直線和圓的位置關(guān)系

1、直線和圓的位置關(guān)系引入情境木工師傅要在如圖24-2-11的三角形木板中裁出一個(gè)最大的圓形木板，請(qǐng)你幫他想出一個(gè)如何裁剪的方法.數(shù)學(xué)宮殿1. 直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離，如圖24-2-12 .圖 24-2-12當(dāng)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交；當(dāng)直線和圓有惟一公共點(diǎn) 時(shí)，叫做直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)；當(dāng)直線和 圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.如果的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d,那么(1) 直線I和相交二dvr;(2) 直線I和。0相切=d= r ；(3) 直線I和。0相離=d>r.提醒1.直線和圓的位置關(guān)系可類比

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系去理解.2. 直線和圓的位置關(guān)系如下表：直線和圓位置相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210 圓心到直線距離與半徑r的 關(guān)系dv rd= rd> r公共點(diǎn)名稱交占八、切點(diǎn)無(wú)直線名稱割線切線無(wú)【例1】已知Rt ABC的斜邊AB= 10 cm，AC= 6 cm，如圖24-2-13所示.(1) 以點(diǎn)C為圓心，當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí) AB與。0相切？(2) 以點(diǎn)C為圓心，分別以5 cm和4 cm的長(zhǎng)為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與AB分別有怎樣的位置關(guān)系？分析根據(jù)圓心到直線的距離dv r，直線與圓相交；d= r，直線與圓相切；d > r，直線與圓相離，確定d與r的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系.

3、解(1)過(guò)點(diǎn)C作CDL AB于D,如圖24-2-13所示，/ AC= 6 cm AB= 10 cm 由勾股定理得 BC= i AB AC2 f 10 6 =8( cm) 1 1'/ Saabc= 2 BC* AC= 2 AB- CD1 1即 2 x 8x 6= 2 x 10X CD C亠 4.8 (cm).當(dāng)半徑為4.8 cm時(shí)，AB與O O相切(2)由(1)知，圓心C到AB的距離d = 4.8 cm當(dāng) r = 5 cm 時(shí)，dv r, O C與 AB相交當(dāng)r = 4 cm時(shí)，d>r, OC與AB相離點(diǎn)評(píng)1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是判斷圓心到直線的距離d與圓的半徑的大小關(guān)系

4、.2通過(guò)面積過(guò)渡，可以方便地由直角邊的長(zhǎng)求出Rt 斜邊上的高，要熟練地掌握這種方法.2.切線的判定和性質(zhì)(1) 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【例2】如圖24-2-14，AB是O0的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD= OB 點(diǎn)C在圓上，/ CAf 30° .求證：DC是O O的切線.分析由題可知DC與O 0有公共點(diǎn)C,根據(jù)切線判定定理，應(yīng)證明 DCL OC 證明連OC BCv OC= OA / OC=/ A= 30° / 1 = Z A+Z OC= 30°+ 30°= 60°而 O(= OB OC助等邊三角形，

5、C吐OBv BD= OB CB= BO= BD Z OCf 90°,又DC過(guò)半徑OC外端 DC是O O切線提醒當(dāng)已知直線與圓有公共點(diǎn)，要證明直線與圓相切時(shí)，可先連結(jié)圓心與公 共點(diǎn)，再證明連線垂直于直線.這是證明切線的一種方法.(2) 切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.【例3】如圖24-2-15，AB為O O的直徑，C為O O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的 切線互相垂直，垂足為 D求證：AC平分Z DABDS 24-2-15分析CD是O O的切線，連結(jié)OC則OC1 CD連結(jié)圓心與切點(diǎn)是解決切線問(wèn) 題時(shí)常用的輔助線.證明連結(jié)OCn OC / AD 二 Z1=Z2=-2= 3OC= OA=

6、 . 1= 3 AC平分/ DAB注意在解有關(guān)圓的切線問(wèn)題時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑.3. 切線長(zhǎng)定理(1) 切線長(zhǎng)概念：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)， 叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).(2) 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一 點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【例4】已知：如圖24-2-16，PA PB是OO的兩條切線，A、B為切點(diǎn).直 線0P交O0于點(diǎn)D E,交AB于C.圖 24-2-16(1) 寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系；(2) 寫(xiě)出圖中所有的全等三角形；(3) 如果PA= 4 cm， PD= 2 cm，求半徑OA的長(zhǎng).分析(1)由切線性質(zhì)定理知，OA

7、L PA OBL PB;由切線長(zhǎng)定理知，PA= PB, OP平分/ APB于是PCL AB；(2) 由(1)知有三對(duì)；(3) 抓Rt OAP運(yùn)用勾股定理建立方程求解.解(1) OAL PA OBL PB, OPL AB(2) OAPA OBP OCAA OCB ACPA BCP(3) 設(shè) OA= x cm在 Rt OAP中， OA= x cm， OP= OD PD= x+ 2 (cm)PA= 4 cm,由勾股定理，得PA + OA= OP2 2 2即4+ x=( x + 2)整理，得x = 3 cm，所以，半徑OA的長(zhǎng)為3 cm提醒1 在圖24-2-16中，由切線長(zhǎng)定理和等腰三角形性質(zhì)得到 P

8、C丄AB于C, 這是一個(gè)基本圖形中的基本關(guān)系，應(yīng)掌握.2. （3）問(wèn)中，不能由勾股定理直接求出半徑長(zhǎng)，應(yīng)注意運(yùn)用設(shè)未知數(shù)通過(guò) 建立方程求解，這就是數(shù)學(xué)中的“方程思想”.4三角形的內(nèi)切圓（1）三角形的內(nèi)切圓與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形內(nèi)心.（2）三角形內(nèi)心的性質(zhì).1三角形內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，等于三角形內(nèi)切圓半徑.2三角形內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.提醒作三角形的內(nèi)切圓確定圓心時(shí)，只需作兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交即可.【例5】 ABC中, E是內(nèi)心，/ A的平分線和 ABC勺外接圓相交于點(diǎn)D求 證：DE= D

9、B分析要證DB= DE根據(jù)已知條件，連 BE轉(zhuǎn)而證/ DBEZ DEBAD圖 24-2-17證明如圖24-2-17，連BE/ EABC內(nèi)心，./ 1 = / 2，/ 3=/4/ DE=/ 1 + / 3，/ DB=/ 2+/ 5而/ 5=/ 4=/ 3/ DB=/ DEB 二 DB= DE提醒注意運(yùn)用內(nèi)心的性質(zhì)，不要誤把內(nèi)心正當(dāng)成厶 ABC外接圓的圓心. 聰明屋5圓的切線的三種判定方法【例6】如圖24-2-18，在以0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦 AB和CD 相等，且AB與小圓相切于點(diǎn)E.圖 24-2-18求證：CD與小圓相切.分析要證CD與小圓相切，但題目未告訴CD與小圓的公共點(diǎn)，因此不能

10、用切 線的判定定理，考慮通過(guò)證圓心到直線的距離等于半徑（即證 d= r ）來(lái)證明切 線.證明連0E過(guò)0作0巳CD于 F. AB切小O 0于E，OE!AB于 E又 AB= CD 二 OX OE而OH CD. CD與小O O相切點(diǎn)評(píng)證明直線與圓相切有如下三種途徑：1 證直線和圓有惟一公共點(diǎn)（即運(yùn)用定義）2 .證直線過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑（即運(yùn)用判定定理，如例2）.3 證圓心到直線的距離等于圓的半徑（即證 d= r，如本例）.當(dāng)題目告訴了直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法2.,當(dāng)題目未告訴直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法3.,方法1.運(yùn)用較少.類題練習(xí)1 1已知：如圖24-2-19 , ABC為等腰三

11、角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，O O 與腰AB相切于點(diǎn)D.求證：AC與O O相切.6.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)字母的取值范圍【例 7】（1）如圖 24-2-20，Z C= 90°, AC= 3、BC= 4,若以 C為圓心，R 為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是.圖 24-2-20（2）直角坐標(biāo)系中，O M的圓心坐標(biāo)為（m 0）,半徑是2.若O M與y軸 相切，那么m= 若O M與y軸相交，那么m的取值范圍是.分析（1）圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩種情形：其一，以 C為圓心，AC BCR為半徑的圓與斜邊 AB相切，易求出R= AB = 2.4 ;其二，以C為圓

12、心，R 為半徑的圓與斜邊AB相交于一點(diǎn)，那么半徑 R應(yīng)滿足AC< R< BC,即3v R<4.（2）O M與y軸相切，故m = 2,A m=± 2,O M與y軸相交，則m v 2, 得一2vnv2.解（1） R的取值范圍是3v R< 4；（2）若OM與y軸相切時(shí)，m=± 2;若OM與y軸相交，m的取值范圍是2v mv 2.提醒1.要注意審題，圓與AB只有一個(gè)公共點(diǎn)并非只有相切一種情況，因 為線段與圓相交時(shí)，也可能只有一個(gè)公共點(diǎn)，要注意分類討論，否則容易掉解.2.由坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)時(shí)，注意帶上絕對(duì)值，否則也容易掉解.類題練習(xí)2 1已知點(diǎn)P （3, 4）.

13、以P為圓心r為半徑作O P,當(dāng)O P與坐標(biāo)軸只有一 個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，r的值為 當(dāng)O P與坐標(biāo)軸只有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，r的值為7 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【例8】如圖24-2-21 , P是。O外一點(diǎn)，PA PB分別和。O切于A、B, PA =4 cm,/ AP4 40° C是AB上任意一點(diǎn)，過(guò) C作。O的切線分別交PA PB 于D E.(2)/ DOE勺度數(shù).分析(1)觀察圖形知，從P、D、E三點(diǎn)處均向。O作了兩條切線，運(yùn)用切 線長(zhǎng)定理，可由PA的長(zhǎng)表示出 PDE的周長(zhǎng).(2)在D E兩點(diǎn)處運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，或連 OA OB OC運(yùn)用切線性質(zhì)定 理證三角形全等，均可求出/ DOE勺度數(shù).解(1)v P

14、A PB DE是O O切線 PA= PB, DA= DC E吐 EC PDE的周長(zhǎng)=PD DO EC+ PE=PD+ DA EB+ PE= PA PB= 2PA= 8 (cm)(2)求法一：/ DOE= 180°-( / 1 + / 2)丄1由切線長(zhǎng)定理得/ 1= 2 /ADC= 2 (/ P+/ DEP1 1/ 2= 2 / BED= 2 (/ P+/ PDE1 1/ 1 + / 2= 2 / P+ (/ P+/ PDH/ PED = 2 (180°+/ P)1 1 1/ DO= 180°- 2 (180°+/ P) = 90° 2 / P=

15、 90° 2 X 40°= 70° 求法二：如圖 24-2-21 連 OA OB OC由切線性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理得OAL PA OCL DE OBL PB, DA= DC，E吐 EC又有 OA= OB= OC OAD2A OCD OBEA OCE/ CO=/ AOD / CO=/ BOE1 1/ DO=/ COD- / CO= 2 / AO= 2 (180°/ P)1=90° 2 / P= 90° 20°= 70°提醒1.圖24-2-21是一個(gè)基本圖形，重要的基本結(jié)論有 PDE周長(zhǎng)=2PA1/ D04 90

16、6; 2 / P.2當(dāng)已知條件中有直線與圓相切時(shí)，可聯(lián)想運(yùn)用切線性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定 理.類題練習(xí)13 1 設(shè)厶 ABC的邊 BC= a、CA= b、AB= c, s= 2 (a+ b+ c),內(nèi)切圓 I 和 BC AC AB分別相切于點(diǎn)D、E、F.(1) 求證：AE= AF= s a, BF= BD= s b, CD= CE= s c；(2) 若厶ABC為Rt ，/ C= Rt /,試用含a、b、c的代數(shù)式表示其內(nèi)切圓 半徑r.綜合探究8.探索切線的其他性質(zhì)【例9】我們已經(jīng)知道，圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.那么：過(guò)圓心垂直 于切線的直線與切點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系 ？過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線與圓心有怎

17、樣 的位置關(guān)系？說(shuō)明理由.分析如圖24-2-22，結(jié)合公理“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線” 進(jìn)行思考、分析.解如圖24-2-22 ,1切OO于A,連OA由切線性質(zhì)定理知 OALl于A.團(tuán) 24-2-22若過(guò)O點(diǎn)的直線11垂直于直線I，過(guò)切點(diǎn)A的直線l 2垂直于I，由于過(guò)點(diǎn)O 有且只有一條直線垂直于直線I，所以11必過(guò)A點(diǎn)，I 2必過(guò)O點(diǎn)，即有如下兩個(gè) 結(jié)論：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.說(shuō)明本例中的兩個(gè)結(jié)論加上切線性質(zhì)定理，完整地描述了三種性質(zhì)一一過(guò)圓 心、過(guò)切點(diǎn)、垂直于切線之間的關(guān)系.切線的性質(zhì)定理和本例的兩個(gè)結(jié)論可合起 來(lái)描述成如下形式：一條直線若具備以下三個(gè)性質(zhì)中的兩個(gè)， 即過(guò)圓心，過(guò)切點(diǎn)，垂直于 切線，那么這條直線就具備余下的一個(gè)性質(zhì).類題練習(xí)4 1 (1)求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)的線段是直 徑；(2)如圖24-2-23，可以利用刻度尺和三角板測(cè)量圓形工件的直徑.說(shuō)明 測(cè)量的道理.圖 34-2-239探索圓外切四邊形的各邊之間的關(guān)系【例10】探索圓外切四邊形的兩組對(duì)邊的和有什么關(guān)系？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性.探究過(guò)程：如圖24-2-24所示：四邊形ABCD勺