2020年電大高等數(shù)學基礎形成性考核手冊答案必考重點【精編打印版】.(一)

1、高等數(shù)學基礎形考作業(yè)1答案函數(shù)極限與連續(xù)(一)單項選擇題L下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等.A. f(x)=(Jx)2, g(x)=x B. f (x)= Ax2, g(x)3XizlC. f(x)=lnx , g(x) =3ln x D. f(x)=x+1 , g(x)=x-12,設函數(shù)f(X)的定義域為(F危), 貝炳數(shù)f (x)+f (-X)的圖形關于(C)對稱.A.坐標原點B. x軸c. y軸D.3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).2、A. y =ln(1 x )X -X7( a aB.y=xcosxD.y =ln(1 x)4,下列函數(shù)中為基木初等函數(shù)是(C).A. y = x 1B

2、. y =一1 ,x<0C. y=x、D. y=j5.下列極限存計算不正確的是（D）.A“X lim= 1,二 x 2 sin xC. lim=0«F： x6.當XT 0時，變量是無窮小最.sin xA.1C. xsin 7.若函數(shù)f （x）在點為滿足（A）,貝ijfA. lim T (X) = T fY.)1,X 芝 0B iim ln(l x) = u x1 limD. xsin = 0曠xB.D.In(x 2)(x)在點xo連續(xù)。B.f (X)在點X。的某個鄰域內(nèi)有定義C. lim f(x) = f(xo) x%D. lim f (x) = lim f (x)x>X

3、O-（二）填空題1 .函數(shù)f(x)=" +ln (1+x)的定義域是(3,危).x-32,已知函數(shù) f(x+1) = X2+X.貝 U f 僅)=X2 X .13. Iim(1 )' = e2«2x若函數(shù) f(x) =("x)«.xv。，xk,x_o 在 x=0 處連續(xù)，則 =e5 ,函數(shù)y = *,sin x,xO的間斷點是6若 lim f(x) = A.«-ro則當XT Xo時，f(x)A稱為XT Xo時的無窮小量。L設函數(shù)f(x)求：f(-2),f(0),f(1).解:f(-2)=-2 , f(0) = 0, f 1 = e= e

4、.、-2x 12.求函數(shù)y=lg的定義域.2x-1 .一,、解：y=|g-一-有息義，要求解得xa或x。X2x = 01則正義域為X I x t OWcx -23,在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接梯形，梯形的個底邊與半圓的直徑重合,個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).設梯形ABCD即為題中要求的梯形，設高為h,即OE=h，下底CD = 2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=. .OA-OEfR2 m則上底=2AE = 2R-h,故 S 于 k2R - 2. FMv)=h R-R2- hA2 sin 3x hm .I sin 2x 4家sin3x c sin3xsin3x lim3X=l

5、im= limx»sin2x xx) sm2x 2x x 力 sin2x 2 122x 2x另一底邊的兩 i解：醺*=lim e十*«A1 sin(x 1)=hm,77x= sin(x_1)V11tan3x6.求 lim,13=11涅 tan3x lim sin3_X_1 xsin3 x -侔：c =limXJcos3x ，C0S3X7 .求1 XEsin x解:lim x0 sinlim x)o(.1 x21 )sin x 0_11 1=lim xO2Sinx(成卜X -1 v8 .求網(wǎng)切x -1 v解：蜒日）(1 與lim；)獰尚 j=lim xr3 xX:1(1 9

6、邛x(1 y9 .求 lim 乂.6XglxxSxA 7,方象呼戶廠杰二時(x-2> ,f(X) = x,X1,討論f(X)的連續(xù) 性。3=3解：分別對分段點X = -1,x= 1處討論連續(xù)性lim f x = lim x - -12XX.1 開 ljX.1X n,limfxlimx 1 -11=0.1 X2 1 )sin xX.1 X.1 所以lim f(x)# lim f(x),即f(xx=1處不連續(xù) x tlX>1-lim僅=limx 2 = 1- F2 = 1x 1 xn.lim f x = lim x = 1x1 -xn_f 1 =1所以 limfx =lim f (x)

7、= f即 f(x)在 x=1 處連續(xù) x)1-由(2)得f (x)在除點x=1外均連續(xù)高等數(shù)學基礎作業(yè)2答案:第3章導數(shù)與微分(一)單項選擇題1.設 f(O)=O 且極限 lim 5 存在，則 lim%!= (C) «) <»x x aA. f(O)B. f(O)C-f(x)D. 0 cvx2,設f(x)在x?？蓪?則limh)0B.2hf(x.)C. 2f (x«)D,-f(x-)A. 6 B. 2e C. 6 D. e 244 .設 f(x) =x(x 1 )(x -2). (x -99),貝 uf(O) = (D).A. 99 B. -99C. 99!

8、D. -99!5 .下列結(jié)論中正確的是(C).A.若f(x)在點X。有極限，則在點X。可導.Bf(x)在點X。連續(xù)，則在點X?？蓪?C.若f(x)在點X?？蓪В瑒t在點X。有極限.D.若f(x)在點X。有極限，則在點X。連續(xù).（二）填空題2.x sin- xL設函數(shù)f(x)=<0,貝 i(0)=2,設 f(e, )=e-5ex,則 * = 3 1 dx xx3 .曲線f (x) = jx+1在(1,2)處的切線斜率是k=1o24 .曲線f(x)=sinx在(')處的切線方程是y=1”5 . 設 y = X(三)計算題 .求下列函數(shù)的導數(shù)y'：2 y = (x. x 3)e&

9、#171;3解：xx 3 e x x 3 ex)= (x, 3)e, -xe212sx(6) y = x* -sin xln x解 y = x i isinx In xsin x In x ): =4x.2 sin x x2 3”.貝 u y_=_2xA(1Jn_x)16 .設 y = xlnx.貝 uy = c xIn xX,In x - xdn x 2xln x xIrvxIrvxcosx 2*c x 2<x3 - © x 2*yx( sin x 2* In 2) 3(cosx 2)In x-xtt= sin xin x - xAsin x - in x - x, ss x

10、(- - 2x) -( x - x, )c x xsin xcosxln xsxx3 sxx, 83, (cosx 2x)(sirx x, )8ln33A(8) y = e-tan x In xe«tan x 2解 y = ie-tan x e«tan x In x =cos x x(9) 下列函數(shù)的導數(shù)y:解：y' = (e、) = (e * x) x 222、x y = In cosxe ,1 >sinx .解：y =(sinx)=tanxcosxcos(10) y = . x x xFf 7解：y = X8=8)8仞 y = sirvx解：y = 2si

11、n x sinx = 2sin x cosx = 2sin2x (5) y = sin x解：y =cosx2 2x = 2xcosxxcose222解：y Srsinex ex =- 2xex sine(7) y =sin -x cos nxy = sin-x cosnx sin-x cosnxn-fn=ns xc xc nx-ns xs nx)5sin X解：y* =5-ln5 cosx =ln 5cosx5-cosx(9)y = e解：V = ecosx - sinx .sinxecosx3.在下列方程中，y = y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y*:(1) y cosx = s2y.y

12、sin x解 y cosx - ysin x = 2e yy cosx-2eA=cos yin x1cosy解 y = sin y.y In x cosy. x y ” ：、.,Jx(1 sin y In x)(3) 2xsin y = y解：2xc cy.ys 2s iy n2yxy (2xcosyX,號-2sinyyy= 2xy_-2ysiny一222xy co g x=x In y°y° 醉 y = -1yx e» = y,(。刖解：y = 2yyx'-y 一x(2y-e0(6) y»1 = esin ye-sin y解：2yy =e*co

13、sy.y sin y.ey、2y-e cosyyx2h解：e y = e_3y y(8) y =5X- 2,A.在(a, b)內(nèi)連續(xù)B.在(a, b)內(nèi)可導C.在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導D.在a,b內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導2,函數(shù)f(x)=x?+4x 1的單.調(diào)增加區(qū)間是(D).A.(-二 2)B. (-1,1)C. (2,二)D. (2)3 .函數(shù)y=x+4x5在區(qū)間(6,6)內(nèi)滿足(A).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單.調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升4.函數(shù)f (x)滿足f (x) = 0的點，一定是f (x)的(C ).A.間斷點B.極值點C.駐點D.拐點5,設f(x)在(a

14、, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，x°w(a,b),若f(x)滿足(o,則f(x)在x (取到極小值.A. f (Xo) 0,f (Xo) =0B. f (Xo): 0, f (Xo) = 0C. f(x-) =0,f (x-)0 區(qū)間內(nèi)是(A)D. f (x-) =0,f (x«) : 0A.單調(diào)減少且是凸的B.機調(diào)減少且是凹的C.取調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的6.設f(x)在(a, b )內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù),且f(x)vO, f(x)vO,則f(x)在此(二)填空題1 .設 f (xFE(a, b)內(nèi)可導，xow (at b),M 當 x <Xo 時 f '

15、;(x) v 0 ,當 xaA時 f(x)AO,則x。是f(x)的既I業(yè)點2 .若函數(shù)f (X)在點X。可導，且X。是f(x)的極值點，貝Uf(Xo)=3 .函數(shù)y=ln(1+xO的單調(diào)減少區(qū)間是(,0)24 .函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(0,_二)5 .若函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)恒有f(x)vO,則f(x)在a,b上的最大值是f(a).6 .函數(shù) f(x) =2+5x3X3 的拐點是(0,2) (三)計算題2L求函數(shù)y = (x+1)(x 5)的單調(diào)區(qū)間和極值.2解：令 y=.x-5(x1)2(x-5)=3(x5)(x1)n駐點X=1,X=5列表:極大 值:f (1)=3X(F)1(1,5)5(5*

16、)Fy+00y上升極大值32下降極小值0上升U： d = (x- 2>y2 = . (x- 2>2xAJ.n最小值f=23.求曲線y, =2x上的點，使其到點A(2,0)的距離最短.解：設p(x, y)是y2=2x±的點,d為p到A點的距離，貝2(x- 2) 2Ax-12(x2), 2x (x-2>2x=02,求函數(shù)y=x-2x+3在區(qū)間0,3內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值.解：令：y'=2x 2=0nx=1(駐點)，列表:X(0.1)1(1,3)Fy+0y上升極大值2下降2y =x-2x 3 = x-1f(0) = 3f =6f=2二極值點：f(1 )=2

17、y, =2x上點(1,J2 )或(1,-卷到點A(2,0)的距離最短4. 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解:設園柱體半徑為R,高為園則體SIV = nRAh = JT(b hAh令：V*=A h(-2h) h,=兀F3 卜n L= V3h=0區(qū)=1？-當11=、干=，時其體積最大。33,35. 體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時代面積最小？解：設園柱體半徑為R,高為h,則體積V = AR： h-2V_ZS 表面枳=2 二 Rh 2- R2 = 2R 2%n最大值f(3)=6A./V3V4V令：s =2VR +4nR = On=R3n

18、R=3Jh = 3 2-2-：4V谷：當R=3(Lh=3 一時表面積最大。.2 二.二6.欲做個底為正方形，容積為62.5立方米的於方體開口容琳，怎樣做法用料最省？解：設底長為x,高為h。貝U:5 云 262.562.5 = x h = h =2-x o o 250側(cè)面積為：S=x 4xh = x x.250- 3令 S =2x_ 5°=0=x =125= x =5x答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。(四) 證明題1.當X。時，證明不等式x>ln(1+x).證：在區(qū)間1,1+X il:對函數(shù)f(x)=lnx應用拉格朗日定理，有1 In 1 x Tn1 =x 1 其中1

19、 v-v1+X,故wv1,于是由上式可得xln(1 +x)2.當X。時，證明不等式 x+1.證：設f(x)=e,(x+1)f(x) = ex-1 > 0(當x0時)n當x>0時,f (x)帆調(diào)上升且f (0).f(x)»，即 e« (x 1)高等數(shù)學基礎形考作業(yè)4答案：第5章不定積分 第6章定積分及其應用()單項選擇題L若f(x)的個原函數(shù)是L則f(x)=(D)x1A. In xB.-2xC. 1D. M2.卜'列等式成立的是(D).df (x) = f (x) c.rdr D. f (x)dx = f (x)dxA f (x)dx = f (x)B.d

20、. f (x)dx = f (x)3. 若 f(x) = cosx.則f(x)dx = (B)A. sinx+cB. cosx+cD. -cosx c8. x4(xA)1 3D.f(x)B. 2F (. x) c1D.F( ,x) c.xC. -sinx c4. a Jx2f(x3)dx= (B). dx f(x、)A.1C. 30)5. J f (x)dx = F (x) +c 測 若A. F - x) cC. F(2 .x) c6 .下列無窮限積分收斂的是(D).D.(二)填空題L函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)dxo2 .若函數(shù)F (x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù),則F (x)與G(x

21、)之間有關系式F(x)G(x)=c (常數(shù))。3 .d 1edx =e、。4 . (tan x) dx = tan x c»5 .若 J f (x)dx = cos3x + c,貝 U f(x)= 9cos(3x)»1 516 . (sin x )dx = 3H2一、=17 .右無分積分fdx收斂，W UPAOo1 cosTxJ_11. J1. 2l dx cos d(一) sin cXXXX2. dx = 2 Je.cTx = 2e*x + c x 113. dx =d (In x) = ln(ln x) cxln x In x.1 Bc 1-1.1-1,xsin 2xd

22、x = - - xd cos2x = - - xcos2xcos2xdx = - - xcos2x -sin 2 22224,e3 + Inx e.,1, e5. fdx=J (3 +ln x)d(3+ln x) = -(3+ln x) 1x2-2X6 oxe dx1 -2Xcy/211J. 1 c2oIn2,22 乂 vrlvIn v2-vrlv -21 -2x13c0 -C44e 112(228,14ee1dx =1 VInx ,1, o2xdx =In x +x 1(四)證明題1.證明：若f(x)在a,a士可積并為奇函數(shù)，則f(£)dx = O.a_aaa證：令 x =tf f

23、(x)dx = - f f(t)dt= r f(t)dt = f(t)dt-aaan f(x)dx = f(x)dx n f f(x)dx=O 證畢 _a ._a ._a2. 證明：Af(xHa,a士可積并為偶函數(shù).貝U i fjx)dx = 2 f (x)d證:q f (x)dx = q f(x)dx. if (x)dx令乂=-t,則 Lf(x)dx = af(t)dt=of (t)dt I f (x)是偶函數(shù)q f(x)dx =J f &)dx °f (x)dxaT ef (x)dx - f (x)dx =2 of(x 肉 x證畢y = log ax (a 0, a =

24、1)高等數(shù)學(1)學習輔導(74 .了籍夏春濤數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把個復合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)L理解函數(shù)的概念：掌握函數(shù)y頊X)中符號f()的含義：了解函數(shù)的兩要素：會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值：會判斷兩個函數(shù)是否相等 O兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應關系相同2,了解函數(shù)的主要性質(zhì).即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性 O若對任意X,有f(-O = f(x),則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于*對任意X,有)則伽稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點對數(shù)函數(shù):三角函數(shù)：反三角函數(shù):sin x, cosx, tan x, co

25、txarcsin x, arccosx, arctanx如函數(shù)arctan2 (1 r) y = eU2可以分解y = e, u = v,v = arctanw, w=1 + x。分解后的函數(shù)前三個都是基木初等函數(shù).而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和藉函數(shù)的和<>5 .會列簡單的應用問題的函數(shù)關系式 O例題選解、填空題E。)，則 f(x)=3,熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形基本初等函數(shù)是指以下幾種類型:常數(shù)函數(shù):藉函數(shù):=x° （a為實數(shù)）指數(shù)函數(shù)：y = a(aO,a=1)t= x=l解：龍X,則tf (x)=, 5_x2 .函數(shù)n(x2) 二 的定義域

26、是解：對函數(shù)的第一項，要求x20且In (x2) #0,即x>2且x#3：時函數(shù)的第二項，要求5-x芝。，即xv5。取公共部分，得函數(shù)定義域為(2,3) J (3,5。3 .函數(shù)f (x)的定義域為QU,則f Cnx)的定義域是 f (%)有意義，必須使Ovlnx”由此得Wnx)定義域為1,e » 解：要使xi-9y4.函數(shù)x-3的定義域為x*-9*3C2 C J-、解：要使x3有意義，必須滿足x_9芝。且x30,即Ix*3成立,x 3 或 x - -3對稱解不等式方程組，得出4*故得出函數(shù)的定義域為d% (3M°，則函數(shù)的圖形關于解：明的定義域為(一虬+勺，且有即&

27、amp;X)是偶函數(shù)，故圖形關于 v軸對稱。二、帆項選擇題L下列各對函數(shù)中，()是相同的。A, f (x) = Xg(x)= x.B f (x) = In x , g(x) = 2ln x .Wx)=, g(x) = x 3Cf (x) =lnx , g(x) =3ln x .D.解：A中兩函數(shù)的對應關系不同B, D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以AB, D都不是正確的選項；而選項C中的函數(shù)定義域相等，且對應關系相同，故選項C正確。2.設函數(shù)的的定義域為(9, +勺，則函數(shù)(- x)的圖形關于0對稱。A.y = X：B.x軸：C.y軸：D.坐標原點解：設F (x) = f(x) f(

28、X),則對任意X有F(_x) = f(_x- f( - (-x) = f(-x)-f(x)= (f(x-f(-x) =-F(x)即F(x)是奇函數(shù)，故圖形關于原點對稱。選項D正確。3,設函數(shù)f(x)的定義域是全體實數(shù)，則函數(shù)f(x),f(-x)是0A.單調(diào)減函數(shù)：B.有界函數(shù)：C.偶函數(shù)：D.周期函數(shù)解：A, B, D三個選項都不定滿足。設F(x)=f(x), f(X),則對任意x有F( - x) = f(-x) f (-(-x) = f ( - x), f (x) = f (x) f(-x) = F (x)Iim(1 -=e iim( 1 x)=e X*X(或T重要極限的般形式：limti

29、回=1:.其(x)若f (X)在點乂 = 的左、右極限有個不存在，則乂=乂。稱為f (X)的第二類間斷 點。6.理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。>lim (1 g(x)二 eg(x)(或g(*)TsM)典型例題解析利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運算法則，如.sin x nm x-fsin3xsinx lim sx =1sin3x 3 lim Mxx2x mi)(1 2> =lim x_ 2m

30、 耽【(1 x 廣 1 x(1)T x=)» x、填空題2.x sin-lim1 .極限 zsinx2cr,x sin-x1 Xlim=lim(xsin ) = lim xsin lim-解：zsinx用 x sin x zsin x1 X祐 =oi=o5.理解函數(shù)連續(xù)性的定義：會判斷函數(shù)在點的連續(xù)性：會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：r 解函數(shù)間斷點的概念：會對函數(shù)的間斷點進行分類。間斷點的分類：lim xsim = 0 xTX(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量)X 1 limXT sin x I sir?xsi,x limsin x lim八 I Oil I A I Ol I I Ay.XXA

31、，其中i°x=1是第個重要極限。已知點X=X。是的間斷點,若f(X)在點XK的左、右極限都存在，則X=X0為f (X)的第類間斷點:1 xsinf(x)= <2.函 數(shù)x 二 0XO的間斷點是因為1 lim xsin -x1)=1 f(0)=1«»- x所以函數(shù)X)在x=。處是間斷的，又f(x)在。)和匕少都是連續(xù)的，故函數(shù)0)的間斷點是x = 0。23. 4. 5. 6.設 f(x)=x-3x2,Ri| f f(x)=c解：由也)是分段函數(shù)，x=0是的的分段點，考慮函數(shù)在x = 0處的連續(xù)性。解：f似)="-3,故f f (x) =(2x -3)

32、2-3(2x -3) 2 =4x«-18x 20-2、7.函數(shù)y印4+x)的單調(diào)增加區(qū)間是二、刑項選擇題 1f (x) = xsin L函數(shù)x在點x=o處0.lim xsin- = 0“X （無窮小量乂有界變量=無窮小量）故選項B正確。2.下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量.A.eA(xT 叨:sinxB.XC. In(1 +X),(XT1).解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以sin x nmr： x而A, C, D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。三、計算應用題A.有定義且有極限:B.無定義但有極限C.有定義但無極 限：D.無定義且無極限解：0）在點x = 0

33、處沒有定義, 但x -3x 2 x -11limlim4x-12="x6(1 = x 3. <x-1>=limlim ()= lim (n.二 3 xn_-x -1 J' x 3(1啊(二)3 33忡 Cd ir(3)題目所給極限式分廣的最高次項為10515x(2x) =32x分母的最高次項為12 X,由'此得105(x-1)W2x 3),32hm 12(x-2) 1512(4)當XT 0時，分上、分母的極限均為。，所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第個重要極限計算，卻m旦匕匹一H.)»sin 3x( d - x -1)

34、1 -x-1sin 3x(-1 - x 1)lim .,”sin3x( 1 -5 1)土言肺;頊3 x»sin 3xx). -1 _x 13262 .設函 數(shù)xsin x x a sin x ox=0有極限存在？x 0問(i) m為何值時，心)在x=0處lim f (x) = lim f (x) x)o-x J o-(2), b為何值時,0)在x=0處連續(xù)?解：(1)要，(x)在x=。姓有極限存在，即要lim f (x) = ii Fh:=1X)0hx>0bX,1lim f (x) = lim (xsin b) = b 因為 XT-X-X處有極所以，當b=1時，有懼啊=螞f(x

35、)成立，即b=1時，函數(shù)在x存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關.所以此時(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是lim f (x) = lim f (x= f (x0) X-于是有b =1 = f (0) = a,即a = b= 1時函數(shù)在x = 0處連續(xù)。第三章導數(shù)與微分導數(shù)與微分這章是我們課程的學習重點之。在學習的時候要側(cè)重以下幾點:l理解導數(shù)的概念：r解導數(shù)的幾何意義：會求曲線的切線和法線：會用定義計算 簡 單函數(shù)的導數(shù)：知道可導與連續(xù)的關系“X）在點x=x。處可導是指極限 lim, -X-.0存在，且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。導數(shù)的定義式還可寫成極

36、限lim也二些XXo函數(shù)二）在點X=X, 姓的導數(shù)，構的幾何意義是曲線y二"X）上點（砂.）處切線的斜率曲線=f（X）茬點版，吸）處的切線方程為(Xo) (X-Xo) f (Xo),“ =f （x）在X。點可導，則在&點連續(xù)。反之則不然，函數(shù)y = Nx）在治點 連函數(shù) 續(xù)，在點不一定可導02, 了解微分的概念：知道階微分形式不變性3.熟記導數(shù)基木公式，熟練掌握下列求導方 法（1）導數(shù)的四則運算法則（2）復合函數(shù)求導法則(3)隱函數(shù)求導方法(4)對數(shù)求導方法(5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導法正確的采用求導方法有助于我們的導數(shù)計算，如般當函數(shù)式達式中有乘除關系或根式時，求導時采用取對

37、數(shù)求導法，y=vX”h例如函數(shù)7x,求V。在求導時直接用導數(shù)的除法法則是可以的，但是計算時會麻煩些，而且容易出錯 O如果我們把函數(shù)先進行變形，即(x-1>x2-2x 1rx=M再用導數(shù)的加法法則計算其導數(shù)，于是有這樣計算不但簡單而且不易出錯 OX1»»3x又例如函數(shù)求y 顯然直接求導比較麻煩，可采用取對數(shù)求導法，將上式兩端取對微得1（X2）.兩端求導得匕 1y-2(x1)3(x -2)整理后便可得x 1 x-8V-co.X -2 6(x - x - 2)若函數(shù)由參數(shù)方程；xK(t):y=%t)的形式給出，則有導數(shù)公式dy_、dx : (t)能夠熟練地利用導數(shù)基木公式和

38、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算函數(shù)的導數(shù).能夠利用隱函數(shù)求導法，取對數(shù)求導法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導數(shù)。4熟練掌握微分運算法則微分四則運算法則與導數(shù)四則運算法則類似階微分形式的不變性d(u -v) =du -dvd(u v) = vdu udv,u、vdu udv d(-)=2 (v=0)V Vdy = ywdx = yu Uxdx = yudu微分的計算可以歸結(jié)為導數(shù)的計算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。6.了解高階導數(shù)的概念：會求顯函數(shù)的二階導數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導數(shù)就要先求函數(shù)的階導數(shù)。要求

39、函數(shù)的n階導數(shù)就要先求函數(shù)的n-1階導數(shù)。笫三章導數(shù)與微分典型例題選解、填空題1 y =2 ,曲線3X空點(1,1)處切線的斜率是1 ,設函數(shù)Rx)在x=0鄰近有定義,且f (0) = 0, f(0) = 1 ,則liMTx »lim 里=亞2AH(0) = 1解：x)oxx)0x-0故應填1。解：由導數(shù)的幾何意義知，曲線f(x)在x=x。處切線的斜率是。(XQ,即為函數(shù)在該點處的導數(shù)，于是故應填2o3設 f(x)= Jx+5,則 ff*(x)=解:NX"，故f f(x) =(2x -4)2-4(2*4) 5 =4x-24x 37.2故應填X24X37二、帆項選擇題L設函數(shù)

40、腿二妒，則1淳4x-2A.D不存在2x：， f(x).f(2)且 f (x) =zlimx-2 =f(2)解：因為g所以2)=么1f (J=x=(xy Mx 祝 7A. xB.xC.D. x解：先要求出nx），再求f(x)因為即選項D正確。f(x) = (x1)x(x-1)(x- 2)則 f e)=A.O;D.-2f(x) = x(x-1 )(x-2) (x 1 )(x-1 )(x- 2) (x 1 )x(x- 2) (x 1 )x(x-1)s中的三項當x = 0時為0,所以f(0) =(0 1)(0-1)(0-2) = 2故選項c正確。4 .曲線y = x二在點。處的切線斜率等于0。A.B.

41、(LO)；D (T,0)5 .二令y=.得X = 0。而舛）=一1,故選項C正確。解：y =1 e5y=sinx2,則 V).A. cosx： :B. -cosxz:C. 2xcosx： : D.2xcosx,2/22解. y = cosx (x ) =2xcosx故選項c正確。三、計算應用題E嘰里£尸曲2叫2，求七解：(1)由導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則由此得,2dyL= co&22 .設y = "Be也).其中你)為可微函數(shù)，求y解 y 二f(e*)e“-f(e)e 呵=f (e-)e« e«f(e«)eC!f(x)J (e&

42、#171;)e-e«o- f(e-)e<-»f (x)=冷 f(e«)f(x)求復合函數(shù)的導數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復合構成，即復合函數(shù)是由哪些基 本初等函數(shù)復合而成的特別要分清復合函數(shù)的復合層次，然后由外層開 始，逐層使用復合函數(shù)求導公式，層層求導，關鍵是不要遺漏.最后化筒3 .設函數(shù)y = y(x)由方程vmy確定，求瓦。解：方法：等式兩端對X求導得-y y y - xy y xy y e = 2-xy整理得2yxy2yx y xye x方法二：由階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端=d(xy e») =d(xy) d(eA) = yd

43、x xdy e«dy=d(")QdQ)只生迪右端yxyxy由此得.y ydx xdy ydx + xdy + e Ayj=整理得取冷 ArAyey + x4,設函數(shù)丫=1)由參數(shù)方程dy確定，求dx。解由參數(shù)求導法dydX EK25 設 y =(Mx2)afctanxt 求2、1y = 2xarctanx (1 x )*= 2xarctanx 1解1 -X=(zxarcianx i) =zarcianx第四章導數(shù)的應用典型例題、填空題1 ,函數(shù)ym (ix)的單調(diào)增加區(qū)間是2Xy = -2c/c解：1+x,當x>0時y<。.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(q,。)In

44、x lim-2.極限7 1-x解：由洛必達法則斜mf(1 刈 X/I11 X X f(x)=ti (e« e)2 的極小值點為3.函數(shù)f(x)小解：2但)令f,x) = O,解得駐點x=。,又XV。時，代x)v。：xAO 時，(x)A。,所以X = 0是函數(shù)f(x)(e /)2的極小值X1在區(qū)間左】上是（A）單調(diào)增加B）單調(diào)減少C）先單.調(diào)增加再單調(diào)減少D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇D/ = 2x,x<0W, M（x）<0；當 x>0 時 J（x）>0：所以在區(qū)間-2,2上函數(shù)y -x 1先帆調(diào)減少再單調(diào)增加。2 .若函數(shù)y = f （x）滿足條件C，則在（

45、a,b）內(nèi)至少存在點土（a<£<b）,使得f （） f （） f （a）f （） b -a成立。A）在: b）內(nèi)連續(xù)：B）在:b）內(nèi)可導：C）在S, b）內(nèi)連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導：d）在（a, b）內(nèi)連續(xù)，在（氣b）內(nèi)可導。解：選擇D。由拉格朗日定埋條件.函數(shù)僅）在&由內(nèi)連續(xù)，在（8,b）內(nèi)可導，所以選擇D正確。3 .滿足方程f8=0的點是函數(shù)y = f （X）的（）oA）極值點B）拐點C）駐點D）間斷點解：選擇c。依駐點定義，函數(shù)的駐點是使函數(shù)階導數(shù)為零的點。4 .設函數(shù)任）在（氣b）內(nèi)連續(xù)，"B,b）,且f, （X= ） = （3） =0,則函數(shù)

46、在x=x。B）取得極小值A）取得極大值C） 一定有拐點）D）可能有極值，也可能有拐點解：選擇D函數(shù)的階導數(shù)為零，說明X?？赡苁呛瘮?shù)的極值點：函數(shù)的二階導數(shù)為零，說明X?？?能是函數(shù)的拐點，所以選擇D。三、解答題1 .計算題求函數(shù)y = xIn（1+Q的單.調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)y = xlnJx）的定義區(qū)間為（1.勺，由于1 X= 1 X 1 X令蛆=° .解得X-,這樣可以將定義區(qū)間分成（T,。）和。，*藝）兩個區(qū)間來討論。當 J（x<。時，尸<0：當 o<x<+* 是，V、°。由此得出，函g （y = xTM在（ 7,。）內(nèi)單調(diào)遞減，在，*勺內(nèi)單調(diào)增加

47、。2 .應用題欲做個底為正方形，容積為108 B方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？解：設底邊邊長為X,高為h,所用材料為y108 h =108, h=x： 4xh=xz4x108 = x,432x2-xXc-432 2x -432=2x2 x令 y' = 0 得 2 (x,-216) =0n x=6,且因為XA6, y%0; xv65 y, V。,所以x = 6, y=108為最小值.此時h=3。于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。3 .證明題：當XA1時，證明不等式xe xe證設函數(shù)心）=岫，因為徊在（0,+氣上連續(xù)可導，所以心）在（1,x上 滿足拉格朗日中值

48、定理條件，有公式可得兩邊同時取以e為底的指數(shù)，有所以當XA1時，有不等式第5章學習輔導（2）典型例題解析、填空題1 .曲線在任意點處的切線斜率為2X.且曲線過點（2,以則曲線方程為萬 2xdx = x»c 解：，即曲線萬程為yx2*Cc將點（2,5）代入得c=1,所求曲其中1 VCVX,即又由于C>1,有c故有1In x Tn 1 = (x T) c線方程為y = X2 12,已知函數(shù)心）的個原函數(shù)是浙湘弗七則板）二2、2xf (x) = (arctan x )=:解：IXf2x2 (1 x, ) -8x, _2-6x(X)(1x)f (ax b)dx =4、2 4、21 x

49、(1 x)3.已知(x)是，(x)的個原函數(shù)，那么1 f(ax b)d(ax b) a1解：用湊微分法f (ax b)dx =- a 1 Kaxb)d(ax>-1=F (ax b) = F (ax b) c a二、單項選擇題f (x)dx =xln x c .f (x) 口 ,則1 .設啷。A.B.lnx+1 ；Inx；C.x 解：因Xf (x) = (xln x) = In x = In x 1 x故選項A正確2.設F (x)是Hx)的個原函數(shù).則等式()成d立.F (x)dx = f(x) cj1 (. f(x)dx) =F(x) A.女F (x)dx= F(x) AA/.F (x)dx = F(x) c故選項D正確.D.dx 叫解：正確的等式關系是 ?(f(x)dx)=f(x) dx3,設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則M(LxRx= ()oA. C:12D. F(x) + cF(1 -x) c C.2 解：由復合函數(shù)求導法則得故選項C正確.二、計算題1 .計算下列積分dx乂 2- dX,1X解：利用第,換元法2- dx :1 -x 2d -xd(x):2- d(1 -x)=-d(. 1 X2) = . 1 X,利用第二換元法，設乂=驢 dx =costdt1 cost cost 乙 Lx=1 -sin ddt