上海市復(fù)旦附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月綜合練習(xí)試題一(含解析) 試題

1、上海市復(fù)旦附中2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月綜合練習(xí)試題一（含解析）一、填空題1.在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】因為的展開式的通項為，令，所以的系數(shù)為.2.已知全集，集合，那么=_【答案】x|0x2【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義計算即可【詳解】全集UR，集合Ax|x2，Bx|x0x|x0，那么AUBx|0x2故選：x|0x2【點睛】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題3.函數(shù)的定義域是_【答案】（，）【解析】【分析】根據(jù)題意列出使函數(shù)有意義的不等式，求出解集即可【詳解】函數(shù)y，6x20，解得，定義域是（，）故答案為：（，）【點睛】本題考查了求函數(shù)定義域及一元

2、二次不等式的解法問題，是基礎(chǔ)題4.函數(shù)的反函數(shù)是_【答案】y，（x0）【解析】【分析】求反函數(shù)，第一步從原函數(shù)式中反解出x，第二步互換x，y，最后確定反函數(shù)的定義域【詳解】由得，x，y0，+），所以函數(shù)的反函數(shù)是y，（x0）故答案為：y，（x0）【點睛】本題主要考查了反函數(shù)的求法，求解時，一定要注意反函數(shù)的定義域的確定，屬于基礎(chǔ)題5.不等式的解集是，則不等式的解集為_【答案】x|2x【解析】【分析】由題意利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 a0，且3，×3，由此化簡要求的不等式為 3x2+5x20，從而求出它的解集【詳解】不等式ax2+bx+c0的解集是，a0，且3，×3，

3、b0，c0，不等式cx2+bx+a0，即 x20，即 x20，即 3x2+5x20，求得它的解集為 x|2x，故答案為：x|2x【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題6.若集合，且，則實數(shù)的值為_【答案】0，【解析】分析：通過解方程求出集合的元素，然后根據(jù)，討論集合的可能性為空集和不為空集，最后分別求出每一種情形下的取值即可詳解：當(dāng)時，則當(dāng)時，要使，則，解得點睛：本題主要考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，本題體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7.若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，則m的取值范圍是【答案】；【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖

4、象可得函數(shù)取值在上的x的范圍，由題函數(shù)的定義域為0，m，即可得解【詳解】解：函數(shù)yx23x4的圖象如圖，當(dāng)x時，函數(shù)有最小值，當(dāng)x0或x3時函數(shù)值為4，原題給出函數(shù)的定義域為0，m，所以，從圖象中直觀看出，故答案為點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)的值域，考查了數(shù)形結(jié)合思想，準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，此題是基礎(chǔ)題8.已知對于任意的恒成立，則的取值范圍是_【答案】3，1【解析】【分析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為a2+2a+2的最小值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性與最小值即可得答案【詳解】根據(jù)題意化簡得：a2+2a+2對任意x（1，+）恒成立，令f（x），f（x）令f（x）0x3或1（舍負(fù)）

5、令f（x）0x3；令f（x）01x3；x3時函數(shù)f（x）取得最小值且f（3）5；a2+2a+25，化簡得：a2+2a30，即（a1）（a+3）0，解得3a1故答案為：3，1【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，以及極值與最值問題，屬于中檔題9.設(shè)關(guān)于x的不等式axb0的解集為x|x1，則關(guān)于x的不等式0的解集為_.【答案】【解析】由題意可知,不等式的解集為.10.已知函數(shù)滿足，且，則該函數(shù)的定義域是_【答案】（，3）（3，+）【解析】【分析】由4x29y236求得y，再由xy0得到關(guān)于x的不等式組，求解得答案【詳解】由4x29y236，得，由，解得x3；由，解得x3函數(shù)yf（x）的定義

6、域為（，3）（3，+）故答案為：（，3）（3，+）【點睛】本題考查函數(shù)定義域及其求法，正確理解函數(shù)概念是關(guān)鍵，是中檔題11.設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中：；與相等的集合的序號是_【答案】【解析】【分析】本題主要考查集合相等的證明方法：雙包含，由此對各序號依次分析判斷.【詳解】設(shè)對應(yīng)的集合分別為A，B，C，D，則對于：xX，設(shè)，則，而，從而xA，故XA，反過來，X，故AX，從而AX；對于：xX，設(shè)，令 ，則可得，從而am+2bn2，an+bm0，解得，且m，nQ，從而xB，故XB，反過來，故BX，從而BX；對于：取，則x1+x20X，從而C不是X的子集，故CX；對于：xX，設(shè)，則，取，則xD，

7、即XD，反過來x1，x2X時，x1x2X，故DX，故DX綜上，正確，故答案為：【點睛】本題考查集合的運算，尤其是集合相等，需要將兩個集合中的元素相互轉(zhuǎn)化為彼此的形式結(jié)構(gòu)，借助雙包含來證明或舉反例，可借助待定系數(shù)法12.設(shè)集合，若非空集合同時滿足，（其中表示中元素的個數(shù)，表示集合中最小元素），稱集合為的一個好子集，的所有好子集的個數(shù)為_.【答案】【解析】【分析】對的取值為、進(jìn)行分類討論，列舉出在在對應(yīng)取值下集合，由此得出符合條件的集合的個數(shù).【詳解】由題意可知，的取值為、.（1）當(dāng)時，則；（2）當(dāng)時，則符合條件的集合有：、，共個；（3）當(dāng)時，則符合條件的集合有：、，共個；（4）當(dāng)時，則符合條件的

8、集合有：、，共個；（5）當(dāng)時，則符合條件的集合為.綜上所述，的所有好子集的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查符合集合新定義的集合個數(shù)，解題時要明確題中集合的定義，采用列舉法列舉出符合條件的集合，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、選擇題13.已知實數(shù)、滿足，那么“”是“”成立的（ ）A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，可得出，由可知，然后再根據(jù)已知條件以及邏輯性關(guān)系推導(dǎo)出兩者間的充分不必要條件關(guān)系.【詳解】，若，則必有，由，可得出，則；另一方面，若，且，則，事實上，若，則.則.因此，“”是“”成立的充分不必要條

9、件.故選：B.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于中等題.14.已知原命題“如果，那么關(guān)于不等式的解集為”，那么原命題、逆命題、否命題和逆否命題是假命題的共有（ ）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四種命題之間的關(guān)系利用逆否命題的真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可【詳解】若不等式（a24）x2+（a+2）x10的解集為”，則根據(jù)題意需分兩種情況：當(dāng)a240時，即a±2，若a2時，原不等式為4x10，解得x，故舍去，若a2時，原不等式為10，無解，符合題意；當(dāng)a240時，即a±2，（a24）x2+（a

10、+2）x10的解集是空集，解得2a，綜上得，實數(shù)a的取值范圍是2，則當(dāng)1a1時，命題為真命題，則命題的逆否命題為真命題，反之不成立，即逆命題為假命題，否命題也為假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題及原命題中是假命題的共有2個，故選：B【點睛】本題考查了二次不等式的解法，四種命題真假關(guān)系的應(yīng)用，考查了分類討論與轉(zhuǎn)化思想15.已知平面截一球面得圓，球中過小圓心的直徑為，過點且與成角的平面截該球面得圓，若該球的半徑為4，圓的面積為，則圓的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長，找出線面角，從而求出ON的長，最后利用垂徑定理即可求出

11、圓N的半徑，從而求出面積【詳解】圓M的面積為4，圓M的半徑為2，根據(jù)勾股定理可知OM2，過點且與成角的平面截該球面得圓， OMN30°，在直角三角形OMN中，ON2，圓N的半徑為，圓N的面積為：13故選：D【點睛】本題考查二面角的平面角，以及球的截面問題，同時考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題16.已知函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依題意，求得f1（x），（x1，4），進(jìn)而得到f1（x）2+f1（2x）的解析式及定義域，利用單調(diào)性，可得y的值域【詳解】依題意，f1（x），（x1，4），所以函數(shù)yf1（x）2+f

12、1（2x）x，其中x滿足，即1x2，又yx為1，2上的增函數(shù)，所以函數(shù)yf1（x）2+f1（2x）的值域是1，4，故選：C【點睛】本題考查了簡單函數(shù)的反函數(shù)的求法，函數(shù)的定義域，值域，屬于基礎(chǔ)題解題時注意定義域優(yōu)先的原則三、解答題17.設(shè)函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合，已知：，：滿足，且是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍【答案】（，6）【解析】【分析】先解不等式x2x20得集合A，再解不等式可得集合B，從而可得AB，再解不等式2x+p0得集合C，由是的充分條件得ABC，由集合間的包含關(guān)系可得p的取值范圍【詳解】依題意，得Ax|x2x20（，1）（2，+），于是可解得AB（2，3設(shè)集合Cx|

13、2x+p0，則由于是的充分條件，所以ABC則須滿足所以，實數(shù)p的取值范圍是（，6）【點睛】本題考查了充分條件的判斷與集合的關(guān)系，訓(xùn)練了解不等式的能力，解題時要把握推理方向，準(zhǔn)確運算18.已知函數(shù)（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用該函數(shù)的被開方數(shù)大于等于零得出該函數(shù)有意義需滿足的不等式，結(jié)合恒成立問題得出字母m滿足的不等式；（2）通過配方法將函數(shù)的被開方數(shù)寫成二次函數(shù)的頂點式，求出y的最小值為f（m），借助m的范圍求出f（m）的值域【詳解】（1）依題意，當(dāng)xR時，mx26mx+m+80恒成立當(dāng)m=0時，xR；當(dāng)m0時，即解之得0m1，故實數(shù)m的取值范圍0m1（2）當(dāng)m=0

14、時，y=2；當(dāng)0m1，y=ymin=因此，f（m）=（0m1），易得088m8f（m）的值域為0，2【點睛】解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究：一是，開口；二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點個數(shù)；四是，區(qū)間端點值.19.已知三棱柱中，分別為棱的中點（1）求證：（2）求直線與所成的角（3）若為線段的中點，在平面內(nèi)的射影為，求【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）【解析】【分析】（1）由ACAB，ACAA1即可得出AC平面ABB1A1，于是ACA1B；（2）以A為原點建立坐標(biāo)系，求出和 的坐標(biāo)，計算cos即

15、可得出直線EF與A1B所成的角；（3）求出和平面EFG的法向量，則sinHA1A|cos，|【詳解】（1）AA1底面ABC，AC平面ABCACAA1BAC90°，ACAB又A1A平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，A1AABA，AC平面A1ABB1A1B平面A1ABB1，ACA1B（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示：則A1（0，0，1）， 直線EF與A1B所成的角為45°（3），（0，0，1）設(shè)平面GEF的法向量為（x，y，z），則 ，令，則cosA1在平面EFG內(nèi)的射影為H，HA1A為AA1與平面EFG所成的角的余角，cosHA1A|cos|HA1A

16、【點睛】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與空間角的計算，屬于中檔題20.已知集合D（x1，x2）|x10，x20，x1+x2k（其中k為正常數(shù)）（1）設(shè)，求的取值范圍（2）求證：當(dāng)時，不等式對任意恒成立（3）求使不等式對任意恒成立的的范圍【答案】（1）；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，其中和為定值，積有最大值；（2）結(jié)合（1）中的范圍直接將左邊展開，利用u在上單調(diào)遞增即可比較；（3）結(jié)合（2）將（3）轉(zhuǎn)化為求使對恒成立的的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性解決，或者作差法求解【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故u的取值范圍為（2）由，又k1，k210，f（u）u在

17、上是增函數(shù)所以 即當(dāng)k1時不等式成立（3）記，則，即求使對恒成立的k2的范圍由（2）知，要使對任意（x1，x2）D恒成立，必有0k1，因此1k20，函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使函數(shù)f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2160，解得【點睛】本題考查不等式的綜合應(yīng)用，以及利用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題，屬于中檔題21.考慮下面兩個定義域為（0，+）的函數(shù)f（x）的集合：對任何不同的兩個正數(shù)，都有，=對任何不同的兩個正數(shù)，都有（1）已知，若，且，求實數(shù)和的取值范圍（2）已知，且的部分函數(shù)值由下表給出：比較與4的大小關(guān)系（3）對于定義域為的函數(shù)，若存在常數(shù)，使得不

18、等式對任何都成立，則稱為的上界，將中所有存在上界的函數(shù)組成的集合記作，判斷是否存在常數(shù)，使得對任何和，都有，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由【答案】（1）當(dāng)a0，b0時，f（x）1且f（x）2；（2）2d+t4；（3）0【解析】【分析】（1）根據(jù)：f（x）1且f（x）2，可利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求出b的范圍（2）由f（x）1，取0x1x2x1+x2，可得由表格可知：f（a）d，f（b）d，f（c）t，f（a+b+c）4，0abca+b+c，利用函數(shù)為增函數(shù)可得，再利用不等式的性質(zhì)即可得出（3）根據(jù)增函數(shù)先證明f（x）0對x（0，+）成立再證明f（x）0在（0，+）上無解即可得出【詳解】（1）由：對任何不同的兩個正數(shù)，都有，=對任何不同的兩個正數(shù)，都有， 可得函數(shù)y，y在（0，+）為增函數(shù)，y2x2+2ax+b，若f（x）1，則0，即a0y2x+a，y2，當(dāng)b0，x0時，y0，此時