數(shù)學(xué)物理方法(梁昆淼)chapt8

1、第八章 分離變數(shù)法(傅立葉級(jí)數(shù)法)分離變數(shù)法分離變數(shù)法:適用于大量的各種各樣的定解問(wèn)題分離變數(shù)法的基本思想分離變數(shù)法的基本思想:偏微分方程分離變數(shù)法分離變數(shù)法若干個(gè)常微分方程若干個(gè)常微分方程8.1 齊次方程的分離變數(shù)法齊次方程的分離變數(shù)法問(wèn)題問(wèn)題1:有限區(qū)間的自由振動(dòng)問(wèn)題,兩端固定的均勻弦的自由振動(dòng).定解問(wèn)題表示為泛定方程20ttxxua u00 xu邊界條件0 x lu初始條件0( )tux0( )ttux齊次的波動(dòng)方程兩個(gè)第一類(lèi)齊次邊界條件例1 的解題步驟:1分離變數(shù)( , )( ) ( )u x tX x T t20ttxxua u0XX20Ta T00 xu0 x lu(0)0,X(

2、)0X l 本征值問(wèn)題本征值:本征函數(shù)( )nXx( )nT t分離分離分離12解2 : 解22 求偏微分方程的本征解( , )( )( )nnnux tT t Xx3 求( , )u x t( , )( , )nu x tux t本征值4 通過(guò)初始條件確定疊加系數(shù)泛定方程20ttxxua u00 xu邊界條件0 x lu初始條件0( )tux0( )ttux定解問(wèn)題120txxua u一齊一齊00 xu0 x lu一齊一齊0( )tux波動(dòng)方程輸運(yùn)方程( , )( ) ( )u x tX x T t分離變數(shù)分離變數(shù)0XX(0)0,X( )0X l 本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值本征值222nl本

3、征函數(shù)本征函數(shù)( )sinnn xXxCl1( , )( )sinnnn xu x tT tl泛定方程20ttxxua u00 xxu邊界條件0 xx lu初始條件0( )tux0( )ttux定解問(wèn)題220txxua u二齊二齊0( )tux00 xxu0 xx lu二齊二齊波動(dòng)方程輸運(yùn)方程( , )( ) ( )u x tX x T t分離變數(shù)分離變數(shù)0XX(0)0,X( )0Xl 本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值本征值222nl本征函本征函數(shù)數(shù)( )cosnn xXxCl0( , )( )cosnnn xu x tT tl泛定方程20ttxxua u00 xu邊界條件0 xx lu初始條件0(

4、 )tux0( )ttux定解問(wèn)題320txxua u一齊二齊0( )tux00 xu0 xx lu二齊一齊波動(dòng)方程輸運(yùn)方程( , )( ) ( )u x tX x T t分離變數(shù)分離變數(shù)0XX(0)0,X( )0Xl 本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值本征值222(21)4kl本征函數(shù)本征函數(shù)(21)( )sin2nkxXxCl0(21)( , )( )sin2nkkxu x tT tl泛定方程20ttxxua u0 x lu邊界條件00 xxu初始條件0( )tux0( )ttux定解問(wèn)題420txxua u一齊二齊0( )tux00 xxu0 x lu二齊一齊波動(dòng)方程輸運(yùn)方程( , )( ) (

5、 )u x tX x T t分離變數(shù)分離變數(shù)0XX(0)0,X( )0X l 本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值本征值222(21)4kl本征函數(shù)本征函數(shù)(21)( )cos2nkxXxCl0(21)( , )( )cos2nkkxu x tT tl分離變數(shù)法有界區(qū)間I 第一類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題: 齊次的泛定方程II 第二類(lèi)問(wèn)題第二類(lèi)問(wèn)題: 非齊次的泛定方程1. 邊界條件為 “一齊”2.邊界條件為 “二齊”3.邊界條件為 “ 混齊”4 4 極坐標(biāo)系中拉普拉斯方程帶有周期性邊界條件II 第三類(lèi)問(wèn)題第三類(lèi)問(wèn)題: 非齊次的邊界條件I 第一類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題: 齊次的泛定方程1. 邊界條件為“ 一齊”本征值本征值2

6、22nl本征函數(shù)本征函數(shù)( )sinnnn xXxCl(1,2.)n I 第一類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題: 齊次的泛定方程1. 邊界條件為“ 一齊”本征值本征值222nl本征函數(shù)本征函數(shù)( )sinnnn xXxCl(1,2.)n a. 波動(dòng)問(wèn)題20ttxxua u00 xu0 x lu0( )tux0( )ttux(0)xl通解通解1( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll系數(shù)02( )sinlnn xAxdxll02( )sinlnn xBxdxn al( )nT t( )nXxb. 輸運(yùn)問(wèn)題20txxua u00 xu0 x lu0( )tux(0)xl通解

7、通解22221( , )sinnatlnnn xu x tC el系數(shù)02( )sinlnn xCxdxll( )nT t( )nXx2. 邊界條件為“ 二齊”本征值本征值222nl本征函數(shù)本征函數(shù)( )cosnnn xXxCl(0,1,2.)n a. 波動(dòng)問(wèn)題20ttxxua u00 xxu0 xx lu0( )tux0( )ttux通解通解001( , )(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll02( )coslnn xAxdxll02( )coslnn xBxdxn al001( )lAx dxl001( )lBx dxl系數(shù)(0)xlb. 輸運(yùn)問(wèn)題

8、20txxua u00 xxu0 xx lu0( )tux(0)xl222201( , )cosnatlnnn xu x tCC el通解通解系數(shù)001( )lCx dxl02( )coslnn xCxdxll3. 邊界條件為“ 混齊”本征值本征值21()2nl本征函數(shù)本征函數(shù)1()2( )sinnnnxXxCl(0,1,2.)n 00 xu0 xx lu121()2( )cosnnnxXxCl00 xxu0 x lu2120ttxxua u0( )tux0( )ttuxa. 波動(dòng)問(wèn)題12或21(0)xl0sin1/ 2(1/ 2)(1/ 2)( , )(cossin)cos1/ 2nnnnx

9、 lnatnatu x tABllnx l12210sin1/ 22( )cos1/ 2lnnx lAxdxlnx l0sin(1/ 2)2( )cos(1/ 2)(1/ 2)lnnx lBxdxnx lna12211221b. 輸運(yùn)問(wèn)題(0)xl20txxua u12或210( )tux22222140sin 212 ( , )cos 212 natlnnnxlu x tC enxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlCxdxlnxl通解系數(shù)1221定解問(wèn)題20txxua u00 xu0 xx lu00tu xul保持零度絕熱細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題初始時(shí)刻00u溫度梯度均勻例題

10、：012012345x=l/4x=l/2x=lu(x,t)t2222(1/2)02201()212( , )( 1)sin1()2ka tklkkxuu x telk0.00.20.40.60.81.0012345t=1t=0.5t=0.2t=0.1t=0u(x,t)x/l2222(1/2)02201()212( , )( 1)sin1()2ka tklkkxuu x telk0.00.20.40.60.81.0012345t=1t=0.5t=0.2t=0.1 uxx/l4 極坐標(biāo)系中極坐標(biāo)系中拉普拉斯方程帶有周期性邊界條件( ,2 )( , )uu 2m本征值(0,1,2.)m 本征函數(shù)( )cossinmmmAmBm通解001( , )ln(cossin)mmmmuCDAmBm 1(cossin)mmmmCmDmI 第二類(lèi)問(wèn)題第二類(lèi)問(wèn)題: 非齊次的泛定方程方法一：傅立葉級(jí)數(shù)法方法二：沖量定理法沖量定理法適用的定解問(wèn)題沖量定理法適用的定解問(wèn)題2( , )ttxxua uf x t00 xxu0 xx lu00tu00ttu初