高等數(shù)學D5_3定積分的換元法與分部積分法ppt課件

1、二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(根本思緒根本思緒 設, )()(ufuF)(xu可導,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(那么有一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設函數(shù)設函數(shù), ,)(baCxf函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)(

2、)(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個原函數(shù)是設xfxF是的原函數(shù) , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么闡明闡明: :1) 當 , 即區(qū)間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需留意換元必換限 , 原函數(shù)中的變量不用代回 .3) 換元公式也可反過來運用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 計算計算).0(d022axxaa解

3、解: 令令,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx時當.,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且例例2. 計算計算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0時當x,4時x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例3., ,)(aaCxf設證證:(1) 假設, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 假設, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad

4、)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例4. 設設 f (x) 是延續(xù)的周期函數(shù)是延續(xù)的周期函數(shù), 周期為周期為T, 證明：證明：xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解: (1) 記記01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0無關，與可見aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此計算那么即xxfxxfTTaad)(d)(0(2)xxfnTaad)(xxfTkTakTank

5、d)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此計算,) 1 (akTa中的看作將)(d)(0NnxxfnT為是以x2sin1周期的周期函數(shù)xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0那么有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0 xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0二、定積分的分部積分法二、定積分的分部

6、積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu設那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu設那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba例例5. 計算計算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210

7、 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x0211223120dcosttn20dcosxxn例例6. 證明證明20dsinxxInn證證: 令令20dcosxxn,22143231nnnnn 為偶數(shù),3254231nnnnn 為奇數(shù),2xt那么20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 那么,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn02022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1(

8、由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結論成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254內容小結內容小結 根本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限思索與練習思索與練習1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 設設,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,

9、3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 對知等式兩邊求導,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31得3. 設設, 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)1. 證明證明 證：證：2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 為周期的周期函數(shù).證：證：2.右端,)(上有連續(xù)的二階導數(shù)在設baxf)(af且試證 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)