線性代數(shù)第四版同濟大學課后習題答案

1、第一章 行列式1利用對角線法則計算下列三階行列式201(1)14 118300X.7X.700X.72cbacb2c a2b a11300c Da04821124cabab cab ccb acab31 cc2 1bb21 aa221 cc2ca1bb22c22 bX Xy yXX yx y x yy x y xx y x yx(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x33xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x32(x3 y3)按自然數(shù)從小到大為標準次序求下列各排列的逆序數(shù)2(1)1 2 3 4解逆序數(shù)為0(2)4 1 3 2解逆序數(shù)為441(3)3 4 2

2、 1解逆序數(shù)為532(4)2 4 1 3解逆序數(shù)為321(5)1 3(2n解逆序數(shù)為n(n 1) 23 2 (1 個)5 25 4(2 個)7 27 47 6(34342323 14 24 1,2 14 14 31) 2 4(2 n)個)(2 n 1)2(n 1 個)(2n 1)4(2n 1)6(2n 1)(2 n 2)(6)1 3(2 n 1) (2 n) (2 n 2)解逆序數(shù)為n(n 1)3 2(1個)5 25 4 (2 個)(2 n 1)2(2n 1)4(2n 1)6(n 1 個)4 2(1個)6 26 4(2 個)(2n 1)(2 n 2)(2n)2(2 n)4(2 n)6(2 n)

3、(2 n 2) ( n 1 個)3寫出四階行列式中含有因子ana23的項解含因子a11a23的項的一般形式為其中rs是2和4構成的排列(1) a11a23a3a4s這種排列共有兩個即24和42所以含因子&島3的項分別是1) aa23a32a44(1) aa23a34a42(計算下列各行列式1) aa23a32a44aa23a32a441) aa23a34a42aa23a34a424 12 412 0 210 5 2 00 1174 12 412 0 210 5 2 00 117o 41210202112304 110041101230 4 121341Q-C31-2 C2G 024 1

4、23 41109 9 100 02017 17 140 20 04234112 12312020242361120231502112 2423 6112 o231 504112 24236112023150 2 00 423011202310 rM Qe eef adcdcfblabdbfadcdoC1adc c cbbbab ac ae bd cd de adf bf cf ef11 1 尸efOo1d a1 C1 bab1o 1O1OO& acdooo 1 dO1 C1 1b1o a1oo書oo 1 dO1 C1 1b1o a1oos角1Ocd b a2 b b22a ao bba

5、oldC11Odcd a1 b a1J JQ Q b22b11231b22b1 abab 2a2a1(2)axayaz證明axayaz1)3bybzbxabayazaxby aybz azbx axx ayy azz axa2bzbxbyb2a2a2ayazax2bazaxaybz azbx axby aybz azbx axby aybzbxby2abxbybzbxbybzbxbybzb2(b a)(b(a3 b3)yaba(a b)3ayazaxazaxaybzbxbybxbybzazaxaybxa3b3a3b3(a3o2 2 2 2 abed /k /k /k /k 2 2 2 2 ab

6、edzv 2 2 2 2 1111 abed 02 2> 2,2 abed證明c2c2c49g(c(dabed2 2 2 21111(ag(c(d2 2 2 2abedc45 553 332d 3 2d 511112a2b2c2d2 2 2 2 abedo222 2222 211112a2b2c2d2 2 2 2 abed2 41dd d1 C2CC41bt)2b41 a2a4a由/V 2 4 o 1d dd a 1 C2C4C bH1bt)2b4-2 4 a 1 a a a /V 明證111b a c a d ab(b a)c(c a)d(d a)b2(b2 a2) c2(c2 a2)

7、 d2(d2 a2)1 0 0 0111a) bcdb2(b a) c2(c a) d2(d a)(b a)(c a)(d1 d b b)(d b a)11a)0 c b0 c(c b)(c b a) d(d(b a)(c a)(d(b a)(c a)(da)(c b)(db)1 c(c b a) d(d1b a)=(xooo000 00 X 1an an 1 an 2a2 X al證明用數(shù)學歸納法證明當n 2時D2： Y 1X2 ax a2命題成立a2 X a1假設對于(n 1)階行列式命題成立Dn 1 Xn 1 a1 Xn 2則D按第一列展開 有1 0Dn XDn 1 an( 1)n 1

8、X 111XDn 1 an Xn a1Xn 1an 2X an 10000X 1an 1X anan 1Xan因此 對于n階行列式命題成立6 設n階行列式D det(aj),把D上下翻轉、或逆時針旋轉90、或依副對角線翻轉an1D1a11依次得D2alna11annD3an1a1na b)( a c)( a d)( b c)( b d)( c d)( a b c d)n(n 1)證明 D1D2( 1) 2 d Q D證明因為D det( aj)所以Dianiaiiannalnaiialnanna2nallalna21a2nI)“ Haniannn(n 1)(i)1 2 (n 2) (n 1)D

9、 ( i)-D同理可證n(n i) aiiD2 ( i) 2ainanin(n i)n(n i)(i)k dt( i) Dannn(n i)n(n i) n(n i)D3 ( i).D2 ( i)丁( i)=D(i)n(n i)D D7計算下列各行列式（為k階行列式）aiDnia解其中對角線上元素都是a未寫出的元素都是0a 000 i0 0a 00 a0 00 0（按第n行展開）ooo ooo oo a o ao1 n ) 11)nDn1)n將第一行乘（Dn(n 1) (n(n 2)(n 2)1)1)2na(n 1) (n 1)an2(21)1）分別加到其余各行再將各列都加到第一列上Dn Dn

10、 1x (n00anan 11)a(a (ax(nn 11)a(x a)1)n1)n 1(a (an)nn)n 1解根據(jù)第6題結果Dni11n(n 1) a a 1(1尸Ian1 (a 1)nan(a 1)n(a(an)n1n)n此行列式為范德蒙德行列式n(n 1)Dn1( 1)丁 (a i 1) (a j 1)n 1 i j 1n(n 1)(1)= (i j)n 1 i j 1n(n 1) n (n 1)1(1) 2 ( 1)2(i j)n 1 i j 1(i j)n 1 i j 1anbn(4)Da1 b1(4)D2nc1 d1;cndn解anbna1儲bd1（按第1行展開）dn再按最an

11、an icl 10(1)2nhbn 1 0a h c1 didni 00 dn0 an 1bn 1ai b1C1 d1Cn 1d n 1Cn0D2nandnD2n 2bnCnD2n 2即 D2n(andnbnCn) D2n 2n于是D2n(qdi Dq)D2i 231Jaid7 G1 bl012310122 1013210123 4n 1 n 2 n 3 n 40o sin1111 o1 111111111114 n 3 n2 n 1 nooo onooo002022 252n42nn21 1111n G G2 n )21nD2 a aa 中 其111oooananC2qka1 111 12a

12、1 11a1 11%1 111.1 11oooaho o 033o o3Oa2a o o2aao ooC2qGC21 11 物“ 1n aa a a a1 ooo 11 ooo 1 o o o 1 o o o 1 1 o o 1 1 o o oana2a1a1a20 01 00 10 000a1100a2100a3101an11n0 0 10i 1n 1、(a1a2an)(1-)i 1 ai8用克萊姆法則解下列方程組X428T-11222012342522111123112%2X 23 X42T-42T-64214T-1231112 3T-112231220D1145522?3 1 2112T

13、-1D4D刈3rd%22dX2 1 rd 為2126656 %6 %5X2X45XX40006500651065106510051000為因 D5400065 00651 06510 10001 51000000 6510001065 106510051000075037X439500065 00651065106510010001d000 65006 511000165100510001 o o 01 00651 06510 65100 510001507v1145v703X2 x366526653665所以X1 X2 X3 09 問取何值時齊次線性方程組X1X2 X3 0有非零解X1 2

14、x2 x3 0解系數(shù)行列式為D 111 2 1令D 0 得0或 1于是 當 0或 1時該齊次線性方程組有非零解10問取何值時(1)x1 2x2 4x3 0齊次線性方程組 2x1 (3)x2 x3 0有非零x1 x2 (1 ) x3 0解解系數(shù)行列式為124D 2 3111 1(1)3 (3)4(1(1)3 2(1)2341101)2(1)(330于是 當 02或 32或 3時該齊次線性方程組有非零解第三章矩陣的初等變換與線性方程組1把下列矩陣化為行最簡形矩陣1 0 2 12 0 3 13 0 4 311 (下一步2 ( 2)13 ( 3)r1 )32 11 3 (下一步2 02 11 3(下一

15、步2 03 11 3(下一步0 32 11 3 (下一步0 12 11 0 (下一步0 10 01 00 13 14 37 13 14 3 (下一步7 18 11 3 (下一步1 30 101 3 (下一步0 02 (1)33 r2)3 3)r 2 3r 3)1 (2)212 2 (3)132 r1 321 2)(2)3)3 (2)1)1 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 00 20 30 40 2解 0 3 0 40 20 00 00 20 00 04 (5)2 313 214 3r 16106102 (4)3 (3)1 3

16、21223 24233r 24 22237430 11111 2 0 2 4 0 8 8 9 12 0778112 2r13 8r14 7r1)011111020200014000141 22 (1)43 )1 0 2 0 20 1111(00014(0 0 0 0 01 0 2 0 20 1 1 0 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 00101012 設100A010001001010解 100是初等矩陣0 0 123)2) 其逆矩陣就是其本身1 0 10 1 0是初等矩陣E(12(1)其逆矩陣是0 0 11 01E(12(1)0 1 00 01010123101A10 04 560

17、1000 17 890 014 5 6 1 014 5 21 2 3 0 1 01 2 278900 17823試利用矩陣的初等變換求下列方陣的逆矩陣3 2 13 1 53 2 332110032 1解31501001432300100 23203/2001011002101/2300201010017/2 2 9/21 121/2 0 1/21 007/62/33/20 101120 011/201/2故逆矩陣為3- 221- 2 2-3107- 611- 232010221123201213201100002210100123200100121000132 001021 000111103

18、421010232001021000111103401216100 0 11220 0 0 1' 0110 11360 1 2 1 6 101 3B 2 2求 X 使 AX B3 11 20 10 40 21 20 10 00 01 20 10 00 01 20 10 00 01 0 00 1 0 0 0 10 0 01故逆矩陣為0124(1)設 A解因為(A, B)3200102100019510302101000112400 1010113612 1 61012410113616104 12 12 21 23 11 310 215 312 4所以A1B101512因為求X使XA B

19、023ATXT213BT(AT,BT)所以XT (AT) 1BT從而X BA1AX2X A原方程化為（A2E)X因為(A 2E, A)所以X (A 2E) 1A6階子式解在秩是r的矩陣中，有沒有等于0的r 1階子式 有沒有等于0的r在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r 1階子式也可能存在等于0的r階子式10 0 0例如 A 0 10 0 R(A) 30 0 100 0是等于0的2階子式1 0 0是等于0的3階子式0 1 07 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B 問A B的秩的關系怎樣解 R(A) RB)這是因為B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不會小于B的秩8 求作一個秩是4的方陣 它的兩個行向量是

20、(10100)(11000)解 用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣10000110001 0 10 00001000000此矩陣的秩為4 其第2行和第3行是已知向量9求下列矩陣的秩并求一個最高階非零子式3 102(1)112113 443 102解1121(下一步13 441 r2)112 13 10 2 (下一步13 4 42 3r 13 r 1)112 10 4 6 5 (下一步八 ” )0 4 6 53 71)112 10 4 6 50 0 0 0矩陣的秩為23 13 213(2)2 131705 13213解 2 13 1705 14是一個最高階非零子式13823 （下

21、一步 1 228134413 3r 2071195(下一步0213327151344107119500000矩陣的秩是27是一個最高階非零子式2183723075325801032022311 8 33 0 72 5 80 3 27 50 0（下一步1242 243 340 12 170 0 0 0 160 0 0 0 141 0 3 2 0（下一步2 3ri 3 2ri2 16r43 16r2)1 0 3 2 00 1 2 1 7 0 0 0 0 10 0 0 0 00 7 5矩陣的秩為35 8 070 0是一個最高階非零子式3 2 010設A、B都是m n矩陣 證明AB的充分必要條件是證明

22、根據(jù)定理3必要性是成立的充分性 設R(A) R B) 則A與B的標準形是相同的準形為D 則有AD DB由等價關系的傳遞性有ABI 2 3kII 設A 1 2k 3 問k為何值 可使 k23(1) R(A) 1(2) RA) 2(3) R(A) 31 2 3k r 11 k解 A 1 2k 3 - 0 k 1 k 1k 2 30 0 (k 1)(k 2)R(A) R(B)設A與B的標(1)當 k 1 時 R(A 1當k 2且k 1時 R(A) 2當k 1且k 2時 R(A) 312求解下列齊次線性方程組：為 “ 2x3 x4 02x1 x2 x3 x4 02x1 2x2 x3 2x4 0對系數(shù)矩

23、陣A進行初等行變換112110102 1110 1312 2 120 014/3于是x1x2x3x44x 3x43x44x3x4x4故方程組的解為x1x2x3（k為任意常數(shù)）x4為 2x2 3x1 6x2x3 x4 0xb 3x4 05x1 10x2 x3 5x4 0解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換1 2 1A 3 6 15 10 11120130 01050 000于是Xi2x2 x4x2 x2X3 0X4 X4故方程組的解為X121x2上100( kx3k10k20(1X4012x1 3x2 x3 5x4 03x1 x2 2x3 7x4 04x1 x2 3% 6x4 0為 2x2 4x3 7x

24、4 0k2為任意常數(shù)）解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有2315100031270100413 60 0 1 01 2 4 70 0 0 1于是x1 0x2 0x3 0x4 0故方程組的解為x1 0x2 0x3 0x4 03x1 4x2 5x3 7x42x1 3x2 3x3 2x44x1 11x2 13x3 16x4 07x1 2x2 x3 3x4 0解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有31310于是XiX23247431125313172163171917 00172017 00X3X4故方程組的解為3171917X3X4X3X313於2017x413X1X2X3X4ki317191710131720

25、人(k11701k2為任意常數(shù)）求解下列非齊次線性方程組：4x1 2x2 Xs 23x1 1x2 2x3 1011X1 3x2 8對增廣矩陣B進行初等行變換43112108310031108346于是RA) 2 而RB)故方程組無解2x X (2) 3x4x3y 2y8y yZ 4z 2z 9z45136解對增廣矩陣B進行初等行變換213432811429451361 0 0 0010021001200于是2z 12（k為任意常數(shù)）2x4x2xy 2y y2z w對增廣矩陣B進行初等行變換1 1/20 00 01/2000 1/21 00 01 y于是2y yz0x y z wk1121 0

26、0k212 010120 （匕00k2為任意常數(shù)）2x3xy 2yx 4yz 3w3z 5w對增廣矩陣B進行初等行變換有7 76/5/7 7 01 97 7 01/5/01010014 213 511312 42 3 1B6-75-7w w1- 79- 7z z1- 7 5-7 z wX y z w)研2k1K/V6- 75- 70 01- 79- 70 1%1- 75- 710X y z wnBA14寫出一個以223r41c2001x c1為通解的齊次線性方程組解根據(jù)已知可得2401c2Xi2X2c3X3c11x40與此等價地可以寫成x1X2X3c22x3 x43x3 4x4X4x1X2x1

27、 2x3 x4 0x2 3x3 4x4 0這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組15取何值時非齊次線性方程組X1 X2x3 要使方程組有唯一解必須R(A) 3 因此當 1且程組有唯一解. 要使方程組無解必須R( A(1)(2) 0 (1因此 2時 方程組無解(3)要使方程組有有無窮多個解(1)(2) 0 (1因此當 1時方程組有無窮多個解XiX2%2Xi X2X3(1)有唯一解(2)無解 (3)有無窮多個解0 0 (1)(22(1)(1)(1)22時方R(B)故)(1)2 0必須 R(A) RB)(1)2 016非齊次線性方程組2x1 x2 x3 x1 2x2 x3 x1 X2 2x3當 取何

28、值時有解并求出它的解1)2)211解 B 1 2 1112要使方程組有解必須（1當 1時2121 01120 0 0 ()(2) 0 即 11 o O1 1 OO 1 O1 o O2 1111212 12 11 B方程組解為x1x2x1x2x3X3 1X3X3X111x2k10(k為任意常數(shù))X310210122 0 1 1 240 0 0 0方程組解為X2X32- X12或X2X3X32X32X3X112x2k12(k為任意常數(shù))X310(2)X1 2x2 2% 117設 2x1 (5 )x2 4x3 2 2x1 4x2 (5)x3問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解 并在有無窮多解

29、時求解22解B 2 5242 50 10 0 (1要使方程組有唯一解(1)(10)所以當 1且 10時2142514211)(10) (1)(4必須 R(A) R(B) 30方程組有唯一解.)即必須要使方程組無解必須R(A)R(B)即必須(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以當 10時方程組無解.要使方程組有無窮多解必須R(A) R(B) 3 即必須(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以當 1時方程組有無窮多解此時，增廣矩陣為1221B-0 0000 000方程組的解為x1x2X3X2x31x2X3X122x2k11k20X30110 (k1k2為任意常數(shù))018 證明R(A)使 A

30、abT1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT證明必要性由R(A) 1知A的標準形為1001,0)1或 A P 1 0 (1, 0, ,0)Q 100) Q 1 則a是非零列向量bT0 000(1,010 000即存在可逆矩陣P和Q 使1 PAQ 0 (1,Q ,0)0 1 令 a P 1 0bT (100是非零行向量且A abT充分性 因為a與bT是都是非零向量所以A是非零矩陣從而RA) 1因為1 R(A)R(abT) minR(a)R(bT) min1 11所以RA) 119 設A為m n矩陣 證明(1)方程AX占有解的充分必要條件是R(A) m證明 由定理7 方程AX占有解的充

31、分必要條件是R(A) R(A E)而| Em|是矩陣(A 弱的最高階非零子式 故F(A) R(A E) m 因此 方程AX Em有解的充分必要條件是R(A) m(2)方程YA E有解的充分必要條件是R(A) n證明注意 方程YA E有解的充分必要條件是 AY En有解 由(1) AY En有解的充分必要條件是 RAT) n 因此，方程YA En有解的充分必要 條件是R(A) RAT) n20 設A為m n矩陣 證明 若AX AY 且R(A) n 則X Y 證明 由AX AY 得A(X Y) O 因為R(A) n 由定理9 方程A(X Y)。只有零解即X Y O 也就是X Y第四章向量組的線性相

32、關性1及3V1解設v12v2 v3(10)TV2 (011)V3 (30)T求 v1 v2v1 v2(1(1V1 2v2(100)11)T(01)T1) TV3 3(1(3 1(012)0) T0 3T2(031) T1 4(330)10)T23)Ta2 (10解1)T13)3(a13(a1a)2(a210) Ta3a)(45( a3a)求a 其中a1(21)Ta)2( a2 a) 5(a3a)整理得E(3a1 2a2 5a3)613(2,5,1,3)T 2(10,1,5,10)t65(4,1, 1,1)T(12已知向量組Aa1(0B b1 (24) T3)T2)Ta2 (3b2 (012)t

33、a3211) T(2b3(4證明B組能由A組線性表示證明由但A組不能由B組線性表示(A, B)0 3 2 210 3 12 10 13 2 120 41031224 1032201 1016151 302817知 R(A)由1 0 310 160 0 200 0 4115124103157 10 16115250041350000R(A B) 3所以B組能由A組線性表示44792530475 02041124 1 01110213021022 1 01110001000知 R(B) 2 因為 R(B) R(B A)所以A組不能由B組線性表示4 已知向量組A a1 (011) T a2 (110

34、) TBb1 (101) Tb2 (121)T b3 (32證明A組與B組等價證明由1)T(B, A)1 1 3 0 1 r 0 2 2 1 1 11110113 0 10 2 2 1 10 0 0 0 0知 R(B) R(B AR(A) R(B A) 2組與B組等價2 顯然在A中有二階非零子式所以 R(A) 2 從而 R(A) R(B)故R(A) 2 又R(A B) 因此A5 已知 R(a1 a2 as)2 Ra2 a3 a,3 證明(1) a1能由a2a3線性表示(2) 2 4不能由21 a2a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無關故a2a3也線性無關 又由Rfa

35、a?a?)2知aia2a3線性相關故a1能由a2(2)假如a4能由aa?故a4能由a a3線性表示 能由ai a a3線性表示a3線性表示a3線性表示則因為ai能由aa3線性表示從而a2a3a4線性相關矛盾 因此a不6判定下列向量組是線性相關還是線性無關(1)(131) T (210) T (141)(2) (230) T (140) T (002)解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A 因為1 2 1r 1 2 1 r 1 2 1A 314 077 011 1 0 10 2 20 0 0所以RA) 2小于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相關(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B 因為2 1 0|B

36、| 3 4 0 22 00 0 2所以RB) 3等于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相無關T1 a)7 問a取什么值時下列向量組線性相關a1 (a 11) Ta2 (1 a 1)T a3 (1解以所給向量為列向量的矩陣記為A 由a11|A|1a1a(a 1)(a 1)11a知 當a 1、0、1時 R(A) 3此時向量組線性相關8 設a1a2線性無關a1 ba2 b線性相關求向量b用a1 a21(a1b)2( a2 b) 0線性表示的表示式解因為a ba2 b線性相關故存在不全為零的數(shù)12使由此得-ai2a22-aii 2(1JR2b cai(1c) a2設aia2線性相關bib2也線性相關問aibia2b2是否一定線性相關試舉例說明之解不一定例如 時有ai(i2)a2(24) T, bii)T, b2(0T0)aibi(i 2)bi(