圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、直線與圓錐曲線位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識：（一）直線與橢圓位置關(guān)系1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點）2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進行判定，22卜面以直線y kx m和橢圓：勺4 1 a b 0為例 a b（1）聯(lián)立直線與橢圓方程:y kx m,2 22 22, 2b x a y a b（2）確定主變量x （或y）并通過直線方程消去另一變量 y （或x）,代入橢圓方程得到 關(guān)于主變量的一元二次方程：b2x2 a2 kx m2 a2b2 ,整理可得:（3）通過計算判別式 的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 0 方程有兩

2、個不同實根 直線與橢圓相交 0 方程有兩個相同實根 直線與橢圓相切 0 方程沒有實根 直線與橢圓相離 、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交（二）直線與雙曲線位置關(guān)系 、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進行判定2-y2-1 a bb20為例:2以直線y kx m和橢圓：勺 a（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程:y kx m2 22 2b x a y2 2 ,消元代入后可得: a2b2（2）與橢圓不同，在橢圓中，因為a2k2 b2 0,所以消元后的方程一定是二次方程，但 雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為 b2 a2k2,

3、有可能為零。所以要分情況進行討論當(dāng)b2 a2k2 0 k 9且m 0時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根。此時直線與雙曲線相 a交，只有一個公共點當(dāng)b2 a2k2 0 b k b時，常數(shù)項為 a2m2 a2b2 0 ,所以0恒成立，此時直a a線與雙曲線相交當(dāng)b2 a2k2 0 k B或k b時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷：a a 0 方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交 0 方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切 0 方程沒有實根 直線與雙曲線相離注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置。尤其是直線 與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二

4、次方程解 出相同的根，則為相切(3)直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標(biāo)的范圍為，a U a,所以通過橫坐標(biāo)的符號即可判斷交點位于哪一支上：當(dāng) x a時，點位于雙曲線的右支；當(dāng) x a時，點位于雙曲線的左支。對于方程:0,設(shè)兩個根為xi,x22 一2 22222_2. 2222. 2a m a b222b a k0,所以xi,x2異號,即交點分b a k x 2a kxm a m a b當(dāng) b2 a2k2 0 P k P 時，WJ xx2 a a別位于雙曲線的左，右支當(dāng)b2 a2k2 0 k 2或k b ,且 aa222. 20時，xx2亙20,所以 為？2同號,b a k即交點

5、位于同一支上(4)直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過(2)可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點 b剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到 a位置關(guān)系的判定k b且m 0時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中 a與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 b k b時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線， a a直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。b2 a2k2 0 k b或k b時，此時直線比漸近線“更陡”,通過平移觀察可得：直 a a線不一定與雙曲線有公共

6、點(與的符號對應(yīng))，可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上。（三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交,相切，相離1、位置關(guān)系的判定：以直線y kxm和拋物線：y2 2px p 0為例聯(lián)立方程:y kx m2kx m2 Px2px,整理后可得:(1)當(dāng)k 0時,此時方程為關(guān)于x的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線,與拋物線相交(2)當(dāng) k0時,則方程為關(guān)于x的二次方程，可通過判別式進行判定方程有兩個不同實根直線與拋物線相交方程有兩個相同實根直線與拋物線相切方程沒有實根直線與拋物線相離2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程:過焦點的直線l ： y k xp.2（斜率存在且k 0）,對應(yīng)傾斜角

7、為,與拋物線交于A Xi，yi ,BX2,y2聯(lián)立方程:k22px ,整理可得:(Dxi X2yy2(2)(3)(四)ABSVAOB2 dOk2pAB2p2k2p 2pk2k22pk2OFsinABsin2p2 sin2sin圓錐曲線問題的解決思路與常用公式:1、直線與圓錐曲線問題的特點:（1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）（2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)A x1,y1 ,B x2,y2 ,至于A,B坐標(biāo)是否需要 解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜（3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于x （或y）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，

8、則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出Xi,X2,yi,y2 （所謂“設(shè)而不求”）（4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入。則 可簡化運算的過程這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點A x1,y1 ,B x2,y2為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式（ 為X2,XiX2,yi 、2,y2,堅持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅持 整體代入。直至解決解析幾何問題“2、韋達定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣 泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進而導(dǎo)致直接 利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜

9、，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些 問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁 雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達定理的應(yīng)用本質(zhì) 上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu) 先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達定理毫無 用武之地。3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式：（1）斜截式：y kX m ,此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去 y則此形式比較好 用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線 是否符合條件（

10、2） x my b ,此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去X時使用，多用于拋物線y2 2pX （消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直1接體現(xiàn)斜率，當(dāng)m 0時，斜率k -m4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線l：y kX m , l上兩點A X1, y1 , B X2,y2 ,所以 | AB Ji k2 |xi 乂2或從8 J11 |yi yy1 k%my2kx2mABx1 x2 2y1y2 2 ,代入yiy2kX m力/日可得:kx2 m同理可證得AByiy2(1)證明：因為A x1,y1 ,B x2,y2在直線l上，所以(2)弦長公式的適用范圍為

11、直線上的任意兩點，但如果 A,B為直線與曲線的交點(即AB為曲線上的弦)，則 x1 x2(或 y1y 2 ) 可進行變形：xi x2 J"x_x2 2 J_x_x4xix2 ,從而可用方程的韋達定理進行整體代入。5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓22方程與 2 1 a b 0為例，設(shè)直線y kx m與橢圓交于A,B 乂2里 兩點，則 a b該兩點滿足橢圓方程，有：考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián) 系：1 22122 X X22 y1ab1x1 x2 1x1 x2 - y1a2 b2y2y1 y2 一

12、Y2由等式可知：其中直線AB的斜率k 以學(xué)，AB中點的坐標(biāo)為 當(dāng)2,當(dāng)，這 x1 x222些要素均在式中有所體現(xiàn)。所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線 AB的斜率與AB中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由可得在涉及A,B坐標(biāo)的平方差問題 中也可使用點差法。二、典型例題22例1:不論k為何值，直線y kx 1與橢圓人 二1有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是7 m( )A. 0,1 B.1,C.1,7 U 7, D. 0,7思路一：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去 y）,得到關(guān)于x的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以0在x R包成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出 m即可. y kX

13、 192y斛： 22 mx 7 kx 1 7m,整理可得：mx 7y 7m即 1 m 7k 2 0 m 7k2 1思路二：從所給含參直線y kx 1入手可知直線過定點0,1 ,所以若過定點的直線均與橢22圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入0,1后土 上1,即7 m1-y 1 m 1,因為是橢圓，所以m 7,故m的取值范圍是1,7 U 7,m答案：C小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個數(shù)來確定直線與橢 圓位置關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式包成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置 關(guān)系的特點，即若點在封閉曲線內(nèi)，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突

14、破口 巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點是關(guān)鍵22例2:已知雙曲線L124（2）本題還要注意細(xì)節(jié)，橢圓方程中x2,y2的系數(shù)不同，所以m 71的右焦點為F ,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（）A.B.石石C.與D.x,若過右焦點的直線與右支只有一個交 3點，則直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即 k 3答案：C小煉有話說：本題是利用“基礎(chǔ)知識”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下:22由一1 1可知F 4,0 ,設(shè)直線l : y k x 4 ,聯(lián)立方程可得：1242_2-x 3y 12y k x 4x2 3k2 x 4 2 12

15、 ,整理后可得:當(dāng) 1 3k2 0 k 超時，8x 28 032當(dāng) 1 3k2 0 時，24k24 1 3k2x 7 ,即位于雙曲線右支，符合題意22248k2 1248 k2 10直線與雙曲線必有兩個交點，設(shè)為 X,% , x2,y2x1x20 ,即因為直線與雙曲線的右支有且只有一個交點 48k2思路：由x2也1可得漸近線方程為：y 1221 3k2綜上所述：k 331 例3:已知拋物線C的萬程為x2 -y ,過點A 0, 1和點B t,3的直線與拋物線共點，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. , 1 U 1,B., U ,22C. , 22 U 2 .2,D.,、,2 U ,2, 思路：由A,B

16、兩點可確定直線AB的方程（含t）,再通過與拋物線方程聯(lián)立，利用可得到關(guān)于t的不等式，從而解得t的范圍解：若t 0,則直線AB:x 0與拋物線有公共點，不符題意-44. 、一右t 0,則kAB - AB:y -x 1,與橢圓聯(lián)立方程： tt2tx2 4x t 0Q直線與拋物線無公共點16 8t2 0 t ,2 或 t .2答案：D 2例4:過雙曲線x2工1的右焦點F作直線l交雙曲線于A, B兩點,若實數(shù) 使彳 2C沒有公AB的直線恰有3條，則 思路：由雙曲線方程可知 F百0 ,當(dāng)l斜率不存在時，可知|AB為通徑，計算可得:AB 4,當(dāng)l斜率存在時，設(shè)直線l:y k x 顯，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦

17、長公式可得可解得：k2V或k2 T41kr 41kAB -才為關(guān)于k的表達式，即-獷12 kl|2 k|若24 0或24 0,即2時，可得k 0,僅有一解，不符題意。若 24 0444且24 0 ,則每個方程只能無解或兩解。所以可知當(dāng)4時，方程有兩解，再結(jié)合斜4率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以 42解：由雙曲線X2 1可得a 1,b s/2, c V3F叵0 ,2.、.、一一 2b2當(dāng)AB斜率不存在時，l的萬程為x 乖AB為通徑，即|AB 4a若直線l斜率存在，不妨設(shè)為k 則設(shè) l : y k x 33 , A x1, y1 ,B x2, y22x y 2_ 2聯(lián)立直線與橢圓方程：-消

18、去y可得：2x2 k2 x 73 2,整理可得：y k x .3可得：k2 2-4或k2 -444當(dāng)24 0時，即 2,則方程的解為k 0,只有一解，不符題意 4同理 當(dāng)24 0,即2,則方程的解為k 0,只有一解，不符題意4當(dāng)24 0且24 0時，則每個方程的解為0個或兩個，總和無法達到3個，不符題44所以若AB|的直線恰有3條，只能 4,方程解得：k y滿足條件的直線AB的方程為：x 3, y x 73 , y x 7322答案： 42例5:已知橢圓424x m對稱，則m1 ,則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線y3 的取值范圍是（A 、13,132,132、13A. m B. m 1313

19、131313132.132.13m D. m 13131313思路：設(shè)橢圓上兩點Ax1,y1, Bx2,y2,中點坐標(biāo)為x0,y0,則有2X0'X2,由中點2y° y1 y23xf 4y2 12問題想到點差法，則有 12y123 X12 x2 4 y2 y 20 ,變形可得：3X24 y2123 x1X2xx24 yy2yV20由對稱關(guān)系和對稱軸方程可得，直線AB的斜率k 1 江學(xué)，所以方程轉(zhuǎn)化為：6x0 8y°10 yo 3x0 ,由對稱性可知AB4 x1 x24x m中點x0,y0在對稱軸上，所以有y。4x。m,所以解得：，依題意可得：點Vo 3mx0,y0必在

20、橢圓內(nèi)，所以有3x2 4y2 12 ,代入可得：3 m 2 4 3m 2 12 ,解得：2,132,13 m 1313答案：D2例6:過點M 2,0的直線m與橢圓土 y2 1交于P,P2兩點，線段PP2的中點為P ,設(shè) 2直線m的斜率為K I 0 ,直線OP的斜率為k2,則kk的值為（）A. 2B.2 C.1D.-22思路一：已知m與橢圓交于P1, P2兩個基本點，從而設(shè)P x1,y1 ,F2 x2,y2 ,可知P x1X22,即k2 江2,從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達定理，設(shè) m:yx1X2k1 x立橢圓方程:2 x2y2k2 1 x2 8kl2x 8k； 2 0 ,可得:xx28kl2所以y1y2

21、k1 x1k1 xx24kl-J2k，則 k2,，即 k1k212 kl2 12kl 222，2kl2 1思路二：線段PP2為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點 P展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)P1 x1,y1，P> X2，y2 ，2Xi則有22X22yi2 i,兩式作差，可得:y2 i1 22Xi221yiy202 xiX2XiX2yiy2 yiy20,發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和PP2斜率相關(guān)的要素，其中Xi X2 yiy22,2,所以k2yi y2XiX20即1 k1k2 0,所以 k1k22所以等式化為工yi y2 yiy22Xi x2 Xi x2答案：D小煉有話說：兩類

22、問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點。(i)涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系(2)涉及到運用兩點對應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點差法例7:已知點A i,2在拋物線C: y2 4x上，過點A作兩條直線分別交拋物線于點 D,E ,直線AD,AE的斜率分別為kAD , kAE ,若直線DE過點P i, 2 ,則kAD kAE ()A. 4B.3 C.2 D.i思路：設(shè)Dx,yi,EX2,y2,進而所求kADkAE"y22 'y24，所以可從直線DExix2 xi x2 i入手，設(shè)直線DE: y 2 k x i，與拋

23、物線方程聯(lián)立，利用韋達定理即可化簡kAD kAE 2解：設(shè) D xi, y, ,E x2,y2.yi 2 V2 2 V1V2 2 yi y24Kad KaeX i x2 ixx2x1 x2 i設(shè) P i, 2 ,貝U DE: y 2 k x 1V2 4x聯(lián)立方程：y，消去X可得：y 2 k x 1代入可得:答案：C例8:已知拋物線C:y24x的焦點為F ,過點F的直線l交拋物線于M ,N兩點，且MF 2 NF ,則直線l的斜率為（）A. 2B.2.2 C.-2D.2uuur uuur 思路一：從點的坐標(biāo)出發(fā)，因為M ,F,N三點共線，從而MF 2 NF可轉(zhuǎn)化為MF 2NF ,uuuruur考慮

24、將向量坐標(biāo)化，F(xiàn) 1,0，設(shè) M xi,yi ,N X2,y2，有 MF 1 4,必，NF 1 X2, y2 ,所以y2y2,設(shè)直線l:x my 1 ,聯(lián)立拋物線方程消元后可得：y2 4my 4 0 ,利用韋達定理可得：y直線AF1的斜率k - 1m答案：D y2 4m ,再結(jié)合yi2y2 ,消去乂羋即可得m 交，直線%丫2442l:x y 1,即可得到斜率為 2近 4思路二：從所給線段關(guān)系MF 2 NF恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮M,N向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為P,Q ,便可得到直角梯形 PMNQ ,由拋物線定義可知:PMF 。不妨設(shè)M在第MP| |MF , NQ| | NF ,

25、將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為一象限?？紤]將角放入直角三角形，從而可過N作NTMP 于 T ,則 tanNMTTN|TM|為 |MF| 2 NF 而 TM |PM PT PM QN MF | NF NF , 且 MN MF| |NF| 3 NF ,利用勾股定理可得： TN J|MN |MT2五|NF ,從而 tanNMT £N 2V2 ,即k 2應(yīng)，當(dāng)M在第四象限時，同理，可得k 272TM綜上所述：k 2.2答案：B2例9:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓工 y2 1的左、右焦點分別為8下2,設(shè)A,B 2是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AR與直線BF2平o行，AF2與BF

26、1交于點P ,A.,3B.AF1犯 萼,則直線AF1的斜率是（C.D.思路：先設(shè)出直線 AF1 : x my 1,BF2 : xmy 1 ,只需一個等量條件即可求出m ,進而求出斜率?？紤]與橢圓聯(lián)立方程，分別解出A,B的縱坐標(biāo)，然后利用弦長公式即可用 m表示. 2 m2 1 m. m2 1AF1, BF2: AF1 2m 2,BF2,2 m21 m , m21 心 心 工2 ,可將已知等式轉(zhuǎn)m 2化為關(guān)于m的方程，從而解出m1 ,所以斜率為- m解：由橢圓方程可得:Fi1,0F2 1,0設(shè) AF1: x my 1,BF2 : xmyA X，% ,BX2,y2,依圖可知：y 0, y2聯(lián)立AF1與橢圓方程可得:x2 2y2 12my 1x my 12y21,整理可得:,2 m同理可得：BF2 m2 2小煉有話說：（1）在運用弦長公式計算 AF1 ,BF2時，抓住焦點的縱坐標(biāo)為0的特點，使用縱坐標(biāo)計算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上，本題采用xmyb的形式以便2m .m212.2 2_-m223 1于消去x得到關(guān)于y的方程（2）直線方程x my b,當(dāng)m 0時，可知斜率