在在xxxf;0)()(10 xfxf則至少則至少,0)(,),(10 fbaxx使使與已知矛盾，故與已知矛盾

8、，故上上恒恒正正。在在,)(baxf例例6 6.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即解題思路：解題思路：輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),F(x),再利用零點定理再利用零點定理; ;小結(jié)小結(jié)四個定理：四個定理：有界性定理有界性定理; ;最值定理最值定理; ;介值定理介值定理; ;根的存在性定理根的存在性定理. .注意條件注意條件1 1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2 2連續(xù)函數(shù)這兩點連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足，上述定理不一定成立不滿足，上述定理不一定成立難點：做輔助函數(shù)難點：做輔助函數(shù), ,再利用零點定理證明等式再利用零點定理證明等式重點：最值定理重點：最值定理; ;介值定理介值定理; ;根的存在性定理根的存在性定理思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在