數(shù)字信號處理1-4z

1、 第第1 1章章 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述n1.1 1.1 信號的分類信號的分類n 我們可以這樣來分類信號： 模擬信號信號 抽樣數(shù)據(jù)信號 離散信號 數(shù)字信號n模擬信號：時間的連續(xù)函數(shù)，幅值也是連續(xù)變化的。n抽樣數(shù)據(jù)信號：時間上是離散的，但是幅值在一定范圍內(nèi)可連續(xù)取值。n數(shù)字信號：時間上是離散的，其幅值也不能夠連續(xù)變化。n 信號之間的關(guān)系： 抽樣 量化編碼 模擬信號 抽樣數(shù)據(jù)信號 數(shù)字信號。1.2 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理n數(shù)字信號處理是研究如何用數(shù)字或符號序列來表示信號以及如何對這些序列進(jìn)行處理的一門學(xué)科。 n模擬信號與離散信號的根本區(qū)別：模擬信號的特征用波形來描述，而離散信號實際上是

2、一串?dāng)?shù)據(jù)，是一個數(shù)字序列。n因此，對數(shù)字信號的處理肯定與模擬信號處理不同，數(shù)字信號處理實際上就是進(jìn)行各種數(shù)學(xué)運算，如加、減、乘以及各種邏輯運算等等。 1.3 數(shù)字信號處理的優(yōu)越性數(shù)字信號處理的優(yōu)越性n 對信號進(jìn)行數(shù)字處理與進(jìn)行模擬處理相比較，有以下一些優(yōu)越性。1精度高精度高n模擬元件精度：頂多達(dá)到10-3 左右；數(shù)字系統(tǒng)中：17位字長可達(dá)到10-5 精度。n在一些要求高精度的系統(tǒng)中，甚至只能采用數(shù)字技術(shù)，比如高保真度的CD音樂光盤、高清晰度的數(shù)字電視系統(tǒng)等等。 2 2可靠性高可靠性高n模擬系統(tǒng): 各種參數(shù)受溫度、環(huán)境影響較大，因而易出現(xiàn)感應(yīng)、雜散效應(yīng)，甚至震蕩等等；并且易受干擾而產(chǎn)生失真。n數(shù)

3、字系統(tǒng): 受溫度、環(huán)境影響較??；數(shù)字信號由于只有兩種狀態(tài)，故抗干擾能力強(qiáng)；數(shù)字信號還可以在中繼站對畸變了的脈沖波形進(jìn)行整形并使其再生。 3 3靈活性強(qiáng)靈活性強(qiáng)n數(shù)字系統(tǒng)的性能主要取決于各乘法器系數(shù)，因此改變系數(shù)就可以得到不同性能的系統(tǒng)。數(shù)字信號的靈活性還表現(xiàn)在可以利用一套設(shè)備同時處理多路相互獨立的信號，即所謂的“時分復(fù)用”。 4 4便于大規(guī)模集成化便于大規(guī)模集成化n 數(shù)字部件具有高度的規(guī)范性，易于實現(xiàn)大規(guī)模集成化。 5 5數(shù)字信號便于加密處理數(shù)字信號便于加密處理n 由于數(shù)字信號實際上為數(shù)據(jù)序列，因此便于加密運算處理。 6 6對于低頻信號尤其優(yōu)越對于低頻信號尤其優(yōu)越n處理低頻信號的模擬元件如電感

4、、電容等一般都體積較大、制作不易、使用不便而且成本較高；如果轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號來進(jìn)行處理，由于頻率低，對數(shù)字部件的速度要求不高，因而是很容易實現(xiàn)的。n數(shù)字處理的局限性：所處理的信號頻率越高，對處理系統(tǒng)所要求的工作速度也就越高，目前，數(shù)字系統(tǒng)的速度還不能達(dá)到實時處理很高頻率信號（例如射頻信號）的要求。n但是，隨著大規(guī)模集成電路、高速數(shù)字計算機(jī)的發(fā)展尤其是微處理器的發(fā)展，數(shù)字系統(tǒng)的速度將會越來越高，數(shù)字信號處理也會越來越顯示出其優(yōu)越性。數(shù)字技術(shù)正在取代傳統(tǒng)的模擬技術(shù)，日益廣泛地應(yīng)用于數(shù)字通信、圖象傳輸、自動控制、遙感技術(shù)、雷達(dá)技術(shù)、電子測量技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)工程以及地震學(xué)、波譜學(xué)、震動學(xué)等許多領(lǐng)域。1 1

5、4 4 數(shù)字信號處理的三種方式數(shù)字信號處理的三種方式n對數(shù)字信號的處理運算，常用的有三種：相加、相乘和延遲。這些運算可以用以下三種方式來實現(xiàn)。1軟件處理：對運算編程后在計算機(jī)上實現(xiàn)。軟件處理靈活、方便，但是速度較慢。 2硬件處理：用加法器、乘法器、延時器以及它們的各種組合來構(gòu)成數(shù)字電路，以實現(xiàn)所需要的運算。硬件處理不夠方便靈活，但是處理速度快，能夠進(jìn)行實時處理。 3DSP（數(shù)字信號處理器）方式：是軟硬件處理方式的結(jié)合。用數(shù)字信號處理芯片以及存儲器來組成硬件電路，所需要的運算靠特定的匯編語言編程來實現(xiàn)。因此，采用DSP既方便靈活，一般又能做到實時處理。 1 15 5 數(shù)字信號處理的兩大方法數(shù)字信

6、號處理的兩大方法n由于數(shù)字信號本身的特點以及高速數(shù)字計算機(jī)和微處理器的應(yīng)用，使得一些數(shù)字信號處理算法應(yīng)運而生，其中最突出的是快速傅里葉變換和數(shù)字濾波這兩大方法，將分別在第二部分和第三部分中詳細(xì)討論。 第第2章章 離散系統(tǒng)的性質(zhì)和離散信號的變換離散系統(tǒng)的性質(zhì)和離散信號的變換n 本章的一些內(nèi)容在“信號與系統(tǒng)”課程中已經(jīng)學(xué)過，但是考慮到本章的內(nèi)容是離散信號處理的基礎(chǔ)，是非常重要的，因此，有必要對已有的知識拓展和加深，使其更加系統(tǒng)和完善。本章所涉及到的一些數(shù)學(xué)知識請參看附錄A1。 2.1 抽樣和內(nèi)插抽樣和內(nèi)插n將模擬信號（連續(xù)信號）離散化的過程叫抽樣或取樣，將離散信號變?yōu)檫B續(xù)信號（模擬信號）的過程叫內(nèi)

7、插。模擬信號與數(shù)字信號之間的相互轉(zhuǎn)換過程： 圖2.1 模擬信號與數(shù)字信號之間的相互轉(zhuǎn)換 2.1.1 抽樣抽樣n 將連續(xù)信號變?yōu)殡x散信號最常用的是等間隔周期抽樣，即每隔固定時間Ts抽取一個信號值。n 抽樣周期：Ts ； 抽樣頻率：fs=1/Ts ； 抽樣角頻率：s=2fs=2/Ts。 圖圖2.2 模擬信號的抽樣模擬信號的抽樣n抽樣定理：抽樣定理：設(shè)fm是一模擬信號xa(t) 的頻譜的最高頻率，當(dāng)對xa(t) 進(jìn)行抽樣時，只要抽樣頻率fs 等于或大于2fm，就可以由抽樣序列xa(nT) 來唯一準(zhǔn)確地恢復(fù)出xa(t)。n時域分析： 圖圖2.3 抽樣過程的數(shù)學(xué)模型抽樣過程的數(shù)學(xué)模型 nssansaaa

8、nTtnTxnTttxtptxtx)()()()()()()(n頻域分析： n 抽樣函數(shù)p(t)是一個周期為Ts的周期函數(shù)，故有： )()()(tptxtxaa)()(21)(PXaXatjmnmmsseAnTttp)()(s=2/Ts 是周期函數(shù)p(t)的基波角頻率，也是抽樣角頻率。傅里葉級數(shù)的系數(shù)： 2/2/2/2/)(1 )(1ssssssTTntjmssTTtjmsmdtenTtTdtetpTA2/2/011)(1ssssTTsjmstjmsTeTdtetT所以 由于 因此 ntjnsmtjmssseTeTtp11)()(2sFtjnnesnssnFtjnsnTPeTtps)(2)(1

9、)(n所以 n就是說，將Xa()乘以1/Ts 后進(jìn)行以s為周期的周期延拓就得到。nsasnsasaanXTnXTPXX)(1 )()(1)()(21)( 圖圖2.4 抽樣信號的頻譜與原模擬信號頻譜之間的關(guān)系抽樣信號的頻譜與原模擬信號頻譜之間的關(guān)系n 一個重要的結(jié)論：時域中的連續(xù)信號經(jīng)單位沖激抽樣后，在頻域中產(chǎn)生周期性函數(shù)，其周期等于抽樣角頻率s n如果s2m，周期頻譜就不會發(fā)生混疊，于是，將抽樣信號通過一個合適的低通濾波器，就可以正確地恢復(fù)出原來的信號xa(t)，只是幅度為原來的1/Ts 倍。這就說明了抽樣定理的正確性。n因此，對一個連續(xù)信號進(jìn)行抽樣時，抽樣率fs 必須不小于信號頻譜最高頻率f

10、m的2倍。當(dāng)fs = 2fm，fs就叫做奈奎斯特抽樣率。 例例2.1 2.1 用不同的抽樣頻率對信號 抽樣，比較所得抽樣信號的頻譜。 (1) 以fs = 5000 Hz 對xa(t) 抽樣得到 x1(n) (2) 以fs = 1000 Hz 對xa(t) 抽樣得到 x2(n) n解： n對于(1)： n由于 , 而 ， 并且0.04/10=0.004, 故混疊影響可以忽略。2210002000)(aX002. 010000002000)0(aXnanX22)10000(100020005000)(10)0(1asXT04.0)2/(1sasXT 圖圖2.5(2.5(a) a) 抽樣率為抽樣率為

11、50005000HzHz時的抽樣信號頻譜示意圖時的抽樣信號頻譜示意圖 n對于(2)： n由 于 ， 而 ， 并 且0.184/2=0.092，明顯大于(1)的0.004，所以(2)的情況有混疊影響。 nanX22)2000(100020001000)(2)0(1asXT184.0)2/(1sasXT2.1.2 內(nèi)插內(nèi)插n理想低通濾波器的截止頻率c 滿足： mc（s-m） n頻域分析： n從頻域的觀點來看，由離散信號恢復(fù)原來的模擬信號的過程為低通濾波。 )(1)()()(asaXTHXGn 時域分析： n已知 n而 )()()(thtxtga)()()(snsaanTtnTxtx)2(sin22

12、2sin2sin1 21)2()(1tfcftftffttderectFthcccccctjcccn于是 n 由頻域分析的結(jié)果 ， 可以知道：n于是有 nscsacnccssanTtfcnTxftfcfnTtnTxtg)(2sin)(22sin2)()()()(1)(asXTG)(1)(txTtgasnscsacasnTtfcnTxftxT)(2sin)(2)(1n若取 ，即 ，便有 ，因此有： n這就是內(nèi)插公式，其中 n叫做內(nèi)插函數(shù)。sc21scTf2212scTf12nnsansssaatnTxnTtTcnTxtx)()()(1sin)()()(1sin)(ssnnTtTct 圖圖2.7

13、2.7 通過內(nèi)插恢復(fù)原來的模擬信號通過內(nèi)插恢復(fù)原來的模擬信號n 內(nèi)插函數(shù)n(t) 的形式取決于所用的低通濾波器的沖激響應(yīng)。由于理想低通濾波器的沖激響應(yīng) ，因而內(nèi)插函數(shù)也是sinc函數(shù)，在這種情況下能夠完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號xa(t)。)(sin1)(ssTtcTthn若低通特性為： ，則其沖激響應(yīng) h(t) 形狀為三角形，因此內(nèi)插函數(shù)的波形也是三角形的，此時就不能完全恢復(fù)出原信號xa(t)。222)2/(sin4)(ssTTHn在實際問題中 ，往往用下式來逼近： nN要取得足夠大以將誤差控制在允許的范圍之內(nèi)。n從時域的觀點來看，由離散信號恢復(fù)原來的模擬信號的過程叫做內(nèi)插。NNnnsaatnTx

14、tx)()()(2.2 2.2 離散時間信號離散時間信號2.2.1 2.2.1 離散時間信號序列離散時間信號序列 n 因為離散信號實際上是一個數(shù)據(jù)序列，所以又叫做離散時間信號序列。 n當(dāng)對離散時間信號序列 xa(nTs) 進(jìn)行處理時（尤其是在非實時處理時），往往對周期值Ts并不感興趣，而主要關(guān)心的是這個隨n變化的離散序列。因此，常常將 xa(nTs) 寫成 x(n)，它表示一個隨n變化的數(shù)據(jù)序列；也可以認(rèn)為x(n)是自變量n的函數(shù)，而n是一個取值只能為整數(shù)的離散變量。2.2.2 2.2.2 常用序列常用序列 1單位抽樣序列n定義： 0n 00n 1)(n 圖圖2.8 2.8 單位抽樣序列單位抽

15、樣序列 2單位階躍序列n定義： 0001nnnu 圖圖2.9 2.9 單位階躍序列單位階躍序列 n 例例2.2 2.2 分別寫出序列u(n-1)和u(-n-1)的表達(dá)式，并分別畫出它們的圖像。 n 解： -1n 0-1n 11)-u(-n 1n 01n 1) 1(nu 圖圖2.10(2.10(a) u(n-1)a) u(n-1)的圖像的圖像 圖圖2.10(2.10(b) u(-n-1)b) u(-n-1)的圖像的圖像 n 顯然有： 3矩形序列n定義： ) 1()()(nunun0)()(kknnu 01-Nn0 1其它nrN 圖圖2.11 2.11 矩形序列矩形序列 4實指數(shù)序列n定義： ，

16、a為實數(shù)， a0。nanx)( 圖圖2.12 2.12 實指數(shù)序列實指數(shù)序列 5. 正弦序列 n對正弦模擬信號 抽樣，就得到正弦序列：n )sin()(0ttxa)()sin()sin()(00nxnnTnTxssa 圖圖2.13 正弦序列正弦序列n0為實常數(shù)，顯然有：0=0Ts，寫成一般形式：=Ts。其中為模擬角頻率，其單位為弧度/秒，它與頻率 f（單位：1/秒，或赫茲）的關(guān)系為： = 2f，因此 是具有真正物理意義的量。n而 叫數(shù)字角頻率，其單位為弧度，也可以說是無量綱的，因此它并不具有真正的物理意義，而是為了我們處理離散信號方便而引入的一個量。數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間總是成正比的關(guān)系，

17、比例常數(shù)就是抽樣周期Ts。n 例例 2 . 32 . 3 設(shè) 正 弦 信 號 x1( t ) = s i n ( 2 0 0 t ) , x2(t)=sin(500t), 如果用相同的抽樣率對它們進(jìn)行抽樣，問最低的抽樣頻率fs等于多少？用此fs抽樣后分別得到離散信號x1(n)和x2(n)，寫出x1(n)和x2(n)的表達(dá)式。這兩個離散信號的模擬頻率分別是多少？數(shù)字角頻率又分別等于多少？n 解：模擬信 x1(t)=sin(200t) x2(t)=sin(500t)n 角頻率 1 =200弧度/s 2 =500弧度/sn因此最低抽樣頻率：s =22=1000弧度/s, fs =s/(2)=500H

18、z。 x1(n)=sin(200nTs)=sin(200n/fs)=sin(0.4n) x2(n)=sin(500nTs)=sin(500n/fs)=sin(n)nx1(n)：模擬角頻率1=200弧度/s, 模擬頻率f1=100Hz, 數(shù)字角頻率1=1Ts=1/fs=0.4；nx2(n)：模擬角頻率2=500弧度/s, 模擬頻率f2=250Hz, 數(shù)字角頻率2 =2Ts=2/fs=。 n任意一個離散序列都可以表示為各延時單位抽樣序列的幅度加權(quán)之和，即： kknkxnxnxnxnxnxnx)( ) 2(2) 1(1)(0) 1() 1() 2() 2()(2.3 2.3 離散系統(tǒng)及其線性和時不變

19、性離散系統(tǒng)及其線性和時不變性 2.3.1 2.3.1 離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應(yīng)離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應(yīng)n 定義： 離散系統(tǒng)是將一個序列變成另一個序列的系統(tǒng)。n 從數(shù)學(xué)上定義：離散系統(tǒng)是輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算，記為： )()(nxTny算子T 表示變換，定義不同的變換就代表不同的離散系統(tǒng)。 圖圖2.14 2.14 離散系統(tǒng)的模型離散系統(tǒng)的模型n對于某一輸入信號，離散系統(tǒng)的輸出也叫做系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)。一個離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是指該系統(tǒng)對單位抽樣序列的響應(yīng)，也就是說，當(dāng)輸入信號是單位抽樣序列(n)時的輸出信號就是此離散系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，記為h(n)

20、，即h(n)=T(n)。nh(n)是離散系統(tǒng)的重要參量之一，它描述了系統(tǒng)的時域特性，每一個確定的離散系統(tǒng)都對應(yīng)著一個確定的單位抽樣響應(yīng)，因此，h(n)也可以用來代表一個系統(tǒng)。單位抽樣響應(yīng)有時也叫做沖激響應(yīng)。 2.3.2 2.3.2 離散系統(tǒng)的線性離散系統(tǒng)的線性n設(shè) x1(n) 和x2(n) 是兩個任意的離散信號，ab 為兩個任意常數(shù)，若系統(tǒng)T 滿足： n則此離散系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxTn也即，令 n若y(n)= y(n)，則此系統(tǒng)是線性的。因此，所謂線性應(yīng)包括兩重意思：)()()(21nbxnaxTny)()()( 21nxbTnxaTnya) 齊

21、次性： b) 可加性： n如果一個系統(tǒng)是線性的，則無論輸入信號有多少個，它們的線性組合的變換總是等于變換之后的線性組合。 )()(nxaTnaxT)()()()(2121nxTnxTnxnxTn 例例2.42.4 設(shè)系統(tǒng)為 ，判斷它是不是一個線性系統(tǒng)。n解：設(shè)x1(n) 和x2(n)是兩個任意的離散信號，a、b為任意常數(shù)，有：n dncxnxT)()(dnbcxnacxdnbxnaxcnbxnaxTny)()()()()()()(212121n要使 y(n)=y(n)，必須有：d = d(a+b)，只有d=0，才能使此式對任意常數(shù)a、b都成立。因此，當(dāng)d=0時此系統(tǒng)是線性的，否則就是非線性的。

22、 )()()()()()()()(212121badnbcxnacxdncxbdncxanxbTnxaTny 2.3.3 2.3.3 離散系統(tǒng)的時不變性離散系統(tǒng)的時不變性n離散系統(tǒng)的時不變性是指系統(tǒng)的特性不隨時間變化，用數(shù)學(xué)表示為：設(shè)對系統(tǒng)T 有: Tx(n)=y(n), n0為一整數(shù)，若 Tx(n-n0)=y(n-n0), 則此系統(tǒng)是時不變的。n0 x(n)123n0 x(n-n0)n0n0y(n)1234n0y(n)n0 圖圖2.15 2.15 離散系統(tǒng)的時不變性離散系統(tǒng)的時不變性n判斷一個系統(tǒng)是否時不變，就要檢驗它對任意的一個序列x(n)，先移位后再進(jìn)行變換與先變換后再進(jìn)行移位的輸出信號

23、是否相同。n例例2.52.5 判斷系統(tǒng) 是否是時不變的。n先移位再變換： n先變換： ，n再移位： n由于 ，故此系統(tǒng)是時不變的。 )()()(nydncxnxTdnncxnnxT)()(00dncxnxTny)()()(dnncxnny)()(00)()(00nnynnxT 2.3.4 線性時不變線性時不變(LTI)系統(tǒng)系統(tǒng)n 如果一個離散系統(tǒng)既是線性的又是時不變的，則此系統(tǒng)就叫做線性時不變系統(tǒng)，簡稱為LTI(Linear-Time-Invariant)系統(tǒng)。n LTI系統(tǒng)對任一輸入信號x(n)的響應(yīng)： n即，線性時不變系統(tǒng)的輸出序列是輸入序列與該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)序列的離散線性卷積，這是線

24、性時不變系統(tǒng)的一個非常重要的性質(zhì)。 )()()()()(nhnxknhkxnyk 2.4 2.4 離散信號的線性卷積離散信號的線性卷積 2.4.1 2.4.1 離散線性卷積的定義離散線性卷積的定義n 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個任意的離散信號，我們定義 kknxkxnxnxny)()()()()(2121n為這兩個離散信號的線性卷積。線性卷積滿足交換律，即又有： n求和變量k的取值范圍取決于x1(k) 和x2(n-k)的長度和取值范圍， 并且最后得到的卷積結(jié)果即序列y(n)的長度和取值范圍也取決于x1(n) 和x2(n)的長度和取值范圍。kknxkxnxnxny)()()()()(1212

25、2.4.2 離散線性卷積的計算離散線性卷積的計算 1. 1. 由解析式計算由解析式計算n 利用公式 或者 進(jìn)行計算。kknxkxny)()()(21kknxkxny)()()(12n例例2.62.6 已知 x1(n)=anu(n), x2(n)=bnu(n), 并且 0|a|1, 0|b|1. 計算：y(n)=x1(n)*x2(n).n 解：n當(dāng) n0 時，y(n)=0n當(dāng) n0 時， kknxkxny)()()(21b anbbaabababbbanynnnnkknnkknk ) 1( )()(11010 2 2作圖法作圖法n 作圖法一般用于序列的長度有限并且容易用圖表示出來的情形。設(shè)序列x

26、(n)長度為N，h(n)的長度為M，用作圖法來計算線性卷積：n kknhkxnhnxny)()()()()( 圖圖2.16 2.16 用作圖法計算線性卷積用作圖法計算線性卷積n例例2.72.7 一個LTI 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為 h(n)=(0.9)n u(n)，求當(dāng)輸入信號為 x(n)=u(n)u(n-10)時的輸出 y(n)。n 解： x(n)實際上是一個矩形序列：n ， 而h(n)無限長，故翻轉(zhuǎn)x(n)，于是有： 其它 09n0 1)(nx 1）n0： 2）0n8: 3) n9: 0)()9 . 0()(*)()(kkknxnxnhny0)(nynknnkny011)9 . 0(1 109

27、 . 01)9 . 0(11)9 . 0()()9 . 0(1 )9 . 0(109 . 01)9 . 0()9 . 0(1)9 . 0()(109199nnnnnkknyn 對于上面三種情況，如果分別畫出圖來，就會容易地確定各種情況的求和范圍。這道題實際上是將作圖法與解析式計算相結(jié)合來求解的。 3 3排序法排序法 例例2.82.8 設(shè)序列A=a1,a2,a3,a4,B=b1,b2,b3, 序列C=A*B=c1,c2,c3,c4,c5,c6, 求 ci, i=1,2,6。 解： a1 a2 a3 a4 b3 b2 b1 c1 = a1b1 b3 b2 b1 c2 = a1b2+a2b1 b3

28、b2 b1 c6 = a4b3 2.5 2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 2.5.1 因果性因果性n 若一個系統(tǒng)的輸出變化不會發(fā)生在輸入變化之前，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；也就是說，一個因果系統(tǒng)，如果其輸入信號未發(fā)生變化，其輸出信號也不會發(fā)生變化。n 用數(shù)學(xué)來表示：對于一個離散系統(tǒng)，我們?nèi)∫粋€時刻n0，并已知當(dāng) n n0 時，對輸入信號有x1(n)=x2(n)，如果對輸出信號當(dāng)nn0 時，也有 y1(n)=y2(n)，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。n 關(guān)于LTI系統(tǒng)的因果性，有下面的重要性質(zhì)： n一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條

29、件是其單位抽樣響應(yīng)抽樣響應(yīng)h(n) h(n) 當(dāng)當(dāng)n0n0時等于零。時等于零。n 因果序列：如果一個序列當(dāng)n0時等于零，則此序列為因果序列。于是有：一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位抽樣響應(yīng)為因果序列。 2.5.2 穩(wěn)定性穩(wěn)定性n 一個離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列有界時，如果其輸出序列也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。從數(shù)學(xué)上來描述：對一個離散系統(tǒng)，當(dāng)其輸入序列滿足： ， 對一切 n，n若輸出序列也有：y(n)，對一切n，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。n 線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： )(nxnnh)(n 例例2.92.9 已知h(n) = an u(n)，并知此系統(tǒng)是線性時不變的，試判斷其穩(wěn)定性。n 解

30、： n當(dāng)a1時，此級數(shù)收斂，且有 ，故此時該 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 00)(nnnnnaanhaanhnnn11)(02.6 2.6 離散信號的傅里葉變換離散信號的傅里葉變換 2.6.1 2.6.1 問題的提出問題的提出 n 連續(xù)信號xa(t) 經(jīng)抽樣就得到離散信號，而的頻譜() 是xa(t) 的頻譜 Xa() 在軸上的周期延拓。即： nsasanXTX)(1)(n 這一節(jié)要解決的問題：如何直接對離散信號進(jìn)行傅里葉變換而得到其頻譜函數(shù)。離散信號的傅里葉變換也叫做離散時間傅里葉變換(DTFT)。 2.6.2 2.6.2 傅里葉變換對的推導(dǎo)傅里葉變換對的推導(dǎo) njnTsanssanssaaasen

31、TxnTtFnTxnTtnTxFtxFX)()()()()()()(n 最后的結(jié)果正是這個頻域周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。下面我們與一個時域的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式進(jìn)行比較。 ntjnneAtf0)(njnTsaasenTxX)()(nf(t)： 時間變量 t 周期 T0 系數(shù) Ann ： 頻率變量 周期 s 系數(shù) xa(nTs)n兩個傅里葉級數(shù)的表達(dá)式一一對應(yīng)。于是，由系數(shù)An 的表達(dá)式： n就可以寫出系數(shù)a(nTs)的表達(dá)式： 002TsssTT2222/2/000)(TTtjnndtetfA22)(1)(sssdeXnTxjnTassa)(aXn 于是就得到了離散信號的傅里葉

32、變換對。將這對變換關(guān)系完全用數(shù)字域中的符號表示出來： n 因為是模擬角頻率的周期函數(shù)，周期為s = 2/Ts，所以X(ej) 即是數(shù)字角頻率的周期函數(shù)，周期為sTs = 2。（反變換）（正變換） )(21x(n) )()(deeXenxeXjnjnjnjn 例例2.102.10 已知x(n)=3(n-2)-(0.5)n u(n)，求這個離散信號的頻譜。 0.5e-11-3)5 . 0 (3e )() 5 . 0 () 2(3)()( j -20nj2-jnjnjnnnjnnjnjeeenuenenxeX解： 2.6.3 2.6.3 離散信號傅里葉變換的性質(zhì)離散信號傅里葉變換的性質(zhì) 1. 1.

33、離散信號傅里葉變換的周期性離散信號傅里葉變換的周期性n 離散信號的傅里葉變換X(ej) 是的周期函數(shù)，周期為2。容易證明： )()2(jjeXeX2 2時域與頻域之間相乘與卷積的映射關(guān)系時域與頻域之間相乘與卷積的映射關(guān)系 (1) 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個離散序列，則有： jjFeXeXnxnx2121n證明： nknjkjknkjnjnneknxekxeknxkxenxnxnxnxF)(21212121)()()()()()( )()()(122121jjkjjkmjmkjkeXeXeXekxk)n(m emxekx (2) 設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個離散序列，則有： deXeXeX

34、eXnxnxjjjjF)(21)()(21)()()(2121213. 3. 離散信號傅里葉變換的對稱性離散信號傅里葉變換的對稱性n 共軛對稱序列定義為： ；共軛反對稱序列定義為： 。 這里上標(biāo) * 表示共軛。)()(*nxnxee)()(*nxnxoon 任何一個序列x(n)總能夠表示為一個共軛對稱序列與一個共軛反對稱序列之和，即： n其中， )()()(nxnxnxoe)(*)(21)(nxnxnxe)(*)(21)(nxnxnxon 共軛對稱的實序列即為偶序列，共軛反對稱的實序列即為奇序列。n 共軛對稱和共軛反對稱的概念也可用于函數(shù)。n共軛對稱的傅里葉變換： ；共軛反對稱的傅里葉變換：。

35、n對于任意傅里葉變換都有： )()(*jejeeXeX)()(*jojoeXeX)()()(jojejeXeXeXn其中， n 若實函數(shù)共軛對稱，則為偶函數(shù)；共軛反對稱，則為奇函數(shù)。n 離散信號傅里葉變換的對稱性：n設(shè) ，若x(n) 為復(fù)序列，則有：)()(jFeXnx)()(21)(*jjjeeXeXeX)()(21*jjjoeXeXeX1. 2. 3. Re 表示實部4. Im 表示虛部5. 6 )(*)(*jFeXnx)(*)(*jFeXnx)()(RejeFeXnx)()(joFmeXnxjI)(Re)(jFeeXnx)()(jmFoeXjInxn才若 x(n) 為實序列，則有：1.

36、實序列的傅里葉變換是共軛對稱2. 實序列傅里葉變換的實部是的偶函數(shù)3. 實序列傅里葉變換的虛部是的奇函數(shù)4. 實序列傅里葉變換的模是的偶函數(shù))()(*jjeXeX)()(jejeeXReXR)()(jmjmeXIeXI)()(jjeXeX5. 實序列傅里葉變換的幅角是的奇函數(shù)6. 7. n即有，實序列的傅里葉變換是共軛對稱的；實序列傅里葉變換的實部和模都是的偶函數(shù)，而虛部和幅角都是的奇函數(shù)。 )(arg)(argjjeXeX)()(jeFeeXRnx)()(jmFoeXjInx 2.6.4 2.6.4 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)n 線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為： n根據(jù)

37、時域卷積與頻域相乘的對應(yīng)關(guān)系，可得： kknhkxnhnxny)()()()()()()()(jjjweHeXeYn定義： 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 nH(ej)表征了系統(tǒng)的頻率特性，它是的周期函數(shù)，周期為2；一般來講，它是的復(fù)函數(shù)，其幅度|H(ej)|表示這個LTI系統(tǒng)的幅頻特性，而其相角H(ej)則表示該系統(tǒng)的相頻特性。)()()(jjjeXeYeH.7 .7 離散信號的離散信號的z z變換變換n在線性離散系統(tǒng)中，z變換所起的作用與線性模擬系統(tǒng)中拉氏變換的作用相似，它可以將解離散系統(tǒng)差分方程的時域方法轉(zhuǎn)換為解代數(shù)方程的頻域方法。總之，z變換在離散信號處理中起著相當(dāng)重要的作用。 2.7.1

38、 2.7.1 z z變換的定義及其收斂域變換的定義及其收斂域n序列x(n)的z變換定義為： z為復(fù)變量n對于任意給定的序列x(n)，使其z變換收斂的z值集合稱為X(z)的收斂區(qū)域或收斂域，即： 收斂域 z：X(z) 存在 nz變換中冪級數(shù)的收斂域為z平面上的一環(huán)狀區(qū)域，即：R-|z|R+，這里 R- 可小到0，R+ 可大到 。nnznxnxZzX)()()( 2.7.1.1 2.7.1.1 右邊序列右邊序列n nn0時等于零的序列稱為右邊序列, 這里n0為某一整數(shù)。n一個典型的右邊序列是： )()(1nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級數(shù)的收斂條件az-1a，也即R-=a， R+=。n

39、X1(z) 是一個有理函數(shù)，其分子多項式的根稱為X1(z)的零點，分母多項式的根稱為 X1(z) 的極點。azzazazznuazXnnnnn101111)()()( 圖圖2.17 右邊序列右邊序列z變換的極點和收斂域變換的極點和收斂域圖圖2.18 左邊序列左邊序列z變換的極點和收斂域變換的極點和收斂域 2.7.1.2 2.7.1.2 左邊序列左邊序列n nn0 (n0為一整數(shù))時等于零的序列稱為左邊序列。一個典型的左邊序列是： ) 1()(2nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級數(shù)的收斂條件a-1z1所確定, 為zR-，左邊序列收斂域為zR+ ，因此若R-R+，則雙邊序列收斂域為：nR

40、-zR+，也即為兩個單邊序列收斂域的重疊部分，這是一個環(huán)狀區(qū)域，z變換的極點都不在此環(huán)內(nèi)。若R-R+，則此收斂域不存在，也即這個雙邊序列的z變換不存在。n 例例2.11 求雙邊序列 的z變換，設(shè)|b|c|。 ) 1()()(3nucnubnxnn 圖圖2.19 2.19 雙邊序列雙邊序列z z變換的收斂域變換的收斂域n 解： n 收斂域： |b|z|a| 的范圍內(nèi)成立，而另一個卻在 |z|a| 的范圍內(nèi)成立，也就是說，兩個表示式中的z不可能是z平面上的同一點。 czzbzzzczbznxzXnnnnnnnn1033)()(n事實上，這兩個z變換分別對應(yīng)兩個不同的序列。因此，只有當(dāng)兩個z變換的表

41、達(dá)式和收斂域都相同時，它們對應(yīng)的序列才相同。n z變換X(z)的收斂域與其極點關(guān)系密切，由極點的位置可以確定收斂域。 2.7.2 2.7.2z z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)n 設(shè) ； xxRzR zXnxZ),()(yyRzR zYnyZ),()(1 1z z變換的線性變換的線性n 即序列線性組合的z變換等于這些序列各自的z變換的線性組合，用數(shù)學(xué)表示為：n a、b為任意常數(shù) n總的收斂域為R- z0；n ， z = 是 二 階 極 點 ， 故 收 斂 域 為 |z|。1)(nZ1)1(znZ2)2(znZ 3 3乘以指數(shù)序列后的乘以指數(shù)序列后的z z變換變換 n 收斂域：n 若X(z)有零點或極點z

42、1，則X(a-1z)就有零點或極點az1。)()(1zaXnxaZnxxRazRa| | | 4 4 序列序列nx(n) nx(n) 的的z z變換變換n 收斂域仍為： 5 5 共軛復(fù)序列的共軛復(fù)序列的z z變換變換n 收斂域仍為： dzzdXznnxZ)()(xxRzR|)()(*zXnxZxxRzR| 6 6 翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn)序列的z z變換變換 Zx(-n)=X(1/z) (1/Rx+)|z|(1/Rx-) 7. 7. 初值定理初值定理n 若x(n) 為因果序列，則有： )(lim)0(zXxz 8. 8. 終值定理終值定理n 設(shè)x(n)為因果序列，并且X(z)在單位園外無極點，在單位園上

43、也最多在z=1處有一階極點，則： n或者寫為： x() = ResX(z),z=1 )() 1(lim)(lim1zXznxzn 9. 9. 時域與時域與z z域之間相乘與卷積的映射關(guān)系域之間相乘與卷積的映射關(guān)系 (1) 序列的卷積的 z 變換等于這兩個序列各自的 z 變換的乘積，即： n這就是說，時域的卷積關(guān)系映射到復(fù)頻域為相乘的關(guān)系 )()()()(2121zXzXnxnxZ (2) 時域的相乘關(guān)系映射到復(fù)頻域為復(fù)卷積的關(guān)系。n 設(shè) ，則： nW(z)的收斂域為Rx-z/v Rx+ 與Ry-v Ry+ 的重疊部分，而積分圍線c1則是此收斂域內(nèi)的一條包圍原點的閉合曲線。)()()(nynxn

44、w11)()(21)()(cdvvvYvzXjnwZzWn或者 n此時收斂域為Rx-v Rx+ 與Ry-z/v1: 此時收斂域在|z|=1的園之外，所以有： （右邊序列）(2）收斂域|z|1/3: 此時收斂域在|z|=1/3的園之內(nèi)，所以有： （左邊序列） )(3121)(21)(1nununxn) 1()31(21) 1(21)(2nununxn (3) 收斂域1/3z0時的x(n)，就應(yīng)該選擇（2.86）式，因為此時X(z)在圍線c內(nèi)有有限個極點, 并且zn-1在z = 0解析；而不用（2.87）式，因為zn-1(尤其是當(dāng)n較大時)在z=有高階極點。n 當(dāng)收斂域在園內(nèi)，應(yīng)計算n0的x(n)

45、，而利用c外的極點求得n0的x(n)。n但是實際上，0不一定是分界點。下面，我們總結(jié)出用留數(shù)法來求z反變換的一般方法。n首先，將X(z)中所包含的z的整數(shù)冪分離出來，即，將X(z)表示為：X(z)=X0(z)zm，這里，m是一個整數(shù)。 n這樣，X0(z)就在z=0和z=都解析。于是有： X(z)zn-1=X0(z)zmzn-1=X0(z)zm+n-1=X1(z)。在確定了X(z)的收斂域以及圍線c的位置之后， 對圍線內(nèi)X0(z)的極點求X1(z)的留數(shù)就得到n1-m時的x(n)；對圍線外X0(z)的極點求X1(z)的留數(shù)就得到n1: 此時收斂域在|z|=1的園外，圍線c之內(nèi)包含X0(z)的兩個

46、極點，所以有：n當(dāng)n1-m=0時，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時，有： nznznzzzzzzzXzzzzXszzXsnx312121 ) 1(3)31(3)()31()(1)X-(z 31),(Re 1),(Re)(31131111111(2）收斂域|z|1/3: 此時收斂域在|z|=1/3的園內(nèi)，圍線c之外包含X0(z)的兩個極點，所以有： n當(dāng)n1=m=0時，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時，有： nzzXszzXsnx)31(2121 31),(Re 1),(Re)(112(3) 收斂域1/3 z 1: 此時收斂域在一個環(huán)內(nèi)，X0(z)的極點 z1=1在圍線c之外，而 z2=1/3在

47、圍線c之內(nèi), 于是有：n當(dāng)n1-m=0時， n當(dāng)n1-m=0時， n因此，當(dāng)收斂域在環(huán)內(nèi)， nzzXsnx)31(2131),(Re)(1321 1),(Re)(13zzXsnx)(3121) 1(21)(3nununxn 2.7.4 2.7.4 z z變換與傅里葉變換的關(guān)系變換與傅里葉變換的關(guān)系n序列x(n) 的z變換為： n令復(fù)變量z = rej，代入上式，得： n令r = 1，即z = ej，則上式為： nnznxzX)()(njnnjernxreX)()(njnjenxeX)()(n這正是x(n) 的傅里葉變換式。變量既表示數(shù)字角頻率，又表示復(fù)數(shù)z的幅角。z=ej 表示z 在單位圓上取

48、值，因此，傅里葉變換就是單位圓上的z變換。n又，z反變換關(guān)系式為： cndzzzXjnx1)(21)(n設(shè)單位圓在X(z)的收斂域內(nèi)，因此可將單位圓作為積分圍線c，即有z = ej，代入上式，得： n這正是離散信號x(n) 的傅里葉變換的反變換式。deeXjdeeeXjnxjnjjnjj)(21 )(21)()1(n對傅里葉變換： n 因此，若 ，則 ，傅里葉變換收斂。 對z變換： nnjnnjnjnxenxenxeX)()(|)(| )(|nnx)()(jeXnnjnnnnjnnnnrnxernxernxznxzX)()(|)(|)(| )(|n因此，若 ，便有X(z)，z變換收斂。n 因此

49、，如果序列x(n) 的傅里葉變換不收斂，一般還可以在z平面上找到一個區(qū)域，使其z變換收斂。n模擬信號xa(t)及其抽樣信號 (也即x(n)在時域和頻域中的相互關(guān)系： nnrnx)()(txa 圖圖2.24 2.24 模擬信號及其抽樣信號在時域和頻域中的相互關(guān)系模擬信號及其抽樣信號在時域和頻域中的相互關(guān)系 nssaanTtnTxtx)()()(nsssaaTnTtcnTxtx)(sin)()(nsasanXTX)(1)()2( )()(casarectXTX2.8 2.8 離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點 2.8.1 2.8.1 離散系統(tǒng)的差分方程離散

50、系統(tǒng)的差分方程1 1非遞歸型非遞歸型n非遞歸即輸出對輸入無反饋。非遞歸型系統(tǒng)就是輸出值僅僅取決于輸入值的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)在 n 時刻的輸出值為： ),.1(),(),1(.,)(nxnxnxfnyn若此系統(tǒng)是線性時不變的，則有： ， ai 為常數(shù)n若此系統(tǒng)又是因果的，則當(dāng)iN時，ai = 0，則： n 這是一個N階線性差分方程，N為系統(tǒng)的階次。 iiinxany)()(0)()(iiinxanyNiiinxany0)()(2. 2. 遞歸型遞歸型n 所謂遞歸就是輸出對輸入有反饋。遞歸型系統(tǒng)的輸出值不僅取決于輸入值，也取決于輸出值，在n時刻的輸出值可以一般地表示為： ),.1(),1(.,),.

51、1(),(),1(.,)(nynygnxnxnxfnyn若系統(tǒng)是線性、時不變、因果的，則有： n這里ai、 bi為常數(shù)。n 當(dāng)bi =0時，遞歸型就成了非遞歸型，亦即非遞歸形是遞歸型的特例。 NiiMiiinybinxany10)()()( 2.8.2 2.8.2 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)n 線性、時不變、因果系統(tǒng)的差分方程又可以寫為： n兩邊進(jìn)行z變換，得： n于是有： MiiNjjinxajnyb00)()(NjMiiijjzXzazYzb00)()(NjjjMiiizbzazXzYzH00)()()(n H(z) 定義為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，又叫做傳遞函數(shù)或者傳輸函數(shù)。因此，線

52、性、時不變、因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，其分子、分母多項式的系數(shù)分別對應(yīng)于描述該系統(tǒng)的差分方程中的右邊和左邊的各系數(shù)。n 系統(tǒng)函數(shù)H(z) 實際上就是系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n) 的z變換，這是因為，對于LTI系統(tǒng)有： )()()(nhnxnyn令Y(z)、X(z)、H(z) 分別表示y(n)、x(n)、h(n) 的z變換，則由序列卷積的z 變換特性，有： n這個式子與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義式等價。n 如果令z = ej，便有： ，這正是前面所定義的離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 )()()(zHzXzY)()()(jjjeXeYeH 2.8.3 2.8.3 系統(tǒng)函數(shù)的零極點系統(tǒng)函數(shù)的零極點 n 對

53、系統(tǒng)函數(shù)H(z) 的分子分母多項式進(jìn)行因式分解，得到： n 設(shè)MN，將（2.100）式兩邊同乘以zM，有： NjjMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(NjjNMMiidzzczAzH11)()()(n 令z= ej，代入上式：NjjjNMjMiijjdeeceAeH1)(1)()()()(1)(1)(jjNjjNMjMiieeHDeCA 圖圖2.25 2.25 系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的關(guān)系 n將向量和 用極坐標(biāo)表示： n系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為： n系統(tǒng)的相頻響應(yīng)為： (設(shè)A0) ijiieCCjjjjeDDNjjMiijDCAeH1

54、1)()()(11NMNjjMiin這說明，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)由系統(tǒng)函數(shù)的各零點到ej點的向量的模值之乘積與各極點到ej點的向量的模值之乘積的比確定；系統(tǒng)的相頻響應(yīng)由系統(tǒng)函數(shù)的各零點到ej點的向量的相角之和與各極點到ej點的向量的相角之和的差確定。 從圖2.25可以看到，幅頻響應(yīng)H(ej)作為的函數(shù)，其大小隨ej點在單位圓上的移動而變化。 n當(dāng)ej點移到零點附近時，由于作為分子的向量模值變得很小，因此幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)谷值；當(dāng)ej點移到極點附近時，使作為分母的向量模值變得很小，從而幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)峰值。若零點位于單位圓上，則當(dāng)ej點與此零點重合時，谷值將等于零；若極點位于單位圓上，則當(dāng)ej點與此極點重合

55、時，峰值將變?yōu)闊o窮大。 2.8.4 2.8.4 線性時不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性時不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性n 已經(jīng)看到，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的極點在單位圓上，其幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)無窮大，因而系統(tǒng)就會不穩(wěn)定。至于LTI因果系統(tǒng)函數(shù)的極點在單位園之內(nèi)或者之外與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系， 可以通過考察 是否滿足而得出，結(jié)果如下。0)(nnh(1) 若H(z)所有極點都在單位園的內(nèi)部，也即單位圓在收斂域內(nèi)，那末系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 只要有一個極點 在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。n即有，一個線性時不變的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都在z平面的單位圓內(nèi)。顯然，對于因果線性時不變的穩(wěn)定系統(tǒng)，單位圓必定在其系統(tǒng)函數(shù)

56、H(z)的收斂域內(nèi)。2.9 2.9 MatlabMatlab方法方法 2.9.1 2.9.1 常用序列及序列運算的常用序列及序列運算的MatlabMatlab實現(xiàn)實現(xiàn)1 1 單位抽樣序列單位抽樣序列n函數(shù) zeros(1,N) 可以產(chǎn)生一個包含 N 個零的行向量，在給定的區(qū)間上，可以用這個函數(shù)來產(chǎn)生。這個函數(shù)的輸入?yún)?shù)應(yīng)該滿足條件。 2 2單位階躍序列單位階躍序列n函數(shù) ones(1,N) 產(chǎn)生一個由 N 個 1 組成的行向量,在給定的區(qū)間上，可以用它來產(chǎn)生。這個函數(shù)的輸入?yún)?shù)應(yīng)該滿足條件 。3 3矩形序列矩形序列n其 Matlab 實現(xiàn)為： n rect = zeros(1,N),ones(

57、1,M),zeros(1,P)201nnn4 4實指數(shù)序列實指數(shù)序列n符號“.”用來實現(xiàn)一個實指數(shù)序列。n 例例2.182.18 用Matlab實現(xiàn) 。 n =0:10; x = (0.5).n; stem(n,x); 100,)5 . 0()(nnxn圖圖2.26 例例2.18的圖形的圖形5 5正弦序列正弦序列n函數(shù)sin（或cos）產(chǎn)生正（余）弦序列。n 例例2.19 2.19 用Matlab 實現(xiàn) x(n)=2sin(0.6n) + 3cos(0.3n+ /3)， 0n10。 n = 0:0.1:10; x = 2*sin(0.6*pi*n) + 3*cos(0.3*pi*n+ pi/3

58、); plot(n,x); 圖圖2.27 例例2.19的圖形的圖形6序列的翻褶序列的翻褶ny(n)=x(-n)的Matlab實現(xiàn)為： y=fliplr (x); n=-fliplr (n); 7信號的能量：信號的能量： n 在Matlab中采用函數(shù)conj來求一個復(fù)數(shù)的共軛，而離散序列的能量的 Matlab 實現(xiàn)可以采用下述任一種方法。（1）E=sum(x.*conj(x);（2）E=sum(abs(x)，.2);nnnxnxnxE)()()(21 n例例2.20 用Matlab實現(xiàn)下列序列，并畫出相應(yīng)圖形。 n解： n=0:10; x=n*Unitstepseq(0,0,10)+3*(0.5

59、).(3*n); stem(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n);100,)5 . 0(3)()(3nnnunxn 圖圖2.28 例例2.20 的圖形的圖形8序列的離散線性卷積計算序列的離散線性卷積計算nMatlab 中計算兩個有限長序列的線性卷積的函數(shù)是conv ，該函數(shù)假設(shè)兩個序列都是從n=0開始的，其調(diào)用格式如下： y = conv(x,h)n 例例2.21 2.21 求以下兩個序列的線性卷積。nx(n)=11,6,3,6,-9，-3n1h(n)=8,17,3,20,9,14，-1n4。 x=11,6,3,6,-9; h=8,17,3,20,9,14; y=conv(

60、x,h) n 于是用Matlab求得：n y = 88 235 159 337 258 133 204 -84 3 -126ny ( n ) 定 義 的 區(qū) 間 可 以 這 樣 求 出 ： 因為 ，其中x(k)的非零區(qū)間為)()()(*)()(knhkxnhnxnyk -3k1n而h(n-k)的非零區(qū)間為 -1n-k4n將這兩個不等式相加就得到y(tǒng)(n)的非零區(qū)間： -4n5。 2.9.2 離散信號變換的離散信號變換的Matlab 實現(xiàn)實現(xiàn)1 離散信號的離散信號的DTFTnDTFT就是2.6節(jié)討論的離散信號的傅里葉變換。在Matlab中，可以利用freqz 函數(shù)計算序列的DTFT在給定的離散頻率