MATLAB語言及其應(yīng)用CH06 matlab數(shù)值計算ppt課件

1、曹 aoxia062163 2019.036.1數(shù)據(jù)處理與多項式計算6.2數(shù)值微積分6.3常微分方程的數(shù)值求解6.4非線性方程的數(shù)值求解5.1 數(shù)據(jù)處理與多項式計算5.1.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析1. 求矩陣最大和最小元素(1)求向量的最大最小元素y=max(X) 返回向量X的最大元素存入y。y,I=max(X) 返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序號存入I。(2)求矩陣的最大和最小元素max(A) 返回一個行向量，向量的第i個元素是A矩陣的第i列上的最大元素。Y,U=max(A) 返回兩個行向量，Y向量記錄A的每列的最大元素，U向量記錄每列最大元素的行號。max(A,

2、dim) dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同。dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大元素。(3)兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較U=max(A,B) A,B是兩個同型的向量或矩陣。結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應(yīng)元素的較大者。U=max(A,n) n是一個標(biāo)量。結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應(yīng)元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例6.1 求矩陣A的每行及每列的最大和最小元素，并求整個矩陣的最大和最小元素。命令如下：A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,56

3、3;1,0,-1;max(A,2) %求每行最大元素min(A,2) %求每行最小元素max(A) %求每列最大元素min(A) %求每列最小元素max(max(A) %求整個矩陣的最大元素min(min(A) %求整個矩陣的最小元素2. 求矩陣的平均值和中值求矩陣和向量元素的平均值的函數(shù)是mean，求中值的函數(shù)是median。它們的調(diào)用方法和max函數(shù)完全相同。3. 矩陣元素求和與求積矩陣和向量求和與求積的基本函數(shù)是sum和prod，其使用方法和max類似。 例6.2求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。命令如下：A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A

4、,2)prod(S) %求A的全部元素的乘積4. 矩陣元素累加和與累乘積MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的用法和sum及prod相同例6.3求向量X=(1！，2！，3！，10！)。命令如下：X=cumprod(1:10)5. 標(biāo)準(zhǔn)方差MATLAB中，提供了計算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對于向量X，std(X)返回一個標(biāo)準(zhǔn)方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：std(A,FLAG,dim)其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)

5、方差；當(dāng)dim=2時，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。FLAG取0或1。 6. 元素排序MATLAB中對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列(或行)重新排序，其調(diào)用格式為：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進(jìn)行排序，若dim=1，則按列排，若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。例6.4對矩陣做各種排序。命令如下：A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A) %對A的每列按升序排序-sort(-A,2) %對A的每行按降序排序X,I=sort(A) %對

6、A按列排序，并將每個元素所在行號送矩陣I6.1.2 數(shù)值插值1. 一維數(shù)值插值interp1函數(shù)調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函數(shù)根據(jù)X、Y的值，計算函數(shù)在X1處的值。X、Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值，X1是一個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點，Y1是一個與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有l(wèi)inear(線性插值)、nearest(最近插值)、spline(三次樣條插值)、cubic（三次多項式插值），缺省值是linear。 例6. 5用不同的插值方法計算sin(x)在/2點的值。這是一個一維插值問題。在MATLAB命令窗口，輸

7、入命令：X=0:0.2:pi;Y=sin(X); %給出X、Yinterp1(X,Y,pi/2) %用缺省方法(即線性插值方法)計算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,nearest) %用最近方法計算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,linear) %用線性方法計算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,spline) %用三次樣條方法計算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,cubic) %用三次多項式方法計算sin(/2)MATLAB中有一個專門的三次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X

8、,Y,X1,spline)完全相同。 例6.6 已知檢測參數(shù)f隨時間t的采樣結(jié)果，用數(shù)值插值法計算t=2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57時f的值。這是一個一維數(shù)值插值問題，命令如下：T=0:5:65;X=2:5:57;F=3.2019,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,.6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6;F1=interp1(T,F,X) %用線性方法插值F1=interp1(T,F,X,nearest) %用最近方法插值F1=interp1(T,F,

9、X,spline) %用三次樣條方法插值F1=interp1(T,F,X,cubic) %用三次多項式方法插值2. 二維數(shù)值插值MATLAB中，提供了解決二維插值問題的函數(shù)。其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X、Y是兩個向量，分別描述兩個參數(shù)的采樣點，Z是與參數(shù)采樣點對應(yīng)的采樣變量的樣本值，X1、Y1是兩個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點。method的取值與一維插值函數(shù)相同。例6.7設(shè)Z=x2+y2，對Z函數(shù)在(0，1)(0，2)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。命令如下：x=0:0.1:10;y=0:0.2:20;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2;

10、interp2(x,y,Z,0.5,0.5) %對函數(shù)在(0.5,0.5)點進(jìn)行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4) %對函數(shù)在(0.5,0.4)點和(0.6，0.4)點進(jìn)行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5) %對函數(shù)在(0.5,0.4)點和(0.6，0.5)點進(jìn)行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%對函數(shù)在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)點進(jìn)行插值3. 三維數(shù)值插值對三維函數(shù)插值的函數(shù)是interp3，其使用方法和interp2相同。其調(diào)用格式為：W1=interp3

11、(X,Y,Z,W,X1,Y1,Z1,method)函數(shù)返回三維插值結(jié)果。其中X、Y、Z是三個向量，分別描述三個參數(shù)的采樣點，W是與參數(shù)采樣點對應(yīng)的采樣變量的樣本值，X1、Y1、Z1是三個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點。method是插值方法，可選，其缺省值是 line。method的取值與一、二維插值函數(shù)相同。6.1.3 曲線擬合MATLAB中，提供了解決使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合的函數(shù)。調(diào)用格式為：P,S=polyfit(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點X和采樣點函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。其中X、Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量。例6.8 用一個5次多項式在

12、區(qū)間0，2內(nèi)逼近函數(shù)sin(x)。命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P,S=polyfit(X,Y,5) %得到5次多項式的系數(shù)和誤差plot(X,Y,k*,X,polyval(P,X),k-) 6.1.4 多項式計算1. 多項式的建立 已知一個多項式的全部根X求多項式系數(shù)的函數(shù)是poly(X)，該函數(shù)返回以X為全部根的一個多項式P，當(dāng)X是一個長度為m的向量時，P是一個長度為m+1的向量。2. 多項式求根求多項式p(x)的根的函數(shù)是roots(P)，這里，P是p(x)的系數(shù)向量，該函數(shù)返回方程p(x)=0的全部根(含重根，復(fù)根)。3. 多項式求值求多項式p

13、(x)在某點或某些點的函數(shù)值的函數(shù)是polyval(P,x)。若x為一數(shù)值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。例6.9 已知一個多項式，計算： (1)計算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個多項式g(x)，并與f(x)進(jìn)行對比。(3)計算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的值。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程f(x)=0的根G=poly(X) %求多項式g(x)X0=5,7.8,9.6,12.3;f=polyval(P,X0) %求多項式f(x)在給定點的值多項

14、式求值還有一個函數(shù)是polyvalm，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。 4. 多項式的四則運算(1)多項式的加減法(2)多項式的乘法函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項式P1和P2的乘積。(3)多項式的除法函數(shù)Q,r=deconv(P1,P2)用于對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。 例6.10設(shè)有兩個多項式，計算：(1)求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(

15、2)求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。在MATLAB命令窗口，輸入命令：f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g;f+g1 %求f(x)+g(x)f-g1 %求f(x)-g(x)conv(f,g) %求f(x)*g(x)Q,r=deconv(f,g) %求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。5. 多項式的導(dǎo)函數(shù)對多項式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P) 求多項式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q) 求P*Q的導(dǎo)函數(shù)p,q=polyder(P,Q) 求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。例6.11求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：P=3,5,

16、0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q) 6.1.5 函數(shù)的最大值與最小值MATLAB中用于求最小值的函數(shù)是：fmin(f,a,b) 求單變量函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值點。fmins(F,X0) 求多變量函數(shù)F(x)在估計值X0附近的最小值點。MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值點的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值點就是f(x)在(a,b)的最大值點，所以fmin(-f,a,b)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的最大值。6.2 數(shù)值微積分5.2.1 數(shù)值微分MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)

17、值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù)。DX=diff(X) 計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，0in。DX=diff(X,n) 計算X的n階向前差分，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim) 計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀態(tài))，按列計算差分，dim=2，按行計算差分。 例6.12 求向量sin(X)的13階差分。設(shè)X由0，2間均勻分布的10個點組成。命令如下：X=linspace(0,2*pi,10);Y=sin(X);DY=diff(Y); %計算Y的一階差分D2Y=diff(Y,2); %計算Y的二階差分，也可用命令

18、diff(DY)計算D3Y=diff(Y,3); %計算Y的三階差分，也可用diff(D2Y)或diff(DY,2) 例6.13 用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在同一個坐標(biāo)系中做出f(x)的圖象。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多項式p擬合f(x)dp=polyder(p); %對擬合多項式p求導(dǎo)數(shù)dpdp

19、x=polyval(dp,x); %求dp在假設(shè)點的函數(shù)值dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接對f(x)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)gx=g(x); %求函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)g在假設(shè)點的導(dǎo)數(shù)plot(x,dpx,x,dx,g.,x,gx,r-); %作圖 6.2.2數(shù)值積分(1)被積函數(shù)是一個解析式函數(shù)quad(f,a,b,tol,trace)用于求被積函數(shù)f(x)在a,b上的定積分，tol是計算精度，缺省值是0.001。trace非0時，畫出積分圖形。留意，調(diào)用quad函數(shù)時，先要建立一個描述被積函數(shù)f(x)的函數(shù)文件或語句函數(shù)。當(dāng)被積函數(shù)f含有一個以上的變量時，quad函數(shù)的調(diào)用格式為：quad

20、(f,a,b,tol,trace,g1,g2)其中f,a,b,tol,trace等參數(shù)的含義同前。數(shù)值積分函數(shù)還有一種形式quad8，其用法與quad完全相同。例6.14 用兩種不同的方法求積分。先建立一個函數(shù)文件ex.m：function ex=ex(x)ex=exp(-x.2); %注意應(yīng)用點運算return然后，在MATLAB命令窗口，輸入命令：quad(ex,0,1,1e-6) %注意函數(shù)名應(yīng)加字符引號quad8(ex,0,1,1e-6) %用另一函數(shù)求積分例6.15用trapz(梯形求積法)函數(shù)計算積分。在MATLAB命令窗口，輸入命令：X=0:0.01:1;Y=exp(-X.2);

21、trapz(X,Y)(2)被積函數(shù)由一個表格定義MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X、Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。 (3)二重積分例6.16計算二重積分。建立一個函數(shù)文件fixy.m：function f=f(x,y)f=exp(-x.2-y.2);return建立一個命令文件ftxy1.m：for i=1:20 int2(i)=quad(fixy,0,1,x(i); %在二維函數(shù)fixy中以x=x(i)代入并對y積分。end在MATLAB命令窗口，輸入命令：x=linspace(0,1,20);ftxy1trapz(x,int2)實際

22、上，MATLAB提供了計算二重積分的函數(shù)：dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。如果直接使用這里介紹的二重積分函數(shù)dblquad來求解本例就非常簡單，命令如下：g=inline(exp(-x.2-y.2);dblquad(g,0,1,0,1) %直接調(diào)用二重積分函數(shù)求解6.3 常微分方程的數(shù)值求解l基于龍格庫塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：lX,Y=ode23(f,x0,xn,y0)lX,Y=ode45(f,x0,xn,y0)l其中X、Y是

23、兩個向量，X對應(yīng)自變量x在求解區(qū)間x1，xn的一組采樣點，其采樣密度是自適應(yīng)的，無需指定；Y是與X對應(yīng)的一組解，f是一個函數(shù)，x0，xn代表自變量的求解區(qū)間，y0=y(x0)，由方程的初值給定。函數(shù)在求解區(qū)間x0，xn內(nèi)，自動設(shè)立采樣點向量X，并求出解函數(shù)y在采樣點X處的樣本值。例6.17 求微分方程初值問題在1，3區(qū)間內(nèi)的數(shù)值解，并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較。先建立一個該函數(shù)的m文件fxy1.m：function f=f(x,y)f=-2.*y./x+4*x %注意使用點運算符return再輸入命令：X,Y=ode45(fxy1,1,3,2);X %顯示自變量的一組采樣點Y %顯示求解函數(shù)與采樣點對應(yīng)的一組數(shù)值解(X.2+1./X.2) %顯示求解函數(shù)與采樣點對應(yīng)的一組解析解例6.18 求解初值問題在區(qū)間0，2中的解。建立一個函數(shù)文件 fxy2.m：function f=f(x,y)f(2)=-x.*y(2)+x.2-5;f(1)=y(2);f=f;return在MATLAB命令窗口，輸入命令：X,Y=ode45(fxy2,0,2,5,6);X,Y5.4 非線性方程的數(shù)值求解1單變量非線性方程求解MATLAB中，提供了求解單變量方程的函數(shù)fzero(f,x0,t