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1、、選擇題1.已知集合A. AI2.3.4.2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(2008年4月13日(星期日)上午 9:(本大題滿分36分,每小題6分)00-11 : 00)C. A BA.C.x 1 時(shí),f(x)22f (x) f(x )f(x) f(x2)1,xf(x)f2(x)R ,B,則下列正確的是(B.AI BD. A B y則下列大小關(guān)系正確的是設(shè)f(x)在0,1上有定義,要使函數(shù)11 1a.(,2); B. 32;已知P為三角形ABC則 ABC 一定為(A.直角三角形;B.B. f(x2)D. f(x2)f (x a)C.(2,內(nèi)部任一點(diǎn)(不包括邊界)等邊三角形;f2(x)f(x)f
2、(x)f2(x)f (x a)有定義,則 a的取值范圍為); D.(uuv,且滿足(PB.25.已知f x xb2 1標(biāo)的最大值是(B. 26.圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為11,2 2,uv uuv uuvPA)(PB PAC.等腰直角三角形;D.等腰三角形uuuv2PC) 0,2ab b2是偶函數(shù),則函數(shù)圖象與 y軸交點(diǎn)的縱坐C. 2 2D. 42的等邊三角形,O為底面中心,M為SO的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)。若AM LMP,則P點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為(A. .7B.二 C. 33D.-2、填空題 (本題滿分54分,每小題9分)7 . cos曲Vx2 5x 7 &_5x 6)
3、= a8 .設(shè)a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù),滿足一a一b c d9.設(shè) f(x)a b1lg x1 2小則f(x)心10.設(shè)實(shí)系數(shù)7L二次方程x2ax 2b 2 0有兩個(gè)相異實(shí)根,其中一根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),則 b a11.已知R,直線 sin4的取值范圍是1x y sin sin cos1 與x一cos siny1 cos cos的交點(diǎn)在直線y x 上,貝U sin cos sin cos12.在邊長(zhǎng)為角形時(shí),頂點(diǎn)A正好落在邊BC上。AD的長(zhǎng)度的最小值為1的正三角形 ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn),使沿線段 DE折疊三得分評(píng)卷人三、解答題(本題滿分60分,每小題
4、20分。解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟。)2213.已知橢圓C:三41 (a b 0),其離心率為-,兩準(zhǔn)線 a b5之間的距離為25。(1)求a,b之值;(2)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(6, 0), B為 2橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),以A為直角頂點(diǎn),作等腰直角 ABP (字母A, B, P按順時(shí)針方向排列),求P點(diǎn)的軌跡方程。得分評(píng)卷人14.求解不等式vx2a x i 1。得分評(píng)卷人15.設(shè)非負(fù)等差數(shù)列an的公差d 0,記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,證明:1)若m,n,1n 2 p ,則 Sm1Sn12007 12)若 a503 ,則一2008。1005n 1 Sn四、附加題(本大題滿分50分。解答應(yīng)寫出
5、文字說明,證明過程或演算步驟。選考B卷的學(xué)生選做本大題,不計(jì)入總分。)16.設(shè)1, 2,L , 2008為2008個(gè)整數(shù),且1 i9 (i 1,2,L ,2008 )。如果存在某個(gè)k 1,2,L ,2008,使得2008位數(shù)k k1L2008 1 r 被101整除,試證明:對(duì)一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位數(shù) i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。17. 將 3k( k 為正整數(shù))個(gè)石子分成五堆。如果通過每次從其中 3 堆中各取走一個(gè)石子,而最后取完,則稱這樣的分法是“和諧的” 。試給出和諧分法的充分必要條件,并加以證明。2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試
6、卷及參考答案二、選擇題(本大題滿分36分,每小題6分)1.已知集合1,xR ,B2 0 ,則下列正確的是(A. AI BB. AIC. A BD. A解:因?yàn)锳1 ,B1,或x,所以有AI正確答案為Ao2.當(dāng) 0 x1時(shí),f(x)則下列大小關(guān)系正確的是(A, f2(x)f(x2)f(x)B.- 2- 2-f(x )f (x)f(x)C. f(x)f(x2)f2(x)D.f(x2) f(x) f2(x)解:當(dāng)0 x1時(shí),f(x)1g x2f(x2)泰 0'f2(x)1g x0。又因?yàn)閤21g x 1g xc22x x21g x(2x)x21g x0。所以2f(x) f(x )-2 ,、
7、一f (x)。選 Co3.f(x)在0,1上有定義,要使函數(shù)f(xa)f (xa)有定義,則a的取值范圍為A.1)., 2,'B.1 1123 c. (2D.函數(shù)f (xa)f (x a)的定義域?yàn)閍,1aa,1a。當(dāng)a 0時(shí),應(yīng)有4 .wv已知 Puuv uuv;當(dāng)a 0時(shí),應(yīng)有 a(PB PA)( PBULV角形 ABC 內(nèi)部LUIVPA 2PC) 0,則4ABC任一點(diǎn)定為(1O2包因此,選Bo邊界),且滿足A.直角三角形;B.等邊三角形;C.等腰直角三角形;D.等腰三角形uuv uuv 解:因?yàn)镻B PAuuu uuvAB,PBuuv uuu uuu2PC CB CA ,所以已知
8、條件可改寫為uur uuuAB (CBuuuCA) 0。容易得到此三角形為等腰三角形。因此選Do5.已知f22222 一x x a b 1 x a 2ab b是偶函數(shù),則函數(shù)圖象與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是()A. 應(yīng) B. 2 C. 2貶D. 4解:由已知條件可知,ax2 ax 2b 2 0有兩個(gè)相異實(shí)根,其中一根在區(qū)間(0,1)內(nèi), b2 1 0,函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a2 2ab b2。令a cos , b sin ,貝U222c.2a 2ab b cos 2sin cos sin cos2 sin 222 o 因此選 A。6.圓錐的軸截面 SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,O為底面
9、中心,M為SO的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)。若AM LMP,則P點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為()A. 7B. _7_2C. 33 D.-2解:建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,-1,0), B(0,1,0), S(0,0,、.3), M (0,0,P(x,y,0).于是有 AM (0,1,), MP (x,y,烏.由于 AM,MP,所以(0,1,費(fèi))(x,y, ) 0,即 y -, 22224此為P點(diǎn)形成的軌跡方程,其在底面圓盤內(nèi)的長(zhǎng)度為2j 昌2 亙。因此選Bo二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)7. cos( .1 . x2 5x7 Jx2 5x 6)=解:根據(jù)題意要求, x2 5x 6
10、 0, 0 x2 5x 7 1。于是有x2cos(.1.x25x 7 &_5x6) cos0 1 。因此答案為 1。5x 7 1。因此8.設(shè)a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù),滿足一a b c dabbccddac d a d a b b c解:顯然a b c d 0,由于一a一 b c d1 111b c d a c d a b d a b cba c d于是有aabbccdda4。cdadabbc111 一9.設(shè) f(x) - 7,則 f(x) f(-) 1 21gx 1 41g x 1 81gxx 解:f(x)f(1)xlgxlg x1 2g 1 4glgx1 8glgxlg xlg x1
11、 2 g 1 4 g 1 8 g3。10.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),則b_J的取值范圍是 a 1解:根據(jù)題意,設(shè)兩個(gè)相異的實(shí)根為X1, X2,且 0X11X22,則于是有1 X1x23,0X1X22b2。1,1 b 2,也即有2。E1即取值范圍為一211.已知R,直線X一sin sinysin cosxcos siny1 cos cos的交點(diǎn)在直線x 上,貝U sin cossin cos解:由已知可知,可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為(x0, x0),且sin,cos 為方程X0X0的兩個(gè)根,即為方程t* 2 (cos的兩個(gè)根。因此sinsint sint cossincoscos)t
12、 sin(sincoscossin cos),0。x0 (cossin )12.在邊長(zhǎng)為角形時(shí),頂點(diǎn)1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn),使沿線段 DE折疊三正好落在邊BC上。AD的長(zhǎng)度的最小值為解:設(shè)ADX,ADE,ADE 關(guān)于 DE的對(duì)稱圖形,A的對(duì)稱點(diǎn)G落在BC上。在 DGB中,sin 3sin(2 -)3.3 2sin(2 一)3當(dāng) sin(2 ) 31時(shí),即Xmin.32 <33。三、解答題(本題滿分60分,每小題20分。 2 .一 X得分 評(píng)卷人 13.已知橢圓C:解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟。)y橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),以AB, P按順時(shí)針方向排列)一 4
13、2 1 ( a b 0 ),其離心率為一,兩推線b5求a, b之值;(2)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(6, 0), B為解:(1)設(shè)c為橢圓的焦半徑,則,2c 4 a 25,a 5 c 4于是有a = 5, b=3。(2)解法一:設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(s,t), P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y)。于是有uuuuuuAB (s 6, t) , AP (x 6, y)uuu uuu因?yàn)?AB AP,所以有(s 6, t)(x 6, y) (s 6)(x 6) ty 0。(A1 )又因?yàn)锳BP為等腰直角三角形,所以有 AB=AP ,即J(s 6)2 t2 J(x 6)2y2 。(A2 )由(A1)推出s 6tyx 6(s 6)2.
14、2 2(TV代入A2),得 t2 (x 6)2從而有 y2 (s 6)2,即s 6y (不合題意,舍去)或22代入橢圓方程,即得動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程(x 6) (y 6)1。925解法二:設(shè)B(xi,yi),P(x,y), AB r ,則以A為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程為x 6 r cos y r sin設(shè)AB與x軸正方向夾角為,B點(diǎn)的參數(shù)表示為X 6 r cos y1 r sinP點(diǎn)的參數(shù)表示為x 6 r cos(900) 口門 x 6 r sin即0、,y rsin(90 ) y r cos從上面兩式,得到x16 yoyi x 6又由于B點(diǎn)在橢圓上,可得4 22 2(x 6) (y 6)1
15、925得分評(píng)卷人此即為P點(diǎn)的軌跡方程。14.求解不等式&a x i 1。綜合(1) ( 4)可得解:(I) x 1情形。此時(shí)不等式為 Jx2 a x 2。于是有2 x a 0(1) x 2 0 .x2 a x 2因此當(dāng)a 0時(shí),有1 x 2;當(dāng)0 a 1時(shí),有1 x 2;當(dāng)1 a 4時(shí),有指 x 2;當(dāng)a 4時(shí),空集。22x ax a 0 x 2(2) x 2 0。x2 a x 2 x - 14此時(shí)有當(dāng)a 0時(shí),有x 2;當(dāng)0 a 1時(shí),有x 2;當(dāng)1 a 4時(shí),有x 2;當(dāng)2時(shí),x a 1。4(II ) x 1情形。此時(shí)不等式為 Jx2 a x。于是有(3)2x a 0因此當(dāng)a 0時(shí)
16、,有0 x 1;當(dāng)0 a 1時(shí),有Ja x 1;當(dāng)a 1時(shí),空集22x2 a 0 x a(4)x 0 x 0x2 a x x2 a x2因此當(dāng)a 0時(shí),有x 0;當(dāng)a 0時(shí),空集當(dāng)a 0時(shí),有x R;當(dāng)0 a 4時(shí),有x ja ;當(dāng)a 4時(shí),x1。得分評(píng)卷人15.設(shè)非負(fù)等差數(shù)列證明:an的公差d 0 ,記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,解:設(shè)非負(fù)等差數(shù)列(1)(2)1)若 m,n, p N2)右 a503an的首項(xiàng)為ai11005,且m n 2p ,則2007 4,則 n 1 Sn2008。0。因?yàn)閙 n 2p,所以m2從而有(ap)2SnSm (m2pai2paSn Sm1Sm2007 in 1
17、Sn因?yàn)橛忠驗(yàn)閚)aiaiSnn(n 1) i2 m_d2p2,amann(ai an)na1n(n2m(m 1)d222p 2p-2-d 2Spn(ai an) m(ai am)mn4ai(am231apapapp(ai ap)Sp2ap。an )amanSmSnSmSn2spSpSp2Sp2*i003 i1S200720071S2006§003L§0051§004S1004S10041004 ai§00403 di004(ai502d)1004a5031004,所以有10052007 i n 1 Sn200720071005§0041004
18、2008.B卷的四、附加題(本大題滿分50分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。選考學(xué)生選做本大題,不計(jì)入總分。)16 .設(shè)1, 2,L , 2008為2008個(gè)整數(shù),且1 i 9 (i 1,2,L ,2008 )。如果存在某個(gè)k 1,2,L ,2008,使得2008位數(shù)k k1L 2008 1 r 被101整除,試證明:對(duì)一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位數(shù) i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。解:根據(jù)已知條件,不妨設(shè)k=1,即2008位數(shù)1 2L 2008被101整除,只要能證明2008位數(shù)2 3L 2008 1能被101整除。事實(shí)上,A1 2L 2008102007 1 102006 2 L 102008 )B I1020071 0 2006 I 102 32008 12320081從而有10A B (102008 1 ) 1 (104)502 1 1 (9999 1)502 1 1 9999 N 1 1 1 ,即有B 10A 9999N 1。因?yàn)?101 A,1019999,所以 101B。利用上述方法依次類推可以得到對(duì)一切 i 1,2,L ,2008 , 2008 位數(shù) i i 1L 2008 1 L i 1 均能被 101 整除。17 .將3k (k為正整數(shù))個(gè)石子分成五堆。如果
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