兩個豎直上拋運動相遇問題的分析方法

1、兩個豎直上拋運動相遇問題的分析方法豎直上拋運動作為勻變速直線運動的一個特例，既可看成全過程的勻減速運動，又可 以分為上升過程的勻減速運動和下降過程的自由落體運動。對于兩個以不同的初速度在同 一直線上作豎直上拋運動的物體的相遇問題，其實質就是一個追趕問題，相遇的位置有可 能出現(xiàn)在上升階段或下降階段，她取決于兩個物體拋出時的初速度大小、兩個物體拋出點 的高度差及拋出的時間間隔，如何分析此類問題呢？下面筆者就以一道例題談一談她的一 些分析方法。例題：將小球A以初速度Va=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時間At后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點豎直向上拋出，為了使兩個小球能在空中相遇，

2、試分析At應滿足的條件。解析：由于是在同一點拋出且 Va>Vb,故相遇的位置一定是在 A球下降階段，B球 有可能是在下降或上升階段，其拋出的時間間隔就由這兩過程決定。方法一：利用空中的運動時間分析要使兩小球在空中相遇，應滿足的條件一定是介于某一范圍內(nèi)，因此，只要求出這當小球B拋出后處于上升階段時與 為小球A剛要落回拋出點的瞬間將小球個范圍的最大值和最小值就可以了。A球相遇，經(jīng)過的時間間隔較大，故At勺最大值B拋出。而小球 A在空中運動的時間為：2x4016-即At勺最大值為 Amax=8s。當小球B拋出后處于下降階段時與A球相遇，經(jīng)過的時間間隔較小，故啲最小值2x30為A、B兩小球同時落

3、地，先后拋出的時間間隔。而小球 B在空中運動的時間為：10則 At勺最小值為 A min=tA-tB=2s。故要使A、B兩小球在空中相遇， 應滿足的條件為 2sv 匕8s。方法二：利用位移公式分析A、B兩小球在空中相遇，不管其是在上升還是下降階段相遇，相遇時的位移必相等。 設小球B拋出后經(jīng)時間t與小球A相遇，則小球 A拋出后的運動時間為（t+ ）,由位移 公式可得1 了1 丁40（t+At）-g（t+At）a = 30t-gt22 2整理后可得，相遇時小球 B所經(jīng)過時間為：t （8 At） At_jj.i _（ 1）考慮到A、B小球在空中相遇，則 Ov t v 6s。（8 At） At由（1）

4、式可得： 二1 > 0（2）8 At） At二1 v 6（3）解（2）式得：1v t 8解（3）式得：>2,或6 （不合題意）綜合上述可得，要使 A、B兩小球在空中相遇， 應滿足的條件為 2sv Av 8s。 方法三：巧選參考系分析小球B經(jīng)再拋出后，以小球 A為參考系，小球 B作勻速直線運動，其相對速度為=30 ( 40 g A ) =g A t- 10則小球B與小球A相遇的時間為S = 40At-gAt3而此時小球A的位移為1 _1 3羅At _$_山）批V gAt-10 - 2At-2同樣，考慮到 A、B小球在空中相遇，則0 v tv 6s,亦可以得到上述的(2)( 3)兩式，

5、亦可求出要使 A、B兩小球在空中相遇,應滿足的條件為 2sv t 8s。方法四：利用圖象分析1 利用位移圖象分析由位移公式可得A、B兩小球的位移隨時間的關系為SA=40t 5t2SB=30t 5t2可見，它們的圖象均為拋物線，在位移-時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖1所示的圖線A和B。經(jīng)過不同時間 At后再拋出小球B，只要將圖線 B逐漸向右移動，要使 A、B 兩小球在空中相遇，必須使A、B兩圖線存在交點，交點的橫坐標為相遇時的時刻，縱坐標為相遇時的位移。由圖 1可知，當移動的時間間隔為 2s時，與圖線A開始有交點，如 圖1中的Bi位置；當移動的時間間隔為8s時，與圖線A開始沒有交點，如圖中

6、1的B3位置。由圖可知，當 2sv At 5s時，其相遇情況是 A、B兩球都處于下降階段，當 5sv At v 8s時，其相遇情況是 A球處于下降階段 B球處于上升階段。 因此可得A、B兩小球在空 中相遇，應滿足的條件為：2sv A v 8s。2 利用速度圖象分析由速度公式可得，A、B兩小球的速度隨時間的變化關系為:VtA=40 10t,VtB=30 - 10t在速度一時間圖象中分別作出它們的圖象，如圖 2所示的圖線A和B。要使A、B兩小球 在空中相遇，必須使小球 B拋出后，在小球 A落地之前，它的位移要大于零。而位移為速 度圖線與坐標軸所圍成的面積，由如圖 2可知，將B的速度圖線逐漸向右移動

7、，移動的時 間間隔在2s以內(nèi)，小球A的位移總是大于小球 B的位移，且小球 B總先于小球 A落地， A、B兩小球不可能相遇，當時間間隔等于2s時，如圖中Bi位置，兩球同時落地。繼續(xù)將B的速度圖線向右移動，在小球 A落地之前的時間內(nèi)，如圖中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移總是大于零，即說明了A、B兩小球在空中相遇了。由圖可知，當2s< A t 5s時，其相遇情況是 A、B兩球都處于下降階段，當 5s< At 8s時，其相遇情況是 A球處于 下降階段B球處于上升階段。故要使 A、B兩小球在空中相遇， 應滿足的條件為：2s< A < 8s。點評：由以上四種分析方法可以看出，采用圖象法簡單、直觀、易懂，對于A和B兩小球是在上升階段還是下降階段相遇非常清楚；方法一雖然也簡單，但不易弄懂，要分析 出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，若能結合圖象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出 A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段， 邏輯性很強，但要解不等式，相對來說要復雜一些。課堂練習將小球A以初速度Va=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時間 后，又以初速度 VB=30m/s 將小球B從同一點豎直向上