判別式與韋達(dá)定理

1、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1、一元二次方程根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，b2-4ac叫做方程的根的判別式，記作“”0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（1）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)其兩根為x1、x2，則：x1+x2= x1、x2=（2）以x1、x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)是1）是x2（x1+x2）x+ x1x2=0二、基礎(chǔ)訓(xùn)練：（1）方程x2+2 x3=0的根的判別式= ，根的情況是 （2）若方程4 x2+ x+k=0有

2、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k= （3）若方程2 x2 3x4=0的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 x1+x2= ， x1·x2= x12+x22= ，+ ，+= （x1x2）2= （4）若方程x2+kx+5=0的一個(gè)根為1，則另一根為 ，k= （5）若2，3為兩根的（二次項(xiàng)系數(shù)是1）一元二次方程是 三、例題講解：例1：已知關(guān)于x的一元二次方程x25x+（k+2）=0，k是使方程有實(shí)數(shù)根的最大整數(shù)，求k的值。 解：方程有實(shí)數(shù)根，0，即 （5）24（k+2）0 解之得k又k是使方程有實(shí)數(shù)根的最大整數(shù) k=4例2：已知方程x2(k+2)x+3k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且x11+x22=23，求k的

3、值。 解：由題意可得 x1+x2=k+2， x1·x2=3k2 x11+x22=23 （k+2）22(3k2)=23 整理得 k22k15=0 解之得 k1=5, k2=3當(dāng)k=5時(shí)，原方程為x27x+13=0 此時(shí)0 故k=5舍去當(dāng)k=3時(shí)，原方程為x2+x11=0 此時(shí)0 方程有實(shí)數(shù)根 k=3例3：已知關(guān)于x的方程x23x+2k1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和不小于這兩個(gè)根的積，且函數(shù)y=2kx+x1的圖像隨x的增大而減小，求滿足條件的整數(shù)k。 解：y=2kx+x+1的圖像y隨x的增大而減小 2k+10 k 且方程有兩實(shí)數(shù)根0 得 94（2k1）0 k 又 方程x23x+2x1=0 兩

4、個(gè)實(shí)根的平方和不小于兩根的積， 即x12+x22x1·x2 得 93（2k1）0 k2 綜合、得 k又 k為整數(shù) k=1四、課堂練習(xí)A組（1）關(guān)于x的方程x2(2k1)x+k21=0的兩根互為倒數(shù)，則k= （2）若m是使關(guān)于x的方程mx24x+5=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根的最大整數(shù)，則m= （3）設(shè)、為方程3x26x+1=0的兩根 則（+1）（+1）= B組（1）設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1, x2+1是方程x2+qx+p=0的兩根，求p、q的值。（2）已知、是方程x22x5=0的兩根，求2+2的值。（3）若實(shí)數(shù)a、b使得a23a+1=0、b23b+1=0

5、 且ab，求a2+b2的值。C組（1）設(shè)等腰三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，且ac，若關(guān)于x的一元二次方程ax2bx+c=0的兩根之差為，求等腰三角形的底角。（2）如圖所示，拋物線y=x23x+k交x軸于A、B兩點(diǎn)，試確定k的值范圍。五、小結(jié)：1、一元二次方程根的判別式的作用：（1）已知方程，由與0的大小關(guān)系判斷方程根的情況。（2）已知方程根的情況，可得到與0的大小關(guān)系，從而確定方程中未知系數(shù)的值或取值范圍。2、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用。（1）已知方程，求有關(guān)方程兩根的代數(shù)式的值。（2）已知有關(guān)方程兩根的代數(shù)式的值，求方程中的未知系數(shù)。（3）已知方程一根，求方程的另一根和未知系數(shù)的值。常用的恒等變形有：x12+x22=（x12+x22）2 x1·x2 += （x1x2）2=(x1+x2)24x1x23、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)