211正弦定理(1)

1、北師大課標(biāo)必修北師大課標(biāo)必修5 5 2.12.1.1 正弦定理(1)問(wèn)題提出問(wèn)題提出回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ABCcba222cbaAbatan 90BAAcasin Bcbsin 兩等式間有聯(lián)系嗎？?jī)傻仁介g有聯(lián)系嗎？cBbAa sinsin1sin CCcBbAasinsinsin 即正弦定理，定理對(duì)任意三角形均成立即正弦定理，定理對(duì)任意三角形均成立分析理解分析理解 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 ， 為向量為向量a 與與b 的夾角的夾角 cos|baba 如何構(gòu)造向量及等式？如何構(gòu)造向量及等式？ 利用向量如何在三角形的邊長(zhǎng)與利用向量如何在三角形的邊長(zhǎng)與三角函數(shù)

2、建立聯(lián)系？三角函數(shù)建立聯(lián)系？分析理解分析理解jACB在銳角在銳角 中，中，過(guò)過(guò)A作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC A)(ABjC)(CBjACj 90cos90cos90cosAcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，過(guò)同理，過(guò)C作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin 則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC ABABjCBACj )(CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理:在一個(gè)三角形中，各邊和它所在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，

3、即對(duì)角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin 正弦定理可以解什么類(lèi)型的三角形問(wèn)題？正弦定理可以解什么類(lèi)型的三角形問(wèn)題？ 已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角其他的邊和角.正弦定理正弦定理例例1 某地出土一塊類(lèi)似三角形刀狀的古代玉佩，其某地出土一塊類(lèi)似三角形刀狀的古代玉佩，其一角已破壞一角已破壞.現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：BC2.57cm，CE3.57cm，BD4.38cm，B45，C120.為了為了復(fù)原，請(qǐng)計(jì)算原玉佩兩邊的長(zhǎng)復(fù)原，請(qǐng)計(jì)

4、算原玉佩兩邊的長(zhǎng)(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01cm)BCDEA分析分析 如圖，將如圖，將BD，CE分別延長(zhǎng)相分別延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)A，在，在ABC中，已知中，已知BC的長(zhǎng)及角的長(zhǎng)及角B與與C，可以通過(guò)正弦定，可以通過(guò)正弦定理求理求AB，AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).例題講解例題講解解：將解：將BD，CE分別延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)分別延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)A ，在，在ABC中中，BC2.57cm，B45，C120A180(B+C)=180-(45+120)=15sinsinBCACAB因?yàn)閟in2.57sin45sinsin15BCBACA所以利用計(jì)算器算得利用計(jì)算器算得7.02(cm)AC 同理同理 8.60(cm)AB

5、 例題講解例題講解 例例2 在在 中，已知中，已知 ，求求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）（保留兩個(gè)有效數(shù)字）. . ABC 30,45,10CAc解：解： 且且CcBbsinsin 105)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcb例題講解例題講解 例例3 在在 中，已知中，已知 ，求求 .ABC 45,24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 為銳角為銳角 30A例題講解例題講解 例例4 在在 中，中， ， 求求 的面積的面積S ABC )13(2,60,45 aCBABC 解：解：180() AB

6、C75由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 例題講解例題講解（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaA.sinsin BbAaBcoscos. AbBaC.sinsin AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，則，則 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等邊三有形等邊三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)（3）在任一）在任一 中，求證：中，求證： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證明：由于正弦定理：令證明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,s