高等代數(shù)61課件剖析

1、第六章第六章 線性空間線性空間集合與映射集合與映射維數(shù)、基與坐標維數(shù)、基與坐標2 線性空間的定義及簡單性質(zhì)線性空間的定義及簡單性質(zhì)8 線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)4 基變換與坐標變換基變換與坐標變換線性子空間線性子空間空間的交與和空間的交與和子空間的直和子空間的直和1 1集合映射集合映射引言引言 線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空間的抽象和推廣間的抽象和推廣 在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)量乘法可以描述一些幾何和力學問題的有關屬性為量乘法可以描述一些幾何和力學問題的有關屬性為了研究一般線性方程組

2、解的理論，我們把三維向量推了研究一般線性方程組解的理論，我們把三維向量推廣為廣為n維向量，定義了維向量，定義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運算，維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關于線性運算的線性相關性，討論了向量空間中的向量關于線性運算的線性相關性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論完滿地闡明了線性方程組的解的理論1 1集合映射集合映射現(xiàn)在把現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就

3、形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相當廣泛的領域內(nèi)得到應線性空間的理論可以在相當廣泛的領域內(nèi)得到應用事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然用事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學與工程技術的許多領域，同時對于我們深刻理科學與工程技術的許多領域，同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導意義的指導意義 集合與映射集合與映射一、集合一、集合二、映射二、映射1 1集合映射集合映射一、集合一、集合 把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集

4、合；把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；常用大寫字母常用大寫字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；當當a是集合是集合A的元素時，就說的元素時，就說a 屬于屬于A，記作：，記作： ； aA 當當a不是集合不是集合A的元素時，就說的元素時，就說a不屬于不屬于A，記作：，記作： aA 1、定義、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素組成集合的這些事物稱為集合的元素 用小寫字母用小寫字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 1 1集合映射集合映射集合的表示方法一般有兩種：集合的表示方法一般有兩種：描述法描述法、列舉法列舉法 描述法描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì)：給出這個集

5、合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.例例122( , )8, ,Mx y xyx yR例例2 N ，0,1,2,3,0, 2, 4, 6, 2Z Mx | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)P Ma1，a2，an1 1集合映射集合映射2 2、集合間的關系、集合間的關系 如果如果B中的每一個元素都是中的每一個元素都是A中的元素，則稱中的元素，則稱B是是A的的子集子集，記作，記作 ，（讀作，（讀作B包含于包含于A）BABA當且僅當當且僅當 xBxA 空集：不含任何元素的集合，記為空集：不含任何元素的集合，記為注意：注意： 如果如果A、B兩集合

6、含有完全相同的元素，則稱兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與與 B相等相等，記作，記作AB .AB當且僅當當且僅當 且且 ABBA約定：空集是任約定：空集是任意集合的子集合意集合的子集合.1 1集合映射集合映射3、集合間的運算、集合間的運算 交交： ； ABx xAxB且并并： ABx xAxB或顯然有，顯然有，;ABAAAB1、證明等式、證明等式: ()AABA證：顯然，證：顯然， 又又 ， ()AABA,xAxAB 則 ，()xAAB從而從而, ()AAAB練習：練習： 故等式成立故等式成立1 1集合映射集合映射2、已知、已知 ， AB證明：證明： (1);(2)ABAABB又因又因 ，

7、ABA ABA2） ， xABxAxB 或但是但是 ， AB又因又因 ， BABABB,AAB證證：1）,xA ABxBxAB 此即，此即，因此無論哪一種情況，都有因此無論哪一種情況，都有 .xB.ABB此即，此即， 1 1集合映射集合映射二、映射二、映射設設M、M 是給定的兩個非空集合，如果有是給定的兩個非空集合，如果有 一個對一個對應法則應法則f，通過這個法則，通過這個法則f 對于對于M中的每一個元素中的每一個元素a，都有都有M 中一個唯一確定的元素中一個唯一確定的元素a 與它對應與它對應, 則稱則稱 f 為為稱稱 a 為為 a 在映射在映射f 下的下的象象，而，而 a 稱為稱為a在映射在

8、映射f 下的下的M到到M 的一個的一個映射映射，記作，記作 : 或或:fMMfMM 原象原象，記作，記作f (a)a 或或:.faa 1、定義、定義1 1集合映射集合映射注注:設映射設映射 , 集合集合 ， :fMM() ( )f Mf a aM稱之為稱之為M在映射在映射f下的下的象象，通常記作，通常記作 Imf集合集合M 到到M 自身的映射稱為自身的映射稱為M 的一個的一個變換變換 例例4判斷下列判斷下列M 到到M 對應法則是否為映射對應法則是否為映射 1）Ma，b，c、M 1,2，3,4 ：(a)2，(b)1，(c)2：(a)1,(c)2,(c)3,(c)4：(a)2，(c)4 ImfM顯

9、然， （不是不是） （是是） （不是不是） 1 1集合映射集合映射2）MZ，M Z，：(n)|n|, nZ：(n)|n|1,nZ 3）M ，M P，（P為數(shù)域）為數(shù)域） n nP：(A)|A|，n nAP 4）MP，M ，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域）n nP：(a)aE， （E為為n級單位矩陣）級單位矩陣）aP 5）M、M 為任意兩個非空集合，為任意兩個非空集合，a0是是M 中的一個中的一個固定元素固定元素. ：(a)a0，aM （不是不是） （是是） （是是） （是是）（是是）1 1集合映射集合映射6）MM Px（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(f (x)f (x)， ( ) f xP x例例5M是一個

10、集合，定義是一個集合，定義I： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一個映射，是一個映射，例例6 任意一個在實數(shù)集任意一個在實數(shù)集R上的函數(shù)上的函數(shù) yf(x) 都是實數(shù)集都是實數(shù)集R到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是（是是）稱為稱為 M 上的上的恒等映射恒等映射或或單位映射單位映射 映射的一個特殊情形映射的一個特殊情形 1 1集合映射集合映射2 2、映射的乘積、映射的乘積設映射設映射 ， :,:MMMM乘積乘積 定義為：定義為： (a)(a) aM 即先后施行即先后施行和和的結(jié)果，的結(jié)果， 是是 M 到到 M 的

11、一個的一個 映射映射 對于任意映射對于任意映射 ，有，有 :MMMMII設映射設映射:,:,:MMMMMM， 有有()() 注：注：1 1集合映射集合映射3 3、映射的性質(zhì)、映射的性質(zhì): :設映射設映射:MM1）若）若ImM，即對于任意，即對于任意yM，均存在，均存在（或稱（或稱 為為映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 121212,( )()a aMaaaa若則（或（或121212,()(),a aMaaaa若則），）， 則稱則稱是是M到到M 的一個的一個單射單射（或稱（或稱為為11的的）；）； 3）若）若既是單射，又是滿射，則稱既是單射，又是

12、滿射，則稱為為雙射雙射,xM，使，使 ，則稱，則稱是是M到到M 的一個的一個滿射滿射( )yx（或稱（或稱為為 11對應對應） 1 1集合映射集合映射例例7判斷下列映射的性質(zhì)判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)2，(b)1，(c)2 （既不單射既不單射，也不是滿射也不是滿射） ：(a)1，(b)2，(c)32）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 3）Mn nP，M P，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(A) |A|，n nAP （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） （雙射雙射）1 1集合映射集合映射4）MP，M ,n nP P

13、為數(shù)域為數(shù)域, E為為n級單位矩陣級單位矩陣：(k)kE，kP （是單射，但不是滿射是單射，但不是滿射） ：(a)a0， aM （既不單射，也不是滿射既不單射，也不是滿射） 6）MM Px，P為數(shù)域為數(shù)域：(f (x) f (x)，( ) f xP x（是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 7）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （雙射雙射） 5）M、M 為任意非空集合，為固定元素為任意非空集合，為固定元素 0aM1 1集合映射集合映射對于有限集來說，兩集合之間存在對于有限集來說，兩集合之間存在11對對應的充要條應的充要條 件是它們所含元素的個數(shù)相同；件是它們所含元素的個數(shù)相同；對于有限集

14、對于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B為為A的真子集），則的真子集），則 A、B之間不可能存在之間不可能存在11對應；但對應；但是對于無限集未必如此是對于無限集未必如此.注：注：如例如例7中的中的7），），是是11對應，但對應，但2Z是是Z的真子集的真子集 M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ 1 1集合映射集合映射4 4、逆映射、逆映射定義定義：設映射：設映射:,MM若有映射若有映射:,MM使得使得,MMII 則稱則稱為為可逆映射可逆映射，為為的的逆映射逆映射，若若為可逆映射，則為可逆映射，則1也為可逆映射，且也為可逆映射，且 （1）1注：注：1( ).aa 則有:MM為可逆映

15、射，為可逆映射，aM，若，若( ),aa的逆映射是由的逆映射是由唯一確定的唯一確定的記作記作11 1集合映射集合映射 為可逆映射的充要條件是為可逆映射的充要條件是為為11對應對應證：若映射證：若映射:MM為為11對應，則對對應，則對yM 均存在唯一的均存在唯一的xM，使，使(x)y，作對應作對應 :MM( ),( )yxxy這里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 則即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 則即即MI 為可逆映射為可逆映射 則則是一個是一個M 到到M的映射的映射, 且對且對 ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y y= =有有 ( (y y

16、) )= =1 1集合映射集合映射11,( )( )yMyyy 對有即即, 1( ),( ).xyMyx 使所以所以為滿射；為滿射； 其次，對其次，對1212,()()x xMxx若，則，則 11111112( )( )( ( )( ( )MxI xxxx 即即為單射為單射.所以所以為為11對應對應1222()()MxIxx反之，設反之，設 為可逆映射，則為可逆映射，則 : MM 1 1集合映射集合映射練習：練習： 找一個找一個R到到R的的11對應對應，規(guī)定，規(guī)定解：解：xR :2xx則則 是是R到到R的一個映射的一個映射.若若22xy，則，則21,xyxy， 是單射是單射 aR 又對，存在，

17、存在2logaxR，使，使2log2(log )2aaa故故 是是11對應對應 是滿射是滿射 1 1集合映射集合映射1111()hgffg:,:fABg BChgf,令2、設映射、設映射，證明：，證明：1）如果）如果 h 是單射，那么是單射，那么 f 也是單射；也是單射；2）如果）如果 h 是滿射，那么是滿射，那么 g 也是滿射；也是滿射；3）如果）如果 f、g 都是雙射，那么都是雙射，那么 h 也是雙射，并且也是雙射，并且12()(),f af a但1112( )( )( ( )( ()h agf ag f ag f a這與這與h是單射矛盾，是單射矛盾， f 是單射是單射1212,a aAaa且證：證：1）若）若 f 不是單射，則存在不是單射，則存在22()()gf ah a 于是有于是有1 1集合映射集合映射( )( )( ( )ch agf ag f a,( )cCaAh ac 使2） h 是滿射，是滿射，即，即( )f aB， g 是滿射是滿射又又3） ，因為，因為 g 是滿射，存在是滿射，存在,使使cC