(完整word版)奧數(shù)-n進(jìn)制

1、n進(jìn)制問題 （18年2月21日）某自然數(shù)m在6進(jìn)制下和9進(jìn)制下都是3位數(shù)，在6進(jìn)制下形如abc,在9進(jìn)制下形如cba0 請(qǐng)問自然數(shù)m是多少？答案：212o講解思路：復(fù)習(xí)一下整數(shù)進(jìn)制的基礎(chǔ)知識(shí)：進(jìn)制也叫進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法。我們常用的十進(jìn)制運(yùn)算時(shí)是逢10進(jìn)1位。n進(jìn)制運(yùn)算時(shí)就是逢n進(jìn)1位。比如7進(jìn)制數(shù)125換算為十進(jìn)制數(shù)是68,因?yàn)椤?7*7+2*7+5=68；比如十進(jìn)制數(shù)68換算為9進(jìn)制數(shù)是75,因?yàn)?68=7*9+5o步驟1：先思考第一個(gè)問題，a,b,c的范圍是什么？在n進(jìn)制下，由于要每逢n進(jìn)一位，故每一位上的數(shù)字都比n小。所以,a.b,c都小于6<>步驟2:再思考第

2、二個(gè)問題，m如何用a.b.c表示？m在6進(jìn)制下是abc,故 m=a*6*6+b*6+c=36a+6b+c；m在9進(jìn)制下是cba,故 m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a0步兼3：再思考第三個(gè)問題，滿足條件的a.b.c是多少，m又是多少？從步驟2知道，36a+6b+c=81c+9b+a,化簡(jiǎn)即：3b=35a-80c=5(7a-16c),因此b是5的倍數(shù)。由于(7a-16c)不可能是0,故b也不可能是0,而b又小于6,因此b=50代入上式有3=7a-16c,由于a和c的范圍是1-5,故 35 >= 7a >16c >= 16,滿足上面不等式的c必須小于等于2,因此c=l或

3、2,代入3=7a-16c中驗(yàn)證，只有c=2,a=5時(shí)才滿足等式。所以 m=36a+6b+c=212o思考題：某自然數(shù)m在5進(jìn)制下和7進(jìn)制下都是2位數(shù)，組成這兩個(gè)2位數(shù)的數(shù)字相同，但順序恰好 相反。請(qǐng)問自然數(shù)m是多少？完全平方數(shù)問題(18年3月4日)某自然數(shù)加上38是一個(gè)完全平方數(shù)，減去38還是完全平方數(shù)，請(qǐng)問該自然數(shù)是多少？答案：362o講解思路：看到這道題，自然想到，假設(shè)該數(shù)是m,則 m+38=a*2,m-38=b-2o此時(shí)問題的關(guān)鍵就在于求a和b。步驟1:先思考第一個(gè)問題，a和b之間有什么關(guān)系？由于 m+38=a*2,m-38=b-2,用第一個(gè)等式減去第二個(gè)等式，得到 76=a*2-b*2

4、=(a+b) (a-b) (>步驟2：再思考第二個(gè)問題，m是多少？從步驟1知道，a+b和a-b的乘積是76,由于a+b和a-b同奇或同偶，在76的分解因數(shù)中，只有38和2的奇偶性相同，故 a+b=38,a-b=2,即 a=20,b=18,所以，m二362。思考題：小明說他找到了一個(gè)自然數(shù)%滿足m減去69是完全平方數(shù)，且m加上69也是完全平方數(shù)。 請(qǐng)問小明的說法正確么？進(jìn)制問題 (18年3月6日)某個(gè)自然數(shù)a在m進(jìn)制下是45,在n進(jìn)制下是54。請(qǐng)問a最小是多少？答案：490講解思路：復(fù)習(xí)一下整數(shù)進(jìn)制的基礎(chǔ)知識(shí)：進(jìn)制也叫進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法。我們常用的十進(jìn)制運(yùn)算時(shí)是逢10進(jìn)I位。

5、 n進(jìn)制運(yùn)算時(shí)就是逢n進(jìn)1位。比如7進(jìn)制數(shù)125換算為十進(jìn)制數(shù)是68, 因?yàn)椋?*7*7+2*7+5=68；比如十進(jìn)制數(shù)68換算為9進(jìn)制數(shù)是75, 因?yàn)?68=7*9+5 o步驟1：先思考第一個(gè)問題，m和n的范圍是多少？ 由于在這兩個(gè)進(jìn)制下， 自然數(shù)a分別是45和54, 說明m和n都比5大。步驟2：再思考第二個(gè)問題，m和n滿足什么關(guān)系？a在用進(jìn)制下是45,即 a=4m+5；a在n進(jìn)制下是54,即 a=5n+4 <>故；4m+5=5n+4, 即：4(m-l)=5(n-1)。步驟3:綜合上述兩個(gè)問題， 考慮a的最小值。要使a最小，肯定是n最小。從步驟2知道，n-1是4的倍數(shù)；從步驟1知

6、道，n>5o因此n最小是9, 此時(shí)"5*9+4=49。所以a最小是49o思考題：某個(gè)兩位數(shù)a在m進(jìn)制下是45,在n進(jìn)制下是54。請(qǐng)問a最大是多少？n進(jìn)制（17年1月17日）題目一（簡(jiǎn)單）通常我們采用的是十進(jìn)制，在計(jì)算機(jī)中，我們采用的是二進(jìn)制。二進(jìn)制中只有0和1兩個(gè)數(shù), 采用的是逢2進(jìn)1,比如二進(jìn)制中的10代表的就是十進(jìn)制中的2（因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+0*1=2）, 二進(jìn)制中的11代表的是十進(jìn)制中3 （因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+1*1=3）。那么，請(qǐng)問十進(jìn)制數(shù)10在 二進(jìn)制中怎么表示？題目二（中等難度）通常我們采用的是十進(jìn)制，在計(jì)算機(jī)中，我們采用的是二進(jìn)制。二進(jìn)制中只有0和1兩個(gè)數(shù), 采

7、用的是逢2進(jìn)1,比如二進(jìn)制中的10代表的就是十進(jìn)制中的2（因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+0*1=2）, 二進(jìn)制中的11代表的是十進(jìn)制中3 （因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+1*1=3）。類似的，可以定義三進(jìn)制。那么，請(qǐng)問十進(jìn)制數(shù)10在三進(jìn)制中怎么表示？題目三（進(jìn)階思考）通常我們采用的是十進(jìn)制，在計(jì)算機(jī)中，我們采用的是二進(jìn)制。二進(jìn)制中只有0和1兩個(gè)數(shù), 采用的是逢2進(jìn)1,比如二進(jìn)制中的10代表的就是十進(jìn)制中的2（因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+0*1=2）, 二進(jìn)制中的11代表的是十進(jìn)制中3 （因?yàn)槭M(jìn)制中1*2+1*1=3）,二進(jìn)制中的0.1代表的是十 進(jìn)制中的0.5,二進(jìn)制中的0.01代表的是十進(jìn)制中的0.25。類似的，可以

8、定義五進(jìn)制。那么, 請(qǐng)問十進(jìn)制小數(shù)10.84在五進(jìn)制中怎么表示？n進(jìn)制（18年2月4日）某自然數(shù)1n在7進(jìn)制下和9進(jìn)制下都是3位數(shù)，組成這兩個(gè)3位數(shù)的數(shù)字相同，但順序恰好 相反。請(qǐng)問自然數(shù)m是多少？答案:248。講解思路：這種n進(jìn)制的問題，首先要熟悉進(jìn)制的換算。先復(fù)習(xí)一下整數(shù)進(jìn)制的基礎(chǔ)知識(shí):進(jìn)制也叫進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法。我們常用的十進(jìn)制運(yùn)算時(shí)是逢10進(jìn)1位。n進(jìn)制運(yùn)算時(shí)就是逢n進(jìn)1位。比如7進(jìn)制數(shù)125換算為十進(jìn)制數(shù)是68, 因?yàn)椋?*7*7+2*7+5=68；比如十進(jìn)制數(shù)68換算為9進(jìn)制數(shù)是75,因?yàn)?68=7*9+5 o對(duì)于這道題，假設(shè)m在7進(jìn)制下的三位數(shù)是abc,根據(jù)題目中的

9、數(shù)字關(guān)系，m在9進(jìn)制下的三位數(shù)是cbao步聚1：先思考第一個(gè)問題，a.b.c的范圍是什么？在n進(jìn)制下，由于要每逢n進(jìn)一位，故每一位上的數(shù)字都比n小。所以，b的范圍是0-7,a和c的范圍是1-7。步驟2：再思考第二個(gè)問題，m如何用a,b,c表示？m在7進(jìn)制下是abc,故 m=a*7*7+b*7+c=49a+7b+c；m在9進(jìn)制下是cba,故 m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a0步驟3:再思考第三個(gè)問題，滿足條件的a.b,c是多少，m又是多少？從步驟2知道，49a+7b+c=81c+9b+a,化簡(jiǎn)即：b=24a-40c=8(3a-5c), 因此b是8的倍數(shù)。從步驟1中知道b的范圍是0-7,故：b