離散時間系統(tǒng)的時域與頻域分析

1、信號與系統(tǒng) 第五章 離散時間系統(tǒng)的時域與頻域分析w 5.1 離散時間系統(tǒng) w5.2 離散時間系統(tǒng)的時域分析隨著計算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用和通信技術(shù)向數(shù)字化方向迅速發(fā)展，要求傳輸和處理的離散信號日益增多，因此有必要討論離散時間信號和離散時間系統(tǒng)的分析方法。在信號處理和離散系統(tǒng)的研究中，人們開始用數(shù)字信號處理的觀點(diǎn)來認(rèn)識和分析各種問題。 在信號處理和離散系統(tǒng)的研究中，人們開始用一種新的觀點(diǎn)數(shù)字信號處理的觀點(diǎn)來認(rèn)識和分析各種問題。 5.1 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng) 5.1.1 離散時間系統(tǒng)的基本概念離散時間系統(tǒng)的基本概念若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號都是離散信號，則稱為離散時間系統(tǒng)（簡稱離散系統(tǒng)），通常可用圖

2、5.1.1所示的示意圖來描述。 nf ny 離 散系統(tǒng)圖5.1.1 離散系統(tǒng)框圖 也可分為零輸入響應(yīng) 和零狀態(tài)響應(yīng) 即 當(dāng)系統(tǒng)具有多個初始狀態(tài)時，若其零輸入響應(yīng)既是齊次的又是可加的，則稱為零輸入線性。當(dāng)系統(tǒng)具有多個輸入時，若其零狀態(tài)響應(yīng)既是齊次的又是可加的，則稱為零狀態(tài)線性。系統(tǒng)具有多個初始狀態(tài)時，若其零輸入響應(yīng)既是齊次的又是可加的，則稱為零輸入線性。當(dāng)系統(tǒng)具有多個輸入時，若其零狀態(tài)響應(yīng)既是齊次的又是可加的，則稱為零狀態(tài)線性。 ny nyzi nyzs nynynyzszi一個離散系統(tǒng)，如果具有零輸入線性和零狀態(tài)線性，則稱其為線性離散系統(tǒng)。否則成為非線性離散系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)的輸入延時 ，其零狀

3、態(tài)響應(yīng)也延時 ，即當(dāng)輸入為 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 ，則稱該系統(tǒng)為時不變離散系統(tǒng)。本書只討論線性時不變離散系統(tǒng)。 響應(yīng)不出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，就是說，對于因果系統(tǒng)，若在 時，激勵為零，則在時，該激勵所引起的響應(yīng)也必然等于零。0k0knf0kn 0knyzs0k0kn 5.1.2 離散時間系統(tǒng)的描述 離散系統(tǒng)則以差分方程描述。描述線性時不變離散系統(tǒng)的是常系數(shù)線性差分方程。差分方程由未知序列及其序數(shù)增加和減少的移位序列,，等，以及已知的序列所構(gòu)成，有時還包括的移位序列。 2,1,1,2nynynyny nf nf【例5.1.1】一質(zhì)點(diǎn)沿水平方向作直線運(yùn)動，其在某一秒內(nèi)所走過的距離等于前

4、一秒所行距離的2倍，試列出描述該質(zhì)點(diǎn)行程的方程式。解 令表示質(zhì)點(diǎn)在第n秒末的行程，則根據(jù)題意，有即 上式中待求變量的序號（ ）最多相差2，稱為二階差分方程。 ny nynynyny1212 02132nynynynnn, 1, 2一般而言描述線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程為 或?qū)懽?（5.1.1） 對于因果系統(tǒng)，式中 。對于時不變系統(tǒng)，各未知函數(shù)的系數(shù)均為常數(shù)。后向形式的（或向右移序的）差分方程。可寫作 （5.1.2）差分方程式（5.1.1）稱為前向形式的（或向左移序的）差分方程。 nfbnfbmnfbmnfbnyanyaknyaknyaknymmkk011012111121mjjkiijnfb

5、inya00km mjjkiijnfbinya00圖5.1-2 電阻梯形網(wǎng)絡(luò)【例5.1.2】 如圖5.1.2是電阻梯形網(wǎng)絡(luò)。圖中為常數(shù)。各節(jié)點(diǎn)對地的電壓為 ，其中 是各節(jié)點(diǎn)的序號，求任一節(jié)點(diǎn)電壓應(yīng)滿足的差分方程。Nk, 2 , 1 , 0 ku解 根據(jù)基爾霍夫電流定律，對于節(jié)點(diǎn)K有再將各電阻的伏安關(guān)系代入，可得方程 = +整理后可得這是二階差分方程。 321iii Rkuku1 Rku Rkuku1 01121kaukuakau5.2 離散時間系統(tǒng)的時域分析 5.2.1 迭代法5.2.2 經(jīng)典解法5.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)5.2.4 用卷積和求零狀態(tài)響應(yīng) 離散系統(tǒng)的時域分析是對描述系統(tǒng)

6、的差分方程或離散卷積和等時域數(shù)學(xué)模型的求解，以達(dá)到分析離散系統(tǒng)時間特性的目的。一般求解線性常系數(shù)差分方程方法有迭代法、經(jīng)典法，以及分別求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)等方法。 5.2.1 迭代法迭代法 由于系統(tǒng)的輸出與過去的歷史狀態(tài)有關(guān)，它們之間存在著迭代或遞歸的關(guān)系，所以對差分方程的求解可以直接采用遞推的辦法。【例5.2.1】 已知一階差分方程為求該系統(tǒng)的單位響應(yīng) 。解 為了求解單位響應(yīng) ，令輸入激勵 ，則給定的差分方程變?yōu)?nfnayny1 nh nh nnf nnahnh1可依次迭代得由初始條件可得差分方程所描述系統(tǒng)的單位響應(yīng)是從原則上說，用迭代法可以求得任意階系統(tǒng)的單位響應(yīng)，但對于二階以上的系

7、統(tǒng)，往往難于得到解析式解答。 nanahnhaahhaahhahh0121210110102 nanhn5.2.2 經(jīng)典解法與連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典解法類似，差分方程的解由齊次解 和特解 構(gòu)成，即 （1）齊次解 差分方程齊次解有兩種情況：1）特征根均為單根 如果齊次方程的全部K個特征根都不相同，則差分方程的齊次解為式中常數(shù) ( =1,2,.,)由初始條件確定. nyh nyp kiniinkknnhpApApApAny122112）特征根有重根 若 是特征方程的r 重根，而其余 個根是單根，則差分方程的齊次解為式中各 均有由初始條件確定。1prk nyhrikrjnjjniripApnA111jiAA

8、 ,（2）特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)。表5.2.1列出了幾種典型的激勵所對應(yīng)的特解。選定特解后，將它代入到原差分方程，求出其待定系數(shù) ，就可得出方程的特解。 iP【例5.2.1】 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為激勵 ，初始條件 試求系統(tǒng)的全解。解 首先求齊次解。齊次差分方程為其特征方程為 其特征根方程的齊次解為 nfnynyny2213 0,2nnfn 21, 00yy 02213nynyny0232 pp2, 121pp nnhAAny2121根據(jù)激勵的形式，查表5.2.1，得方程的特解將它代入到原差分方程中，得消去 ，求得 ，于是方程的特解為將齊次解與特解相加，得方程的全解 np

9、Pny2 nnnnPPP22223221 n231P nnpPny2312 nnnphAAnynyny2312121將已知的初始條件代入上式，得由以上兩式可解得將它們代入全解式中，得 此即為原差分方程的全解。一般差分方程的齊次解又稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，特解又稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。 2322103102121AAyAAy321A12A nnnny2312132 5.2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)的完全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，即利用求齊次解的方法求得零輸入響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)可以利用經(jīng)典的方法求得，也可以利用卷積和來求出零狀態(tài)響應(yīng)。 nynynyzszi【例5.2.2】 若描述

10、某系統(tǒng)的差分方程為激勵 ，初始狀態(tài) 試求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解（1）零輸入響應(yīng) 差分方程的特征根為 ，其零輸入響應(yīng)為將初始條件 ，代入上式， nfnynyny2213 0,2nnfn01 y212 y2, 121pp nnziAAny212101 y212 y214122021112121AAyyAAyyzizi解得 ，則零輸入響應(yīng)為（2）零狀態(tài)響應(yīng) 求零狀態(tài)響應(yīng)對應(yīng)的非齊次的差分方程，它的解是齊次解和特解之和，在【例5.2.1】中已求出方程的特解為 所以零狀態(tài)響應(yīng)為2, 121AA nnziny221 npny231 nnnzsAAny2312143代入零狀態(tài)條件，有解上式可以得到 于是零狀態(tài)響應(yīng)

11、為系統(tǒng)的全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和01214120612114343AAyAAyzszs1,3143AA nnnzsny2312131 0,2312132nnynynynnnzszi5.2.4 用卷積和求零狀態(tài)響應(yīng) （1）卷積和在連續(xù)時間系統(tǒng)中，利用卷積的方法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，首先把激勵信號分解為一系列的沖激函數(shù)，令每一沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)求其沖激響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加即可得到系統(tǒng)對此激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)，這個疊加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。對于任意序列，可寫為即 (5.2.1)因此系統(tǒng)對序列作用所引起的零狀態(tài)響應(yīng) 為即 (5.2.2)式（5.2.2）稱為序列與的卷積和，也簡稱卷積

12、。 2211011nfnfnfnfnf inifnfi nyzs 2211011nhfnhfnhfnhfnyzs inhifnyizs一般地，對于兩個離散信號 其卷積和定義為 （5.2.3） 根據(jù)此定義，式（5.2.1）可以表示為即序列 與單位序列 的卷積和就是序列本身 。根據(jù)此定義，式（5.2.2）也可以表示為 nfnf21, iinfifnfnf2121 nnfinifnfi nf n nf nhnfinhifnyizs離散序列的卷積和服從交換律、分配律和結(jié)合律等代數(shù)性質(zhì)：交換律分配律 結(jié)合律 nfnfnfnf1221 nfnfnfnfnfnfnf3121321 nfnfnfnfnfnf3

13、21321（2）卷積和的計算方法 1）圖解計算法 卷積和的圖解計算法是把取卷積的過程分解為反褶、平移、相乘、求和四個步驟。具體求序列的卷積和 按下述步驟進(jìn)行： 將序列 、 的自變量用 替換，然后將序列 以縱坐標(biāo)為軸線反褶，成為 ； 將序列 沿正n軸平移n個單位成為 求乘積 ； 按式（5.2.3）求出各乘積之和。 nfnf21 nf1 nf2iif2if 2if 2inf2 infif21【例5.2.3】 有兩個序列試求兩個序列的卷積和 。 解 將序列 、 的自變量用i替換，再將序列 以縱坐標(biāo)為軸線反褶，成為 。見圖5.2.1（a）（b）（c）所示。按步驟3、4分別令 n= 0,1,2,3，計算

14、乘積再求各乘積之和。其計算過程如圖5.2.2所示。當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時， 其余, 02 , 1 , 0, 11nnnf 其余, 03 , 2 , 1 , 0, 12nnf nfnfnf21 nf1 nf2if2if 20n 021nfnfnf0n 100021fff1n 3011012121fffff圖5.2.1 的圖形當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 其卷積和計算結(jié)果如圖5.2.2中間圖形所示。2n 60221202212121fffffff3n 603122130321212121fffffffff ififif221,圖5.2.2 卷積和的計算過程2）陣列表法 對于有限長序列或無限長序列，都可以用陣

15、列表法求卷積和，此方法較簡單。舉例說明如下。 【例5.2.4】 設(shè)有兩個無限長序列求卷積和 。 0, 4 , 2 , 3 , 11nnf 0, 0 , 3 , 1 , 22nnf nfnfny21 解：首先畫出序列陣表圖5.2.3，左部放，上部放，然后以的每個數(shù)去乘各數(shù)，并將結(jié)果放入相應(yīng)的行，最后把虛斜線上的數(shù)分別相加即得卷積和結(jié)果序列。即 ,12,10,19,10, 7 , 221nfnfny3）解析法 利用陣列表法求卷積和比較簡便，但無論是陣列表法或圖解計算法都難以得到閉合形式的解，用解析法可以解決這個問題。表5.2.2中列出了計算卷積和時常用的幾種數(shù)列求和公式。表5.2.3中列出了幾種常用序列的卷積和。 【例5.2.5】 設(shè)序列試求解上式是公比為2/3的等比級數(shù)求和問題。由表5.2.2可知其求和公式為 所以 nnfnnfn21,32 nfnf21 iniiniinnfnf0021