上?！緮?shù)學】數(shù)學平行四邊形的專項培優(yōu)練習題

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們 解決幾何問題的途徑之一.例如：張老師給小聰提出這樣一個問題：如圖1,在 ABC中，AB=3, AD=6,問 ABC的高AD與CE的比是多少？小聰?shù)挠嬎闼悸肥牵焊鶕?jù)題意得：Sa abc=-BC*AD=1aB*CE.22A。 1從而得2AD=CE, =-CE 2請運用上述材料中所積累的經驗和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2,在"ABCD中，點E、F分別在AD, CD上，且AF=CE,并相交于點0,連接BE、BF,求證：B0平分角AOC.（2）（探究延

2、伸）如圖3,已知直線mH n,點A、C是直線m上兩點，點B、D是直線n上兩點，點P是線 段CD中點，且NAPB=90°,兩平行線m、n間的距離為4.求證：PAPB=2AB.（3）（遷移應用）如圖4, E為AB邊上一點，ED±ADt CE±CB,垂足分別為D, C, N DABN B.AB二/，BC=2, AC=J訪，又己知M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN.求【答案】（1）見解析：（2）見解析：（3） 5+J五【解析】分析：（1）、根據(jù)平行四邊形的性質得出 ABF和4BCE的面積相等，過點B作OGJLAF于G, OH_LCE于H,從而得出AF=CE,然后

3、證明 BOG和 BOH全等，從而得出Z BOG=Z BOH,即角平分線；、過點P作PG_Ln于G,交m于F,根據(jù)平行線的性質得 出 CPF和 DPG全等，延長BP交AC于E,證明 CPE和 DPB全等，根據(jù)等積法得出 AB=-i-APxPB,從而得出答案；（3）、，延長AD, BC交于點G,過點A作AF_LBC于F,設CF=x,根據(jù)ABF和RS ACF的勾股定理得出x的值，根據(jù)等積法得出AE=2DM=2EM, BE=2CN=2EN, DM+CN=-AB,從而得出兩個三角形的周長之和.同理：EM+EN=AB詳解：證明：（1）如圖2,四邊形ABCD是平行四邊形，Sa abf=Sa bce，過點 B

4、 作 OGJLAF 于 G, OH_LCE 于 H, Sa abf=AFxBG, Sa bce=ExBH,.、FxBG=4<ExBH,即：AFxBG=CExBH, T AF=CE, /. BG=BH,在 RtA BOG 和 RtA BOH 中，<BO二BO, RtA BOG合 RtA BOH, /. Z BOG=Z BOH, BG=BH /. OB 平分N AOC,(2)如圖 3,過點 P 作 PGJLn 于 G,交 m 于 F, V mH n,，PFJLAC,/. Z CFP=Z BGP=90°, ,點 P 是 CD 中點,r NCFP 二 NDGP在 CPF 和 DP

5、G 中， CP二DP,. CPF2 DPG,. PF=PG=yFG=2,/CPF = NDPG延長 BP 交 AC 于 E, / mil n, /. Z ECP=Z BDP, CP=DP,ZECP=ZBDP在 CPE 和 DPB 中，( CP=DP，. CPE合 DPB, PE=PBtZcpe=ZdpbN APB=90°,AE=AB« ape=S«apb，Sa ape="AExPF=AE=AB. Sa apb=w-APxPB, 乙/. AB二;APxPB. 即：PAPB=2AB：(3)如圖 4,延長 AD, BC 交于點 G, / Z BAD=Z B,/

6、. AG=BG,過點 A 作 AF_LBC 于 F,設 CF=x (x>0) , /. BF=BC+CF=x+2, 在 RtaABF 中,AB=V,根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2 - BF2=34 - (x+2)2,在R3ACF中，AC仆質, 根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2 - CF2=26 - x2,.34 - (x+2) 2=26 -x2,. x= - 1 (舍)或 x=1, /. AF=26-y2=5*連接 EG, 丁 Sa abg=7tBGxAF=Sa aeg+Sa BEGAGxDE-ni-BGxCEBG (DE+CE), 乙JLa/. DE+CE=AF=5, 在 RtA ADE

7、 中，點 M 是 AE 的中點，AE=2DM=2EMf,AB,同理：BE=2CN=2EN, 丁 AB=AE+BE, /. 2DM+2CN=AB. /. DM+CN=-1 乙同理：EM+EN=-AB DEM 與 CEN 的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN= (DE+CE)+ (DM+CN) + (EM+EN) =(DE+CN) +AB=5+/34.點睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質以及三角形的等積法，綜合性非常 強，難度較大.在解決這個問題的關犍就是作出輔助線，然后根據(jù)勾股定理和三角形全等 得出各個線段之間的關系.2.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點

8、（點G與C、D不重合），以 CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG, DE.（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明； 將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度a,得到如圖2情形.請 你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a, BC=b, CE=ka, CG=kb （aHb, k> 0）,第（1）題中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理 由.(3)在第(2)題圖 4 中，連接 DG、BE,且 a=3, b=2, k=-

9、,求 BE2+DG2的值. 2【答案】(2)BG_LDE, BG=DE：BG_LDE,證明見解析：(2) BG_LDE,證明見解 析：(3) 16.25.【解析】分析：(1)根據(jù)正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90。即可得到三角形DCE, 從而判斷兩條直線之間的關系：結合正方形的性質，根據(jù)SAS仍然能夠判定4BCG合 DCE,從而證明結論：(2)根據(jù)兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到 (1)中的位置關系仍然成立；(3)連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG?轉換為兩個矩形的長、寬平方和. 詳解：(1)BG_LDE, BG=DE：四邊形ABCD

10、和四邊形CEFG是正方形，/. BC=DC, CG=CE, Z BCD=Z ECG=90%/. Z BCG=Z DCE, /. BCGW DCE, /. BG=DE, Z CBG=Z CDE, 又/ Z CBG+Z BHC=90°,J Z CDE+Z DHG=90°, ；BG±DE.(2) / AB=a> BC=b, CE=ka, CG=kb,BC CG b DC- CE *又；Z BCG=Z DCE, BCG -DCE, /. Z CBG=Z CDE, 又；Z CBG+Z BHC=90% /. Z CDE+Z DHG=90°,/. BG±

11、;DE.(3)連接 BE、DG.根據(jù)題意,得 AB=3, BC=2, CE=15 CG=1,BG±DE, Z BCD=Z ECG=90°/. BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG 2=9+4+2.25+l=16.25,點睛：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定 理.3.如圖，在等腰中，N84C = 90 ,點E在AC上(且不與點4 c重合)， 在zMBC的外部作等腰使NCEO = 90，連接A。，分別以A8, /W為鄰邊 作平行四邊形48FD,連接AF.(1)請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關系；將久。

12、繞點C逆時針旋轉，當點E在線段8c上時，如圖，連接4E,請判斷 線段4F，AE的數(shù)量關系，并證明你的結論；若A8 = 26, CE = 2,在圖的基礎上將aCEO繞點C繼續(xù)逆時針旋轉一周的過 程中，當平行四邊形A8FD為菱形時，直接寫出線段八£的長度.【答案】 證明見解析； AF = x/?AE4忘或2VL【解析】【分析】(1)如圖中，結論：AF = "E，只要證明AEF是等腰直角三角形即可；(2)如圖中，結論：AF = 5/1E，連接EF, DF交BC于K,先證明EKF二.EDA再證明aAEF是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當AD = AC時，四邊形ABFD是

13、菱形上、如圖中當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】(1)如圖中，結論：af=JTae.圖理由：四邊形ABFD是平行四邊形，.AB = DF, vAB = AC, /. AC = DF, vDE = EC, .AE = EF，/DEC = NAEF = 90'，.AEF是等腰直角三角形， AF = &AE -故答案為af=(2)如圖中，結論：AF = V2AE.圖理由：連接EF, DF交BC于K.四邊形ABFD是平行四邊形，.-.AB/DF,NDKE = NABC = 45。，."KF=180 4KE = 135'，EK = ED,NA

14、DE = 180 - "DC = 180 -45° = 135'，.4KF=ZADE,NDKC = NC ,.DK = DC，vDF=AB = AC,/.KF = AD.在.EKF和aEDA中, EK = ED< ZEKF = ZADE , KF=AD. .EKF 2 aEDA ».-.EF = EA, KEF=/AED,. FEA = /BED = 90，.AEF是等腰直角三角形，AF = V2AE.如圖中，當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD于H,易知EH = DH = CH = K AH = 426）2 （點）2 = 3&qu

15、ot;，AE = AH + EH = 4x/2，如圖中當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形，易知AE = AH-EH = 30-& = 2忘，圖綜上所述，滿足條件的AE的長為4或2&.【點睛本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行 四邊形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找 全等的條件是解題的難點，屬于中考?？碱}型.4.如圖，四邊形48CD中，對角線AC、8。相交于點O, A0=C0, B0=D0,且N A8C+N ADC=180(1)求證：四邊形48C。是矩形.(2)若N ADF： Z FDC=3：

16、 2, DF±AC.求N 8DF 的度數(shù).【答案】見解析：(2) 18?！窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出NABC=90。，根據(jù)矩形 的判定得出即可：(2)求出NFDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理求出NDC0,根據(jù)矩形的性質得出 0D=0C,求出NCD0,即可求出答案.【詳解】(1)證明：A0=C0, B0=D0/.四邊形ABCD是平行四邊形， Z ABC=Z ADC, / Z ABC+Z ADC=180% . Z ABC=Z ADC=90°,四邊形ABCD是矩形；(2)解：NADC=90°, Z ADF： Z FDC=

17、3： 2, . Z FDC=36°,; DF±AC,/. Z DCO=90° - 36°=54% 四邊形ABCD是矩形，OC=OD,Z ODC=54°Z BDF=Z ODC - Z FDC=18°.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推 理是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.5.如圖(1)在正方形八8CD中，點E是CD邊上一動點，連接4日作8FJ_4E,垂足為G交4。于F（1）求證:AF=DE；（2）連接DG,若0G平分NEGF,如圖（2）,求證：點

18、E是C。中點;（3）在（2）的條件下，連接CG,如圖（3）,求證：CG=CD.【答案】（1）見解析：（2）見解析；（3） CG = CD,見解析.【解析】【分析】（1）證明 BAF合 ADE （ASA）即可解決問題.（2）過點D作DM_LGF, DN_LGE,垂足分別為點M, N.想辦法證明AF = DF,即可解決 問題.（3）延長AE, BC交于點P,由（2）知DE = CD,利用直角三角形斜邊中線的性質，只要 證明BC = CP即可.【詳解】（1）證明：如圖1中，圖1在正方形 ABCD 中，AB=AD, Z BAD = Z D = 90°,Z 2+Z 3=90°又二 B

19、F±AE,. Z AGB=90°. Z 1+Z 2=90%/. Z 1 = Z 3心BAF與 ADE中，Z 1=Z 3 BA=AD Z BAF=Z D, BAF合 ADE (ASA)/. AF = DE.(2)證明：過點D作DMJ_GF, DN±GE,垂足分別為點M, N.圖2由（1）得N1 = N3, Z BGA = Z AND = 90% AB=AD:, & BAG合 4 ADN （AAS）/. AG = DN,又 DG 平分NEGF, DMJLGF, DNJ_GE,/. DM = DN,DM=AG,又NAFG = NDFM, Z AGF = Z DM

20、F/. AFGW DFM （AAS）,11/. AF = DF = DE=-AD=-CD,22即點E是CD的中點.（3）延長AE, BC交于點P,由（2）知DE = CD,N ADE = N ECP = 90°, Z DEA = Z CEP, ADE級 a PCE (ASA), AE = PE,又 CEII AB,. BC=PC,在 RtA BGP 中，: BC=PC,1CG= - BP=BC,2CG=CD.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性 質定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關犍是正確尋找全等三角形解決問 題，屬于中考

21、壓軸題.6. (1)(問題發(fā)現(xiàn))如圖1,在R3 48C中，AB=AC=2f Z BAC=90°t點。為8c的中點，以CD為一邊作正方形CDEF,點E恰好與點人重合，則線段8E與4F的數(shù)量關系為（2）（拓展研窕）在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接8E, CE, AF,線段8E與好的數(shù)量關系有無變化？清僅就圖2的情形給出證明：（3）（問題發(fā)現(xiàn)）【答案】（1） BE=JAF： （2）無變化：（3） AF的長為-1或JJ+1.【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD=& ,再得出BE=AB=2,即可得出 結論：（2）先利用三角函數(shù)得出£2

22、=走，同理得出 1=42,夾角相等即可得出 CB 2CE 2 ACF- BCE,進而得出結論：（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2,先利用勾股定理求出 EF=CF=AD=&, BF=娓，即可得出BE=# -JI，借助（2）得出的結論，當點E在線 段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論.試題解析：（1）在RS ABC中,AB=AC=2,根據(jù)勾股定理得，BC= 72 AB=272 »點 D 為 BC 的中點，.AD=；BC=0',四邊形 CDEF 是正方形，. AF=EF=AD= ,BE=AB=2,BE=JjAF,故答案為be=JJaf：（2）無變化

23、：如圖 2,在 RS ABC 中，AB=AC=2,/. Z ABC=Z ACB=45°,.CA a/2sinZ ABC=,CB 2在正方形 CDEF 中，N FEC=L/ FED=45。, 2在 R3CEF 中，sinNFEC二竺=正，CE 2CF - CAcecb'Z FCE=Z ACB=45/. N FCE - N ACE=Z ACB - N ACE, /. Z FCA=Z ECB,BE CB l_ = _=V2.-.BE=72AF,線段BE與AF的數(shù)量關系無變化； （3）當點E在線段AF上時，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD=72在 R3BCF 中，CF=右，BC=

24、2 點，根據(jù)勾股定理得，BF=痣，/. BE=BF-EF=而-a 由知，BE=72 AF,小二6-1,當點E在線段BF的延長線上時，如圖3,在 R3 ABC 中，AB=AC=2, /. Z ABC=Z ACB=45°, sinN ABC=口=正， CB 2在正方形 CDEF 中，Z FEC=-Z FED=45", 2在 R3CEF 中，sinZ FEC=CF y/2. CF CACE 2CE CB'：Z FCE=Z ACB=45% ?. Z FCB+Z ACB=Z FCB+Z FCE, /. Z FCA=Z ECB,/. ACF BCE,BE _CBAF - CA=

25、 y/2，BE=&AF，由（1）知，CF=EF=CD= 7? t在 RtBCF 中，CF二 JJ, BC=2 0根據(jù)勾股定理得，BF=而，/. BE=BF+EF=J + JJ,由（2）知，BE二&AF,.AF二逐十L即：當正方形CDEF旋轉到B, E, F三點共線時候，線段AF的長為-1或JJ+1.7 .如圖所示，矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，使CE=AC,連接AE,點F是AE的 中點，連接BF、DF,求證：BFJLDF.【答案】見解析.【解析】【分析】延長8F,交04的延長線于點M,連接8D,進而求證 AFA色 EFB,得4M=8£, FB=FM,即可求得8

26、c+8E=A0+AM,進而求得8D=8M,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可求證8F_LD£【詳解】延長8F,交DA的延長線于點M,連接8D.四邊形 ABCD 是矩形，MDII 8C, /. Z AMF=A EBF, Z E=Z MAF,又 FA=FE.：. AFM EFB, ：. AM=BE, FB=FM.,/ 矩形 48CD 中,/. AC=BD9 AD=BC, ：. 8C+8E=4D+AM,即 CE=MD. CE二AC, ：. AC=CE= BD =DM.本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和對應邊相等的性質，等腰三角形三線合一的 性質，本題中求證。8=DM是解題的關鍵.8 .

27、正方形ABCD,點E在邊BC上，點F在對角線AC上，連AE.如圖 1,連 EF,若 EFJ_AC, 4AF=3AC, AB=4,求 AEF 的周長；如圖2,若AF=AB,過點F作FG_LAC交CD于G,點H在線段FG上（不與端點重合）, 連 AH.若NEAH=45°,求證：EC=HG+&FC.【答案】（1）26+ 4應；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)由正方形性質得出 A8 = 8C=CD=4D=4, N 8 = N。=90。，Z ACB=Z. ACD=Z BAC= N4CD=450,得出入。=點八8=4點，求出 4F=3 點，CF=AC - AF= 72 > 求

28、出 CEF 是等腰直角三角形，得出"=8=忘，C£=CF=2,在RSAEF中，由勾股定理求出 AE,即可得出AAEF的周長：(2)延長GF交8c于連接4G,則 CGM和 CFG是等腰直角三角形，得出CM = CG, CG=&CF,證出 8M=DG,證明 RS AFG合 R3 4DG 得出 FG=DG, 8M = FG,再證 明八8£合4人田，得出8£=由，即可得出結論.【詳解】(1).四邊形A8CD是正方形，/. AB = BC=CD=AD=4, N B=Z D=90°, Z ACB=Z ACD=Z BAC=Z CD=45°,

29、*=必8=4點，44F=34C=12&,AF=3 垃,：.CF=AC - AF= & ,/ EF±AC,. CEF是等腰直角三角形，/. EF=CF= 72 > CE=y/2CF=2,在RSAEF中，由勾股定理得：AE= <AF? + EF? = 2下， AEF 的周長=4E+EF+4F=2/+&+ 3& = 26 + 4點：(2)證明：延長GF交8c于M,連接AG,如圖2所示：則4CGM #n CFG是等腰直角三角形, CM=CG. CG= y/2 CF.：.BM=DG,9：AF=AB,：.AF=AD.在 RS 4FG 和 RS ADG

30、中，AG = AGAF = AD：.RtA AFG RtA ADG (HL),；,FG=DG, ：. BM=FG,，Z BAE= FAH,FG±AC9 ，N AFH=90°, 在 ABE和 AFH中,ZB = /AFH = 90°AB = AFZBAE = ZFAH ABE 4 AFH (ASA), , BE=FH, ：BM=BE+EM, FG = FH+HG, >.EM=HG, ; EC=EM+CM, CM=CG=尬 CF,：.EC=HG+尬 FC.【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾 股定理等知識：熟練掌

31、握等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵.9.如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF±EC,且EF=EC.(1)求證： AEF合 DCE.(2)若DE=4cm,矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.(2) 6cm.分析：(1)根據(jù)EF±CE,求證N AEF=Z ECD.再利用AAS即可求證4 AEF DCE.(2)利用全等三角形的性質，對應邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm,即可求得 AE的長.詳解：(1)證明：.EF_LCE, ：.Z FEC=90°, /. Z AEF+Z DEC=90°,而N E

32、CD+Z DEC=90 /. Z AEF=Z ECD.在 R3 AEF 和 DEC 中,Z FAE=Z EDC=90% Z AEF=Z ECD, EF=EC./. AEF合 DCE.(2)解：A AEF合 DCE.AE=CD.AD=AE+4.,矩形ABCD的周長為32cm, 2 (AE+AE+4) =32.解得，AE=6 (cm).答：AE的長為6cm.點睛：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和矩形的性質等知識點的理解和掌 握，難易程度適中，是一道很典型的題目.10.已知一次函數(shù)y=(x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,以線段AB為直角邊在(2)將a ABC繞點B逆時針旋轉，當A

33、C與x軸平行時，則點A的坐標是當旋轉角為90。時，得到ABDE,如圖2所示，求過B、D兩點直線的函數(shù)關系式.在的條件下，旋轉過程中AC掃過的圖形的面積是多少？(3)將 ABC向右平移到ABU的位置，點U為直線AB上的一點，請直接寫出 ABC掃 過的圖形的面積.【答案】(1)： 5； 5&:4(2)(0. -2)：直線BD的解析式為y=- -x+3：3s=二(3) ABC掃過的面積為二二.46【解析】試題分析：(1)根據(jù)坐標軸上的點的坐標特征，結合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點的 坐標，利用勾股定理即可解答；(2)因為 B (0, 3),所以 OB=3,所以 AB=5,所以 AO=AB-BO=5-3=2,所以 A (0,- 2);過點C作CFJ_OA與點F,證明AAOB二ACFA,得到點C的坐標，求出直線AC解析 式，根據(jù)ACII