第7講蝴蝶模型B版b

1、n7本講內(nèi)容蝴蝶模型基礎(chǔ)蝴蝶模型應(yīng)用蝴蝶模型綜合前鋪知識(shí)13講（第8級(jí)下）（第9級(jí)上）后續(xù)知識(shí)12講（第9級(jí)下）AB11講預(yù)習(xí)【分析】54.【分析】72比例模型一一五年級(jí)暑假第五年級(jí)第7講蝴蝶模型 （B版）蝴蝶模型基礎(chǔ)半模型一一四年級(jí)春季第2.如圖,B,C,D,E 在一條直線(xiàn)上，且 BC:CD:DE=5:4:3,已知 Sabc =30,則 SBE1.如圖，在直角三角形 ABC中,AD:AC=2:5, S點(diǎn)bc =90貝U S應(yīng)cd =_C+蝴蝶模型3. 如果甲：乙:丙=3:2:1,則(1) 如果甲=36,則乙=.(2) 如果甲乙丙的和是 78,則甲=.模塊1【分析】(1)24,(2)39.蝴蝶

2、模型基礎(chǔ)知識(shí)剖析蝴蝶模型分為任意四邊形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型兩種1. 任意四邊形蝴蝶模型(如下左圖)為我們提供了解決不規(guī)則四邊形面積 問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，可以了解四邊形內(nèi)部四個(gè)三角形的面積 關(guān)系.2. 梯形蝴蝶模型(如下右圖)研究的是被梯形對(duì)角線(xiàn)分成的四塊三角形面 積之間的關(guān)系以及三角形面積比和線(xiàn)段比之間的相互轉(zhuǎn)化如圖，因?yàn)閠=OB,vB,所以hB,可得到SS4.根據(jù)此結(jié)論試回答下列問(wèn)題(1)右 S -10 , S2 -20 , S3 = 40，則 S4 -若AOC(3)若 O-2,S =10,則S4 -54r r(,S.ABD 0,則 S.BCD若 AO=1,BO=2,CO=3,D

3、O=2,則S. Abd _S.BcdS，ACD _ ,S ABC爭(zhēng)學(xué)而叭SAO 1【分析】（，殂45,缶寸3S acd _ B0S ABC OD如圖，梯形ABCD中,AD平行于BC,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)0;4個(gè)小三角形的面積分別是S、3、&、S4；(1)(2)(3)若5 =2=4,那么梯形ABCD的面積是多少？這4個(gè)小三角形中有沒(méi)有面積相等的兩個(gè)？是哪兩個(gè)？為什么它們的面積相等 ？若已知上底 AD = a，下底BC=b，那么：OA:OC 二_;OD:OB =；S1 : S4 S1 ： S2 ；S4 : S3 =【分析】（1）由風(fēng)箏模型，可知OA：OC =S ABD :ScbD根據(jù)“等底等高

4、的三角形面積相等”可知 & ABD ACD，SA CBD 二 S CBA， OA ： OC =Saacd : scba =0D : OB ；而 OA : OC = S2 ： & =1: 2，故 OD: OB=1: 2，所以1S =S2沃=1， S3 7 S44=2 丁2 = 2，故SABCD=S1*S2*S4日+彳+彳+彳二9；2由于Sa ABD二 Sa acd，根據(jù)“等量減等量仍為等量”，可知& ABD S1= & ACD-S1,即S2二S4；承接第（1）問(wèn)中的分析，由于三角形ABD和三角形CBD的高相等，故其面積之比等于底之比，即Sa ABD : SCBD =AD:BC =a:b，但在第一

5、問(wèn)的分析中，我們已經(jīng)得到了 S ABD : ScBD=OA:OC =0B: OD，故知 OA:OC =0B :0D =AD : BC =a :b ;2 2 故 S ： S2 =S ： & =S2: S3 =&: S3 =a: b ,而 S : S3 =（S : S2）漢 : S3） =（a :b）匯（a : b） =a : b .【鋪墊】（課件不出現(xiàn)）如圖，證明梯形蝴蝶模型和沙漏模型的結(jié)論.b(1)S ：S2 =S4 ：S3 或者 S 漢 S3 =S2 漢 S4；b總,所以S：S4：S或者 S1 : S3: S2: S : S梯形=a2 : b2 : ab : ab: (a b)2【分析】 證

6、明:（1）如上中圖，設(shè)BO=x，DO=y.由比例模型可知：S-=-S2 y51 S452 S3Ao aA0二E 由鳥(niǎo)頭模型OC bxS abcah -：- 2S2S3yS acdbh -：- 22=a a =$,再由比例模型可知b b bXS|S4，所以yax a百所以廠同理可得:可知：勺A0 xS3 OC yS ： E ：S2 ：S4 ： S梯形=a2: b2: ab: ab :(a b)2.2AO AB a S1 a，-DO CO CD b S3 bBO若AB/CD,AB=a,CD=b,則如圖最右稱(chēng)為沙漏模型，有如下結(jié)論:(1)-B0 特別地，把L ABE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180度,即是第3講鳥(niǎo)頭

7、模型中提到的金字塔模型 ，由此兩個(gè)模型之間便可以互相證明蝴蝶模型應(yīng)用如圖，梯形ABCD中,AD平行于BC,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)0;4個(gè)小三角形的面積分別是S、&、&、S4；(1)已知：S =4, Q =9 J則 S2 =., S4 =(2) 已知：S =4, S2 =9貝U S3 =., S4 =(3) 已知:DO:BO=2:5, S3 =24，則 S =, Sxbcd =.(4) 已知:AD=5,BC=12,S1 =100,則 =, S4 =.(5) 已知：Sabcd =240 ,AD :BC=1:3,則 S =, 2 =(6) 已知：S找bc =240,AD:BC=3:5,則 S =.

8、【分析】(1) 4 9= 36 = 6 6 ,= S4 =6.9 漢981 S4 二S2 =9,$ =以上44=4:25:10 :10:49, S14=9.6,10因?yàn)?DO:BO=2:5,則 Si : 2 ：5 ,進(jìn)而 S1 : S3 ： S2 ： S4 ： S梯形24Sabcd49=117.6.10一 一=勺 ，S2=2=1005 12 =240,=240 =576.BO BCS2 12519(5) S1 : S3 ： S2 ： S4: S梯形=1:9:3:3:16, S1 =24015= 240135.16 ， 16AO AD S2333224090 S =9054.CO BC S3 5

9、3 +559或者 S1 : S3 ： S2 : S4 : S abc =9 : 25:15:15: 40, S = 24054.40葉學(xué)而需培優(yōu)每道小題都建議老師帶著學(xué)生們，通過(guò)線(xiàn)比轉(zhuǎn)化面積比，結(jié)合蝴蝶翅膀相等的思路推導(dǎo)蝴蝶模型的比例結(jié)論，而不是識(shí)記如圖，面積為12平方厘米的正方形 ABCD中,E、F是BC邊上的三等分點(diǎn),請(qǐng)求出陰影部分的面積【分析】 因?yàn)镋、F是BC邊上的三等分點(diǎn),所以EF : AD =1:3，設(shè)Sgef =1份根據(jù)梯形蝴蝶模型可以知道綜合應(yīng)用題模塊Sa age =&DGF =3份，Sa agd =9份；又根據(jù)等高模型有 Sa abe =Sa dcf =Sa efd =1+3

10、 = 4份，因此正方形 的面積為1 +3 *3 +9 +4+4 =24份，S陰影=3+3=6份，故S陰影：S正方形=6:24 =1:4，所以S陰影=124 = 3 平方厘米如圖，某公園的外輪廓是四邊形 ABCD，被對(duì)角線(xiàn)AC、BD分成四個(gè)部分， AOB面積為1平方千米， BOC面積為2平方千米， COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是 6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米 ？【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得 Saaod =3 1亠2=1.5平方千米，公園四邊形 ABCD的面積是1 2 3 1.7.5平方千米，所以人工湖的面積是 7.5 -6.92 =0.58平方千米(1)

11、如圖，已知大正方形邊長(zhǎng)為 10厘米，請(qǐng)求出陰影部分的面積；(2) 如圖，已知小正方形邊長(zhǎng)為 8厘米，請(qǐng)求出陰影部分的面積；如下圖,ABCD和ABEF都是長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)方形 ABEF的面積是30平方厘米，那么陰影部分的面積是 平方厘米.10第（3）題圖【分析】（1）如下圖做出輔助線(xiàn)，易證兩正方形的對(duì)角線(xiàn)是相互平行的，故圖形中出現(xiàn)了梯形蝴蝶模型；根據(jù)梯第（1）題圖形蝴蝶模型中的“翅膀相等”，可以將陰影面積轉(zhuǎn)化為大正方形面積的一半，故答案為10 10“ 2 =50平方厘米可見(jiàn)陰影部分的面積與小正方形的大小并無(wú)關(guān)系（2）如下圖做出輔助線(xiàn)，易證兩正方形的對(duì)角線(xiàn)是相互平行的，故圖形中出現(xiàn)了梯形蝴蝶模型；根

12、據(jù)梯形蝴蝶模型中的“翅膀相等”，可以將陰影面積轉(zhuǎn)化為小正方形面積的一半，故答案為6 62=18平方厘米可見(jiàn)陰影部分的面積與大正方形的大小并無(wú)關(guān)系設(shè)內(nèi)部交點(diǎn)為 0,如下圖，通過(guò)等積變形可知 DF0D的面積和DF0C的面積相等，則陰影部分變成了 DAFC的面積，再通過(guò)等積變形可知 DAFC的面積和DAFB的面積相等;而DAFB的面積為長(zhǎng)方形 ABEF的一半，即30? 215.第（3）題圖【拓展】如圖，在梯形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于0點(diǎn),0E平行于AB交BC于E點(diǎn)，如果 0BC的面積是115平方厘米，則 ADE的面積是 平方厘米【分析】AB /SA AOESa ADECCD，所以Sa AC

13、DBCD ,故 S AOD = BOC = 115 （平方厘米）.又OE / AB,同理可得-SA BOE , SA DOE - SA COE .所以=Sa aodSa aoeSadoe二 Sa aodSaboeSa coe 二Sa aodSa boc =115 115 二 230（平方厘米）.模塊3蝴蝶模型綜合 /4 二如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊 形OFBC的面積為 平方厘米【分析】連接DE、CF 四邊形EDCF為梯形，所以Sd =腫，又根據(jù)蝴蝶模型,Sd 妙=尹 $妙 所以S恵ODS應(yīng)OC=SOFS應(yīng)OD=2漢8=1

14、6,所以S店OD= 4（平方厘米），S店CD= 4+8 =12 （平方厘米）.那么長(zhǎng)方形ABCD的面積為12x2=24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24_5_2_8 = 9（平方厘米）.二二二二二如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，如圖在大正方形 與小正方形的一些頂點(diǎn)之間連線(xiàn)，形成了圖中的陰影圖形，請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積是多少 ？【分析】本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過(guò)取特殊值的方法來(lái)快速求解，也可以采用梯形蝴蝶模型來(lái)解決一般情況.法1（快速解決填空題）：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如下圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高均為1.5，因

15、此空白處的總面積為6勺.523 + 3人6-3) 2=49.5.ah 法2 :如圖，連接AC、GF、DG.梯形ACGF中，由于CH : HF=1： 2,根據(jù)蝴蝶模型結(jié)論，HG于是 S fha =6,S.f：hg =6 2 =12,S正方形 fcge =(12 6) 2=36 .梯形 ACGD 中，易得S ACH =6丄=3, S AHD =3-2 2.Sabcd =(3 -) 2=9,Sadf =6一?=4.5,2 2Sabgef =9364.5 =49.5爭(zhēng)學(xué)而叭1. 如下左圖，任意四邊形蝴蝶模型： S ：S2 =s4或者 S XS3 =S2 XS4 AO :0C =(S +S(S4 +S3

16、 ).2. 如下右圖，梯形蝴蝶模型： =S4 S ： S2 =S4: S3 或者 S 匯 S3 = S2 漢 S4; S : S3: S2: S4 : S梯形=a如圖所示，在梯形ABCD中,AB/ CD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn) O.已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面積 為4,求三角形OAB的面積.: b2 : ab: ab : (a +b)2本講鞏固1. 如圖，四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,圖形中出現(xiàn)了 4個(gè)小三角形；其中有3個(gè)小三角形的面積被 標(biāo)注出來(lái)了，請(qǐng)求出第4個(gè)小三角形的面積.【分析】 設(shè)所求面積為X,由任意四邊形中的蝴蝶模型-15 ,得 x=12 15 9 = 2

17、0.12 x【分析】 根據(jù)題意，AB=5,CD=3,CD: AB=3: 5,則根據(jù)蝴蝶模型，Sc :SAod : Sob : S逸ob =a2:ab:b2:ab=9:15: 25:15 , 令S叢ob=25份,則梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份.1所以1份為：4弋4=,16則三角形OAB的面積為 丄X 25=空.16 163. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,BE=FC=1,則陰影部分的面積為多少 ？【分析】 連接AE,FD,則四邊形AEFD為梯形,且 EF=4-1-仁2.由梯形蝴蝶模型可知，S AOD2 SaEFD(2 4)42SaEFD，而 SaEFD 二 SaBCD S A

18、BE S FCD 二 4 -14 =12.所以9一 一D4.如圖，兩個(gè)正方形并排放在一起，已知陰影三角形的面積為18,那么正方形ABCD的面積為多少？【分析】 陰影部分為正方形 ABCD面積的一半，因此正方形ABCD的面積為18X2=36.5.如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形 ABCD分成4塊DEF的面積是4平方厘米 門(mén)CED的面積是6平方厘米問(wèn): 四邊形ABEF的面積是多少平方厘米 ？葉學(xué)而需培優(yōu)【分析】 法1：連接BF ,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶模型，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等即其面積也是6平方厘米,再根據(jù)蝴蝶模型，三角形BCE的面積為6x6 + 4 = 9（平方厘米）,所以長(zhǎng)方形 的面積為（9+6尸2=30（平方厘米）.四邊形ABEF的面