數(shù)學建模與數(shù)學實驗ppt課件

1、數(shù)學建模與數(shù)學實驗數(shù)學建模與數(shù)學實驗后勤工程學院數(shù)學教研室 插插 值值實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康膶嶒瀮?nèi)容實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學軟件包求解插值問題。、掌握用數(shù)學軟件包求解插值問題。1、了解插值的根本內(nèi)容。、了解插值的根本內(nèi)容。11一維插值一維插值22二維插值二維插值33實驗作業(yè)實驗作業(yè)一一 維維 插插 值值一、插值的定義一、插值的定義二、插值的方法二、插值的方法三、用三、用Matlab解插值問題解插值問題前往前往前往前往二維插值二維插值一、二維插值定義一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值問題解插值問題最臨近插值最臨近插值分片線性插值分片線性插值雙線

2、性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值一維插值的定義一維插值的定義知知 n+1個節(jié)點個節(jié)點, 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不一樣，無妨設(shè)互不一樣，無妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點求任一插值點)(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點可視為由節(jié)點可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,，g表達式復(fù)雜表達式復(fù)雜,，或無封鎖方式或無封鎖方式,，或未知或未知.。*x*y 構(gòu)造一個構(gòu)造一個(相對簡單的相對簡單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy 經(jīng)過全部節(jié)點經(jīng)過全部節(jié)點, 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計算插值，即計算

3、插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y前往前往 稱為拉格朗日插值基函數(shù)。n0iiiny)x(L)x(P 知函數(shù)知函數(shù)f(x)在在n+1個點個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一。求一n次多項式函數(shù)次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足：，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 處理此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x) 為n次多項式：)xx()xx)(xx()xx)(xx()xx()xx)(xx()xx)(xx()x(Lni1ii1ii1i0in1i1i10i拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值插值拉格朗日拉

4、格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值插值特別地特別地:兩點一次兩點一次(線性線性)插值多項式插值多項式: 101001011yxxxxyxxxxxL三點二次三點二次(拋物拋物)插值多項式插值多項式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL .,滿足插值條件直接驗證可知xLn 拉格朗日多項式插值的這種振蕩景象叫 Runge景象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例例前往前往To MatlabTo Ma

5、tlablch(larg1)lch(larg1)分段線性插值分段線性插值其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxL計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxoyTo MATLABxch11，xch12，xch13，xch14前往前往66,11)(2xxxg例例用分段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并察看插值誤差并察看插值誤差.1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個點作插值個點作插值(xch11)4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個點作插值個點作插值(

6、xch14)2.在在-6,6中平均選取中平均選取11個點作插值個點作插值(xch12)3.在在-6,6中平均選取中平均選取21個點作插值個點作插值(xch13)比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學上，光滑程度的定量描畫是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且延續(xù)，那么稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，那么越光滑。能否存在較低次的分段多項式到達較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值三次樣條插值 三次樣條插值三次樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiii

7、iiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng(x)g(x)為被插值函數(shù)。為被插值函數(shù)。例例66,11)(2xxxg用三次樣條插值選取用三次樣條插值選取11個基點計算插值個基點計算插值(ych)前往前往To MATLABych(larg1)用用MATLABMATLAB作插值計算作插值計算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值

8、點被插值點插值節(jié)點插值節(jié)點xixi處的插處的插值結(jié)果值結(jié)果nearest ：最臨近插值：最臨近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時：缺省時： 分段線性插值。分段線性插值。 留意：一切的插值方法都要求留意：一切的插值方法都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xixi不不可以超越可以超越x x的范圍。的范圍。 例：在例：在1-121-12的的1111小時內(nèi)，每隔小時內(nèi)，每隔1 1小時丈量一次小時丈量一次溫度，測得的溫度依次為：溫度，測得的溫度依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，

9、3131，3030，2222，2525，2727，2424。試估計每隔。試估計每隔1/101/10小時的小時的溫度值。溫度值。To MATLAB(temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy機翼下輪廓線X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21

10、 . 72 . 02 . 12 . 01 . 81 . 21 . 01 . 6例例 知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x x每改動每改動0.10.1時的時的y y值。值。To MATLAB(plane)前往前往二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種網(wǎng)格節(jié)點：第一種網(wǎng)格節(jié)點： 知知 mn個節(jié)點個節(jié)點 ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不一樣，無妨設(shè)互不一樣，無妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 21 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函數(shù)),(yxfz 經(jīng)過全部知節(jié)點經(jīng)過全部知節(jié)點,即即再用再用),(yxf計算插值，即計

11、算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 第二種散亂節(jié)點：第二種散亂節(jié)點： yx0 0知知n個節(jié)點個節(jié)點),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不一樣，互不一樣， 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函數(shù)),(yxfz 經(jīng)過全部知節(jié)點經(jīng)過全部知節(jié)點,即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 前往前往 留意：最臨近插值普通不延續(xù)。具有延續(xù)性的最簡單留意：最臨近插值普通不延續(xù)。具有延續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。的插值是分片線性插值。最臨近插值最臨近插值x y(x

12、1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二維或高維情形的最臨近插值，與被插值點最臨近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。前往前往 將四個插值點矩形的四個頂點處的函數(shù)值依次簡記為： 分片線性插值分片線性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4插值函數(shù)為：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足iii1

13、ij1jy)xx(xxyyy插值函數(shù)為：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141留意：留意：(x, y)當然應(yīng)該是在插值節(jié)點所構(gòu)成的矩形區(qū)當然應(yīng)該是在插值節(jié)點所構(gòu)成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是延續(xù)的；域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是延續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足前往前往 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的方式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點插值節(jié)點的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1,

14、 y2)(x2, y1)(x2, y2)O O前往前往 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取為矩陣，或可取為矩陣，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用用MATLABMATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearestnearest 最臨近插值最臨近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值缺省時缺省時,

15、, 雙線性插值雙線性插值例：測得平板外表例：測得平板外表3 3* *5 5網(wǎng)格點處的溫度分別為：網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 試作出平板外表的溫度分布曲面試作出平板外表的溫度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的圖形。的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標畫出原始數(shù)

16、據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進展插值.再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB(wendu)例例 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為 1200=x=4000,1200=y=3600)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。 X Y12

17、001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980 經(jīng)過此例對最近鄰點插值、雙線性插值方法和雙三次插值方

18、法的插值效果進展比較。To MATLAB (moutain)前往前往 插值函數(shù)griddata格式為: cz =griddatax，y，z，cx，cy，method用用MATLABMATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算作散點數(shù)據(jù)的插值計算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量。取為列向量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearestnearest 最臨近插值最臨近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlabv4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值 例例 在某海域測得一些點在某海域測得一些點(x,y)(x,y)處的水深處的水深z z由下由下表給出，船的吃水深度為表給出，船的吃水深度為5 5英尺，在矩形區(qū)域英尺，在矩形區(qū)域7575，200200* *-50-50，150150里的哪些地方船要防止進入。里的哪些地方船要防止進入。xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84