勾股定理典型例題

1、精品文檔),3, . 4, , 5c2,則()(D)不是直角三角形,在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了勾股定理典型例題11 .以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A 、 8, 15, 17 B 、 4, 5, 6 C 、 5, 8, 10 D 、 8, 39, 402 .下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是(A) 1、2、3(B) 32,42,52(C) 4s/2, J3)3 .在4ABC中，A, B, C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a b)(a b)(A)A為直角(B)C為直角(C)B為直角4 .如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”13

2、歡在下載6 .現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需木棒的長(zhǎng)一定為()A. 30厘米 B. 40厘米 C. 50厘米 D.以上都不對(duì)7 .圖中字母A所在的正方形的面積是8.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、R C D的面積的和是264cm ,則取大的正方形的邊長(zhǎng)為cm.9.如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部( )m.4米處，這棵大樹在折斷前的高度為10.如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若Si=30, &=40,則 S3=11,如圖A, 一圓柱體的底面周長(zhǎng)為2

3、4cm,高BD為4cm, BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn) D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是()A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm12 .長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm, 4cm, 5cm. 一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是cm.13 .如圖，已知：在&43c中，*3 = 6爐，AS=30 .求：bc的長(zhǎng). ABC14.已知：如圖,B=Z D=90° , / A=60° , AB=4, CD=2 求：四邊形ABCD勺面積。600方向走了 §口口行巾到達(dá)b點(diǎn)，然后再沿北15 .如圖所示，在一次

4、夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東偏西30°方向走了 500m到達(dá)目的地 C點(diǎn)。(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2)確定目的地 C在營(yíng)地A的什么方向。16 .在數(shù)軸上表示 Jm的點(diǎn)。17 .在數(shù)軸上作出 J3對(duì)應(yīng)的點(diǎn).(不寫作法，保留作圖痕跡)18 .如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。219 .如圖正方形 ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且 BF=4 AR請(qǐng)問FE與DE是否垂直？請(qǐng)說明。20 .若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。21 .直角三角形周長(zhǎng)為

5、12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積。22 .如圖所示，已知 ABC中，/ C=90° , / A=60° ,套+上=孑+6,求出、占、亡的值。23.如圖所示，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知 AB=8cm BC=10cm求EF的長(zhǎng)。24 .如圖 ABC 中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5 ,求 AC 的長(zhǎng)25 .如圖 Rt ABC, C 90 AC 3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積勾股定理典型例題11 .以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A 、 8, 15, 17 B 、 4, 5, 6 C 、

6、5, 8, 10 D 、 8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2=a2+b2的變形：b2= c2-a2= (c a) (c+a)來判斷。例如：對(duì)于選擇 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈2 .下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是()(A) 1、2、3(B) 32,42,52(C)瓜歷近錯(cuò)解：選(B).判斷直角三角形時(shí)，應(yīng)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行平方分析：未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，對(duì)概念的理解流于表面形式2看是否滿足a.22b c的形

7、式.正解：因?yàn)獒?6故選(C)3.在 ABC中,A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a b)(a b)(A)A為直角(B)C為直角(C)B為直角(D)不是直角三角形錯(cuò)解：選(B)分析：因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r(shí),般將直角標(biāo)注為C,因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為C就一定表示直角,加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為22222a2b2c2 ,即 a2b22 .c,因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.正解：Q a2 b2 c2 , .1. a2 b2 c2.故選(A,在花園內(nèi)走出了一條“路”O(jiān)他們僅僅少走了4 .如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑” 步路(假設(shè)2步

8、為1m),卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+4= 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 xm,則故少走的路長(zhǎng)為 7 5=2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路。5 .已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4,則第三邊長(zhǎng)為.錯(cuò)解：第三邊長(zhǎng)為32 42. 25 5.分析：因?qū)W生習(xí)慣了 “勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5.但這一理解的前提是 3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊正解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)為732 42 存 5；（2）當(dāng)斜邊為4, 一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)為.4232 J7.6 .現(xiàn)有兩

9、根木棒的長(zhǎng)度分別為 40厘米和50厘米，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需木棒的長(zhǎng)一定為（）A. 30厘米 B. 40厘米 C. 50厘米 D.以上都不對(duì)考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。分析：由于不明確直角三角形的斜邊，故應(yīng)分兩種情況討論.解答：解：此題要分兩種情況：（1）當(dāng)50是直角邊時(shí)，所需木棒白長(zhǎng)是 山再不=1Mii；（2）當(dāng)50是斜邊時(shí)，所需木棒的長(zhǎng)是 30.故選D.點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理解答，注意此題的兩種情況.7 .圖中字母A所在的正方形的面積是7 .考點(diǎn)：勾股定理。分析：根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理，知以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的

10、面積.解答：解：根據(jù)勾股定理，可知 A=16- 9=7.故A的面積為7.點(diǎn)評(píng)：熟記此題的結(jié)論：以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.8 .如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B G D的面積的和是64cm2,則最大的正方形的邊長(zhǎng)為8 cm.考點(diǎn)：勾股定理。分析：根據(jù)題意可得，最大的正方形的面積為S=S+Sb+Sc+Sd解答：解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，最大的正方形的面積為 S=S+SB+S+$=64cm2,則最大的正方形的邊長(zhǎng)為加區(qū)=8cm 點(diǎn)評(píng)：勾股定理包含幾何與數(shù)論兩個(gè)方面，幾何方面，一個(gè)直角三角形的斜邊的

11、平方等于另外兩邊的平方和.這里邊 的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積.9 .如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為8考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：根據(jù)大樹末端部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理解答即可.解答：解：由勾股定理得，斷下的部分為屋十產(chǎn)5米,折斷前為5+3=8米.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的能力，比較簡(jiǎn)單.10 .如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若Si=30, S2=40,則S3= 70考點(diǎn)：勾股定理。分析：根據(jù)勾股定理以及圓面積公式，可以證明：S+S2=S

12、3.故S3=70.解答：解：設(shè)直角三角形三邊分別為a、b、c,如圖所示：則 Si=JL兀（色）2=兀（缶）2二坐二，靜兀（$）2=212.:二 - ：二 因?yàn)?a2+b2=c2,所以 7rb 888即 Si+S2=S3.所以S3=70.點(diǎn)評(píng)：注意發(fā)現(xiàn)此圖中的結(jié)論：S+S2=S3.11 .如圖A, 一圓柱體的底面周長(zhǎng)為 24cm,高BD為4cm, BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn) D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題。分析：根據(jù)題意，先將圓柱體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短.解答：解：將圓柱體展開，連接

13、D C,圓柱體的底面周長(zhǎng)為 24cm,則DE=12cm 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，CD=y42 + 2 2=卻 1073cm.而走B- D- C的距離更短， 4. BD=4 BC=, 7TBD+BC11.64 M2.故選B.點(diǎn)評(píng)：本題是一道趣味題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可.點(diǎn)評(píng)：圓柱體展開的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的寬.短路徑12.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm, 4cm, 5cm. 一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的的長(zhǎng)是 二cm.考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題。分析：螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視，或俯視和側(cè)視）二個(gè)

14、面展平成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后求其對(duì) 角線，比較大小即可求得最短的途徑.解答：解：如圖所示，54路徑一：AB=- |-13；路徑二：AB%（計(jì)4）%國(guó)=/1；路徑三：AB-J（計(jì)8）-；V185> 13>H函，/i旗m為最短路徑.點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是把長(zhǎng)方體拉平后用了勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)度.13 .如圖，已知：在中，23=6爐，=/且=30.求：BC的長(zhǎng). A2（在四中，如果一個(gè)銳角等于30。，思路點(diǎn)撥：由條件NA = 50”,想到構(gòu)造含300角的直角三角形，為此作 AD 1BC于d,則有上班口 二 30。，2，再由勾股定理計(jì)算出 AD DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析：作AO上身C于D,

15、則因修二80c',.乙LID=90口-60口 = 3口口產(chǎn)A的兩個(gè)銳角互余）那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）根據(jù)勾股定理，在即中,AD= JAB2-BD2 = -52 = 5后根據(jù)勾股產(chǎn)理，在及"C口中，5三 hc二-由=小« -3 *3 = 65 .匚一三二二一51 二-二 .14 .已知：如圖，/ B=Z D=90° , Z A=60° , AB-4, CD=2 求：四邊形 ABCD勺面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB DC交于F,或延長(zhǎng)AR BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的

16、邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD BC交于E。/ A=Z 60° , / B=90° ,/ E=30°。AE=2AB=8 CE=2CD=4BE'=AE2-AB2=82-4 2=48, BE5 =4仍。 D豈 CE2-CD2=42-2 2=12,DE=/12 工也。A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 600方向走了 5加相抵到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北S 四邊形 ABC=SABE-S ACDE= 2 AB , BE-2 CD- DE=' 15 .如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地 偏西30°方向走了 500m到達(dá)目的地 C點(diǎn)。(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。

17、(2)確定目的地 C在營(yíng)地A的什么方向。解析：(1)過B點(diǎn)作BE/AD/ DAB=/ ABE=60,30° +/CBA吆 ABE=180/ CBA=90即 ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m AB=：.匚由勾股定理可得：二-一二一-'. AlBC'A百二出。、©。0行)J1000(2)在 RtMBC中，. BC=500m AC=1000m/ CAB=30 / DAB=60/ DAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向16 .在數(shù)軸上表示 J歷的點(diǎn)。解析：可以把而看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1

18、這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。解：因?yàn)?0二9十L則苜先作出以。和防直龜邊的直角三角形,則其斜邊的長(zhǎng)期是10.如圖：。心3,行，。%由勾股定理得：叫。/+小4冉產(chǎn)歷以。為圓心j伽為半徑畫瓠交數(shù)袖的正半軸于點(diǎn)p,點(diǎn)f即表示無理掇m的點(diǎn).17.在數(shù)軸上作出 近對(duì)應(yīng)的點(diǎn).(不寫作法，保留作圖痕跡)精品文檔分析：J3可以看作兩直角邊長(zhǎng)分別為1, J2的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；而 J2又可以看作兩直角邊長(zhǎng)分別為1,1的直角三角形的斜邊長(zhǎng).解：如圖：作一個(gè)等腰直角三角形，使其兩直角邊都是1,則斜邊為 J2 ;作一個(gè)直角三角形，使其兩直角邊分別為1, V2,則斜邊為J3；在數(shù)軸上，以原點(diǎn) 。為圓

19、心，J3為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)A.則點(diǎn)A就是所求的點(diǎn).18.如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷A ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, . (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。. (a-3) 2>0, (b-4) 2>0, (c-5) 5。a=3 , b

20、=4, c=5。3 2+42=52,a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。19.如圖正方形 ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且 BF=4 AEL請(qǐng)問FE與DE是否垂直？請(qǐng)說明。1欺速下載【答案】答：D已EF。證明：設(shè) BF=a,貝U BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,EF2=BF"+BE=a2+4a2=5a2;DE 2=cU+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF (如圖)DF 2=AF2+AE2=9a2+16a2=25a2。.l. df2=eP+

21、dE, FEXDE20 .若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理 列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得:(3x) 2+ (4x) 2=202化簡(jiǎn)得x2=16;，直角三角形的面積= 之X 3xX4x= 6x2=96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積。21 .直角三角形周長(zhǎng)為 12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm

22、,求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x, y,根據(jù)題意得：% 十y 十 5 二 12(Y)由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y2= 49 (3)(3) (2),得：xy=121 2，直角三角形的面積是 2xy= 2 X 12=6 (cm2)22 .如圖所示，已知 ABC中，/ C=90° , / A=60° ,厘+上=$+點(diǎn)，求乩、&、匕的值。思路點(diǎn)撥：由e+啟=3+6,再找出口、&的關(guān)系即可求出工和占的值。解：在 Rt ABC中，/ A=60° , / B=90° - / A=30° ,則。二年，由勾股定理，得嶷=必丁 =厄亭，=®。因?yàn)樗?所以屜+h = 3+也,亞聲+1)_ f=c2h= 2 指 o“一標(biāo)一- ' 霆=季2=琳.邪=3總結(jié)升華：在直角三角形中，30。的銳角的所對(duì)的直