傅科擺的軌跡探究肖洪 2014141221087

1、傅科擺的軌跡探究肖洪 四川大學(xué)2014級物理學(xué)類力學(xué)研討第十二小組組員：李清揚 向榮濤 李凌宇 宋茜茜 高競 肖洪摘要傅科擺實驗是證明地球自轉(zhuǎn)的一個非常重要的實驗，傅科擺運動方程的求解很煩瑣，其運動軌道也非常復(fù)雜。本文首先對傅科擺的運動軌跡進(jìn)行了理論分析，然后利用MATLAB軟件對在不同初始條件下、以及處于不同緯度的傅科擺的運動軌跡進(jìn)行了模擬和分析，理論分析和計算機(jī)模擬得到相同的結(jié)論：傅科擺的運動軌跡的形狀與初始條件，與緯度無關(guān)；傅科擺的擺動平面的擺動速度由緯度決定，與初始條件無關(guān)。關(guān)鍵字傅科擺 理論分析 軌跡探究 matlab模擬1引言傅科擺實驗是證明地球自轉(zhuǎn)的一個非常重要的實驗。1851年

2、法國物理學(xué)家傅科在巴黎萬圣殿內(nèi)的拱頂上懸掛了一個擺長67m，擺錘質(zhì)量為28kg的單擺，該單擺擺動周期約為16 s，實驗發(fā)現(xiàn)該單擺平面繞豎直軸作順時針轉(zhuǎn)動(由上向下看)，轉(zhuǎn)動周期約為32 h，這就是著名的傅科擺實驗這個實驗無需依賴地球以外的物體，就能直觀地展示地球自轉(zhuǎn)的存在，因此它可以很好地說明地球的自轉(zhuǎn)本文對傅科擺的運動進(jìn)行了理論分析，然后利用MATLAB軟件對在各種初始條件下、以及處于不同緯度的傅科擺的運動軌跡進(jìn)行了模擬和分析。2 傅科擺的軌跡理論分析1 建立坐標(biāo)系如圖：懸點處為原點O， X軸向南（i向量） Y軸向東（j向量） Z軸為球半徑方向向外（k向量） 為地球角速度 為緯度2 列出動力

3、學(xué)方程：聯(lián)立（1）（2）（3)（4)得:得聯(lián)立解得微分方程：3 傅科擺軌跡的計算機(jī)模擬與分析3.1 程序的編寫 rk43.m（龍格庫塔算法：龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進(jìn)行抑制，所以其實現(xiàn)原理也較復(fù)雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學(xué)支持的基礎(chǔ)之上的。）function x=rk43(t,x,h) K1=flight3(t,x); K2=flight3(t+h/2,x+h/2*K1); K3=flight3(t+h/2,x+h/2*K2); K4=flight3(t+h,x+h*K3); x=x+h/6*(K1+2*K2+2

4、*K3+K4); ndy.mfunction ndy(x)h=0.1;%選擇步長t=200;%為運行時間可以改x=5,0,5,0;%給定的迭代數(shù)據(jù)初值n=fix(t/h);%對t/h取整% 主程序for i=1:nzhz3(:,i)=x;%將迭代值存入zhzx=rk43(h*i,x,h);%數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代endsave zhz3.txt -ascii zhz3;%將矩陣 zhz保存為zhz.txtplot(zhz3(1,:),zhz3(3,:),Linewidth,1)%畫曲線title(曲線,FontSize,15);ylim(100 100);xlabel(x/m,FontSize,15),

5、ylabel(y/m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,曲線.jpg);%figure(2)plot(0:h:(n-1)*h,zhz3(1,:),Linewidth,1)%x隨時間變化曲線title(x曲線,FontSize,15);xlabel(t/s,FontSize,15),ylabel(m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,x曲線.jpg);%figure(3)plot(0:h:(n-1)*h,zhz3(3,:),Linewidth,1)%y隨時間變化曲線title(y曲線,FontSize,15);xlabel(t/s,

6、FontSize,15),ylabel(m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,y曲線.jpg); flight3.m function Fl=flight3(,x) w=2*pi/100;%地球自轉(zhuǎn)角速度，可改變參數(shù)g=9.8;l=67; ld=40/57.3;Fl(1)=x(2);Fl(2)=2*w*sin(ld)*x(4)-(g/l)*x(1);Fl(3)=x(4); Fl(4)=-2*w*sin(ld)*x(2)-(g/l)*x(3); 將以上三個程序編寫成m文件，保存于同一目錄下，點擊運行即可的到t=200s內(nèi)的運行圖形，可更改不同參數(shù)得到不同情況下的圖

7、形。3.2 軌跡圖形分析 由于地球自轉(zhuǎn)角速度太小，不便于觀察，故以下模擬均將角速度放大為 2*/100. 探究一 相同緯度不同初始條件緯度40 參數(shù)5 1 0 0 緯度40 參數(shù)5 5 0 0 緯度40 參數(shù)5 0 0 0 緯度40 參數(shù)5 0 5 0緯度40 參數(shù)5 0 0 1 緯度40 參數(shù)5 0 0 9由圖可以看出：上圖為相同緯度不同初始條件下的軌跡。不同初始條件下，傅科擺的運動軌跡不同。所以，傅科擺的運動軌跡的形狀與初始條件有關(guān)。但各圖反映出不同初始條件，擺動平面的擺動速度（可由200s內(nèi)擺的周期基本不變，擺動幅度有變化看出）有變化，可見擺動平面的運動與初始條件無關(guān)。 探究二 相同初始

8、條件，不同緯度緯度0 參數(shù)5 5 0 0 緯度10 參數(shù)5 5 0 0緯度20參數(shù)5 5 0 0 緯度30參數(shù)5 5 0 0緯度40參數(shù)5 5 0 0 緯度50參數(shù)5 5 0 0緯度60參數(shù)5 5 0 0 緯度70參數(shù)5 5 0 0緯度80參數(shù)5 5 0 0 緯度90參數(shù)5 5 0 0由圖可以看出：相同初始條件、不同緯度傅科擺的運動軌跡是相同的，所以傅科擺的運動軌跡的形狀與緯度無關(guān)。 三 探究地球自轉(zhuǎn)角速度對軌跡的影響=0.0000729（為地球自轉(zhuǎn)角速度）=0.000729=0.00729 =0.0729=0，729 =7.29對上圖分析知地球自轉(zhuǎn)角速度影響傅科擺的軌跡4 分析得出結(jié)論由以上圖形分析知，傅科擺的軌跡受地球自轉(zhuǎn)角速度影響最大，地球自轉(zhuǎn)角速度越大，軌跡的偏轉(zhuǎn)幅度越大，而初始條件，緯度等對軌跡偏轉(zhuǎn)幅度影響不大。另：為了驗證推導(dǎo)與模擬的正確性，由于實驗室傅科擺周期較長，不便于觀察，故以matlab模擬圖形與巴黎傅科擺擬合，與巴黎傅科擺參數(shù)相印證。在巴黎地理位置北緯48度52分處，擺在200s內(nèi)轉(zhuǎn)動約12個周期，Y方向偏轉(zhuǎn)約0.01m（r=1m），則一個大周期可偏轉(zhuǎn)2/0.01=628個200s，用時200*628/3600=34.8889h，與