解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

1、3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例例1 自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu).設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度（如圖所示）.已知車箱最大仰角為60(指車廂AC與水平線夾角),油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1.95m,AB與水平線之間的夾角為620，AC長為1.40m,計(jì)算BC的長度(結(jié)果精確到0.01m).0600260.,0266,40. 1,95. 10求第三邊的長夾角的兩邊已知AACABABCm95. 1m40. 1分析解：由余弦定理，得BC2=3.571 BC1.89(m) 答：頂桿BC約長1.89mAB2+AC2-2ABACcosA0266cos40. 195. 1240. 19

2、5. 10220600260m95. 1m40. 1例2.如圖，兩點(diǎn)C，D與煙囪底部在同一水平直線上,在點(diǎn)C1，D1利用高1.5m的測角儀器, 測得煙囪的仰角分別是 450和 600, 間的距離是12m.求煙囪的高AB (結(jié)果精確到0.01m). DCBA A1C1D1B1AA1C1DDC45601.5m12mBA1求m12.1145601.5m12m解 在BC1D1中, BD1C1=180O -60O=120O, C1BD1=60O -45O=15O,由正弦定理,得1111111sinsinC DBCC BDBDC1111111sin12sin120sinsin15C DBDCBCC BD(

3、18 26)( )m從而11218319.732( )2ABBCm因此1119.732 1.521.23( )ABABAAm例3：如圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖,當(dāng)曲柄CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí),通過連桿AB的傳遞,活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí),曲柄和連桿成一條直線,連桿的端點(diǎn)A在A處.設(shè)連桿AB長為l mm,曲柄CB長為r mm,lr.(1)當(dāng)曲柄自CB0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角為時(shí),其中0O360O,求活塞移動(dòng)的距離(即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A);(2)當(dāng)l =340mm, r =85mm,=80O時(shí),求A0A的長(結(jié)果精確到1mm). 分析分析 如圖,不難得到,活塞移動(dòng)的距離為: A0A=A

4、0C-AC,易知A0C=AB+BC=l+ r,所以,只要求出AC的長即可.在ABC中,已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,可以通過正弦定理或余弦定理求出AC的長.A0AB0CB80O解解.(1)設(shè)AC=x,若=0O,則A0A =2rmm;若0O180O,在ABC中，由余弦定理,得2222cosABACBCACBCC即2222( cos )()0 xrxlr解得2221cos( cos )xrrlr222( cossin)()rlrmm2222cos( cos )0(,)xrrlr不合題意 舍去00A AA CACABBCAC222(cossin)()lrrlrmm 若180O360O,則根據(jù)對(duì)稱性,將上

5、式中的改成360O-即可,也有2220(cossin)()A Alrrlrmm (2)當(dāng)l =340mm, r =85mm,=80O時(shí),22203408585cos8034085 sin 80A A81()mm例4 如圖,a是海面上一條南北方向的海防警戒線,在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B,C分別在A的正東方20km處和54km處.某時(shí)刻,監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波,8s后監(jiān)測點(diǎn)A,20s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào).在當(dāng)時(shí)氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1.5km/h.(1)設(shè)A到P的距離為xkm,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的

6、距離(結(jié)果精確到0.01km). 4 2dm,17dm,45 .ABADBAC分析分析 (1)PA,PB,PC長度之間的關(guān)系可以通過收到信號(hào)的先后時(shí)間建立起來.(2)作PDa,垂足為D,要求PD的長,只需要求出PA的長和cosAPD,即cosPAB的值.由題意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分別在PAB和PAC中,求出cosPAB, cosPAC的表達(dá)式,建立方程即可.ABCDPa解解.(1)依題意,PA-PB=1.58=12(km), PC-PB=1.520=30(km). 因此PB=(x-12)km, PC=(18+x)km.在PAB中, AB=20km,222cos2PAAB

7、PBPABPA AB22220(12)220 xxx3325xx同理72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得132()7xkm(2)作PDa,垂足為D,在RtPDA中,coscosPDPAAPDPAPAB3325xxx132332717.71()5km1.我軍有A、B兩個(gè)小島相距10海里，敵軍在C島，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，為提高炮彈命中率，須計(jì)算B島和C島間的距離，請(qǐng)你算算看。A AC CB B1010海里海里60607575:60 ,75 ,45:10sin60sin4510sin605 6()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里2. 由船A測得它的南30東的海面上有一燈塔，船以每小時(shí)30海里的速度向正東南方向航行半小時(shí)后，于B處看到這燈塔正在船的正西方向，問這時(shí)船和燈塔相距多少海里？分析畫出示意圖如下：已知：AB、CAB、ACB，求BC？解：如圖，CAB453015ACB18060120，AB30sin 30=15sinsinABCABBCACB15 sin