高等數(shù)學(xué)第二章 導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、2/2/20221第二章 導(dǎo)數(shù)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)運算第四節(jié) 微分2/2/20222引例：切線及其斜率設(shè)曲線)(xfy 的圖形如圖所示，點),(000yxM是曲線的一個定點， 在曲線上另取一動點),(00yyxxM，作割線MM0，當(dāng)點M沿曲 線趨向0M時，割線MM0趨向于極限位置TM0，直線TM0就是曲線 在0M點處的切線. 2/2/20223設(shè)割線MM0的傾角為，切線TM0的傾角為，則MM0的斜率為 xxfxxfxy)()(tan00 xxfxxfxyxxx)()(limlimtanlimtan00000當(dāng)0 x時，割線的斜率tan無限接近于切線的斜

2、率，所以切線的斜率為 引例：切線及其斜率2/2/20224設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點0 x處取得 改變量x時，函數(shù))(xf取得相應(yīng)的改變量）00()(xfxxfy，如果 極限xyx0lim存在，則稱這個極限值為)(xf在點0 x處的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的定義記作 或 或 )( 0 xf0 xxy0 xxdxdyxxfxxfxyxfxx)()(limlim)( 000002/2/20225如果xyx0lim和xyx0lim存在，則分別稱此兩極限為)(xf在點0 x處的 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)，記為)(0 xf和)( 0 xf。 函數(shù))(xfy 在點0 x處可導(dǎo)的

3、充要條件是函數(shù))(xfy 該點處的 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)均存在且相等 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2/2/20226第二章 導(dǎo)數(shù)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)運算第四節(jié) 微分2/2/20227求導(dǎo)數(shù)的基本步驟yxyxyx0lim2/2/20228示 例nnxxxy)(nnnnnnnnnnxxCxxCxxCxC)()(222110求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù))()(NnxxfnnnnnnxxxCxxC)()(222112/2/20229xy12211)()(nnnnnxxxCxCxyx0lim111nnnnxxC示 例2/2/202210示 例xxxysinsin2cos2sin2xxx求函數(shù) 的

4、導(dǎo)數(shù)xxfsin)(xy2cos22sinxxxxxyx0limxcos2/2/202211可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù))(xf在0 x處可導(dǎo)，則它在0 x處一定連續(xù) 如果函數(shù))(xf在0 x處連續(xù)，則函數(shù))(xf在0 x處未必可導(dǎo). 2/2/202212示 例1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxx1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxx設(shè) ，問 在 處是否可導(dǎo)？xxf)()(xf0 x2/2/202213xxfxxfxx)(lim)(lim00不存在xxfx)(lim0示 例2/2/202214示 例xxxxfxx330000lim)(lim處不可導(dǎo)在0)(xx

5、f設(shè) ，問 在 處是否可導(dǎo)？3)(xxf)(xf0 x3201limxx2/2/202215導(dǎo)數(shù)的基本公式2/2/202216導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)函數(shù))(xuu 和)(xvv 在x處可導(dǎo)，則有 法則一 法則二 法則三 )(vuvu)(uvvuuv)0()(2vvuvvuvu2/2/202217示 例)(sin)()( 3xxxf求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).xxxfsin)(3xxxxcos3cos32132/2/202218示 例 2)1 (1111)(xxxxxxf求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).xxxf11)( 2)1 (11xxx2)1 (2x2/2/202219示 例求過點 且與曲線 相切的直線方程2, 0 A2

6、2 xy設(shè)切點為),(00yx，切線斜率為k 因切線過2, 0 點，所以切線寫為kxy2 曲線導(dǎo)數(shù)為 xy2， 所以 k02x （1） 2/2/202220)3(2)2(220000 xykxy因切點即在切線上又在曲線上，所以解1）（2）（3得 024024yxyx或4k切線方程為示 例2/2/202221第二章 導(dǎo)數(shù)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)運算第四節(jié) 微分2/2/202222復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù))(),(xuufy均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù))(xf也可導(dǎo)，且 dxdududydxdyxuxuyy或2/2/202223示 例)ln(coslncosxeyx求函

7、數(shù) 的導(dǎo)數(shù)xeylncos)(ln)lnsin(lncosxxexxxex1)lnsin(lncosxexxlncoslnsin2/2/202224示 例 xfxffy 222fffy 153524ff設(shè)函數(shù) xf在,上可導(dǎo)，且 54, 32, 42fff， 求函數(shù) xffy 在點2x處的導(dǎo)數(shù)。 2/2/202225反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在x處有不等于零的導(dǎo)數(shù))( xf，并且其反函數(shù) )(yx在相應(yīng)點處連續(xù)，則反函數(shù))(yx的導(dǎo)數(shù))( y存在，并且 )( 1)( xfy 或xyyx12/2/202226示 例) 11(arcsinxxy)22(sinyyx)(sin1)(arcsiny

8、xy證明： 的導(dǎo)數(shù)11)(arcsin2xx的反函數(shù)是)22(0cos)(sinyyyyy2sin11cos1211x2/2/202227示 例xay ) 1, 0(logaayxa)(log1)(yayax證明： 的導(dǎo)數(shù)) 1, 0(ln)(aaaaaxx的反函數(shù)是1, 00ln1)(logaaayyaaaayxlnln2/2/202228隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法 求隱函數(shù)0),(yxF的導(dǎo)數(shù)，一般是將方程兩端同時對自變量x求導(dǎo)數(shù)， 遇到y(tǒng)就把它看成x的函數(shù)，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)。最后從所得的 關(guān)系式中求出 y，就得到所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 2/2/202229示 例xyy22即求 所確

9、定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) 1, 0(ln)(aaaaaxx022yyxyxy x將等式兩邊對 求導(dǎo)，得2/2/202230取對數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于形如)()(xgxfy 的冪指函數(shù)，在求導(dǎo)數(shù)時，可以在方程的兩端 取對數(shù)，然后再按隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) 2/2/202231示 例)41312111(211xxxxyy求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù))4)(3()2)(1(xxxxy)4ln()3ln()2ln() 1ln(21lnxxxxy)41312111(21xxxxyy方程的兩端取對數(shù)，得 x將等式兩邊對 求導(dǎo)，得2/2/202232由參數(shù)方程決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令參數(shù)方程為 ，求導(dǎo)方法如下： )()(tyytxx設(shè)

10、)1xxt（為)(txx 的反函數(shù)，并滿足反函數(shù)的求導(dǎo)條件，于是 參數(shù)方程可分解為)(),(1xxttyy的復(fù)合函數(shù)，利用反函數(shù)和復(fù)合函 數(shù)的求導(dǎo)法則，得 ttxtxxytyy ttxydxdy2/2/202233示 例ttcos1sin求參數(shù)方程 的導(dǎo)數(shù))cos1 ()sin(tayttax)sin()cos1 (ttataxydxdytt2/2/202234示 例26tdxdytttttdxdysin4cos22sin)(sin)2(cos求曲線在 在 處的切線方程及法線方程)cos1 ()sin(tayttax6t所以切線方程為 21221xy法線方程為 212121xy2/2/2022

11、35高階導(dǎo)數(shù)函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))( xf一般也是x的函數(shù)，對)( xf的再求導(dǎo)數(shù)， 稱為)(xf的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記作yxf ),(或22dxyd 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù) 求高階導(dǎo)數(shù)只要反復(fù)應(yīng)用求一階導(dǎo)數(shù)的方法即可 2/2/202236示 例xex32312xexy32334知 ，求xexy334 , yyy xexy32324 xey33324 2/2/202237示 例2) 1( nxnny1nnxy求 的 階導(dǎo)數(shù)nxy n3)2)(1( nxnnny12)2)(1()(nnnyn! n2/2/202238第二章 導(dǎo)數(shù)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則第三節(jié)

12、 導(dǎo)數(shù)運算第四節(jié) 微分2/2/202239引例面積改變量的近似值 22)(xxxA設(shè)正方形的面積為A，當(dāng)邊長由x變到xx時,面積A 有相應(yīng)的改變量A 2)(2xxx當(dāng)x很小時， xxA2xxA2)(2xAA2/2/202240引例路程改變量的近似值 222121gtttgs221tgtgttgtsgtgts)21(2tss自由落體的路程s與時間t的關(guān)系是221gts ,當(dāng)時間從t 變到tt時,路程s有相應(yīng)的改變量s 當(dāng)t很小時， 2/2/202241微分的概念如果函數(shù))(xfy 在x處具有導(dǎo)數(shù))( xf，則稱xxf)( 為函數(shù) )(xfy 在x處的微分，記作dy或)(xdf，即 xxfdy，此

13、時稱 函數(shù))(xf在x處可微。 2/2/202242微分的幾何意義設(shè)函數(shù))(xfy 的圖像如圖所示，),(yxM為曲線上的定點，過點M 作曲線的切線MT，其傾角為，當(dāng)自變量在點x處取得改變量x時，就 得到曲線上的另一點),(1yyxxM，從圖可知 1NMy NTMNxxfdytan)( 由此可見函數(shù))(xfy 的微分的幾何意義就是 曲線)(xfy 在M點處切線之縱坐標(biāo)的改變量。 2/2/202243微分基本公式2/2/202244微分運算法則2/2/202245示 例1 . 0, 1xxdyxxxydy2求函數(shù) 當(dāng) 時的微分2xy 1 . 0, 1xx2 . 01 . 0122/2/20224

14、6示 例dxxx2ln12ln)(lnxxdxxxddy求函數(shù) 的微分xxyln2ln1xxdxdxxx2/2/202247微分形式的不變性把復(fù)合函數(shù))(xfy分解為)(),(xuufy。則 duufxdufdxxufdxydyx)( )()( )( )( duufdy)( 無論u是自變量還是中間變量，)(ufy 的微分dy總可以寫成 duufdy)( 的形式，這一性質(zhì)稱為微分形式不變性 2/2/202248示 例xdxxdxxcotcossin1，xusin設(shè)求函數(shù) 的微分xysinln)(sinsin11)(lnxdxduuuddy2/2/202249示 例dxxxx2211sindxxd

15、y21cos求函數(shù) 的微分21cosxydxxxx21211sin222/2/202250微分的應(yīng)用計算函數(shù)的近似值 先找到合適的函數(shù) xf，再選取0 x、x，然后帶入式 xxfxfxxf)( )()(0002/2/202251示 例得取02. 0, 10 xx,)(4xxf設(shè)求 的近似值402. 1xxxxx430404041則005. 102. 0141102. 0102. 14442/2/202252示 例得取0017. 0, 5 . 00 xxxxfarcsin)(設(shè)求 的近似值4983. 0arcsinxxxxx200011arcsinarcsin則0017. 05 . 0115 . 0arcsin0017. 05 . 0arcsin4983. 0arcsin2089.295216. 0)0017. 0(33262/2/202253微分的應(yīng)用估計誤差 設(shè)量x可以直接度量，而依賴于x的量y由函數(shù))(xfy 確定，若x的度量 誤差為x，則y