八年級上冊數(shù)學全等三角形證明輔助線分析實例及復習題答案

1、初二數(shù)學第十一章全等三角形綜合復習切記：“有三個角對應相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等。例1. 如圖，四點共線，。求證：。思路：從結論入手，全等條件只有；由兩邊同時減去得到，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，可以證明，從而得到。證明，在與中(HL)，即在與中(SAS)思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結論。再對比“所需條件”和“得出結論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切?/p>

2、及其全等條件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路。例2. 如圖，在中，是ABC的平分線，垂足為。求證：。思路：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于，則構造了FBD，可以通過證明三角形全等來證明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。證明：延長交于在與中(ASA 又 。思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3. 如圖，在中，。為延長線上一點，點在上，連接和。求證：。思路：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉(zhuǎn)

3、到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。證明：，為延長線上一點在與中(SAS)。思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應邊和對應角。小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。例4. 如圖，/，/，求證：。思路：關于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。證明：連接/，/，在與中(ASA)。思考：連接四邊形的對角線，是構造全等三角形的常用方法。例5. 如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點。

4、求證：為的平分線。思路：要證明“為的平分線”，可以利用點到的距離相等來證明，故應過點向作垂線；另一方面，為了利用已知條件“分別是和的平分線”，也需要作出點到兩外角兩邊的距離。證明：過作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于為的平分線。思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6. 如圖，是的邊上的點，且，是的中線。求證：。思路：要證明“”，不妨構造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。證明：延長至點，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。思考：三角形中倍長中線，可以構

5、造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7. 如圖，在中，為上任意一點。求證：。原圖 法一圖 法二圖思路：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關系來證明。由于結論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構造線段。而構造可以采用“截長”和“補短”兩種方法。證明：法一：在上截取，連接在與中(SAS)在中，即ABAC>PBPC。法二：延長至，使，連接在與中(SAS)在中， 。思考：當已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將

6、一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結：本題組總結了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學習的深入還要繼續(xù)總結。我們不光要總結輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是( )A. 兩直角邊對應相等B. 一銳角對應相等C. 兩銳角對應相等D. 斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如圖，已知，增加下列條件：；。其中能使的條件有( )A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個4. 如圖，交于點，下列不正確的是( )A. B. C. 不全等于D. 是等腰三角形5. 如圖，已知，則等于( )A. B. C. D. 無法確定二、填空題：6. 如圖，在中，的平分線交于點，且，則點到的距離等于_；7. 如圖，已知，是上的兩點，且，若，則_；8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_；9. 如圖，在等腰中，平分交于，于，若，則的周長等于_；10. 如圖，點在同一條直線上，/，/，且，若，則_；三、解答題：11. 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數(shù)。12. 如圖，為上一點，交延長線于點。求