多元函數(shù)的微積分學(xué)

1、多元函數(shù)的微積分學(xué)前言 數(shù)學(xué)（分析）是刻劃自然界中量和形關(guān)系的一門基礎(chǔ)學(xué)科，是人類認(rèn)識(shí)自然、改造自然的強(qiáng)有力的工具。 我們知道，人類要認(rèn)識(shí)、改造自然，必須要研究自然現(xiàn)象，其實(shí)質(zhì)是分析產(chǎn)生這一自然現(xiàn)象的原因，尋找產(chǎn)生或影響這一自然現(xiàn)象的因素，刻劃這些因素和自然現(xiàn)象之間的規(guī)律，并研究這些規(guī)律，找出形成這些因果關(guān)系間的機(jī)制，從而通過預(yù)知原因以求預(yù)知結(jié)果，通過改變?cè)蛞郧髮?shí)現(xiàn)某個(gè)結(jié)果。以下框圖所示： 因 原因進(jìn)一步分析這一過程與數(shù)學(xué)分析間的關(guān)系： 轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)關(guān)系 因此，對(duì)自然界感知的過程，實(shí)際就是對(duì)函數(shù)的研究。以函數(shù)作為研究對(duì)象，窮其基本性質(zhì)的研究，這正是數(shù)學(xué)分析。我們第一學(xué)年所學(xué)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容也反映

2、了這些。 但是，就我們以前所學(xué)的數(shù)分內(nèi)容來說，在上述描繪的感知自然的過程中，所對(duì)應(yīng)的范圍是很小的，所刻劃的自然現(xiàn)象是很少的。因?yàn)橹链宋覀兯鶎W(xué)的數(shù)學(xué)分析是單變?cè)⒎e分學(xué)，即變?cè)膫€(gè)數(shù)只有一個(gè)，至多刻劃一個(gè)影響元素。但是，我們知道，造成某種自然現(xiàn)象或自然界中，某個(gè)結(jié)果的產(chǎn)生通常有眾多因素的制約，單靠一個(gè)變量是不能代表眾多的制約因素。單元函數(shù)便不能描述這些現(xiàn)象。，因此，必須將單變?cè)瘮?shù)進(jìn)行推廣，這就形成了我們將要學(xué)習(xí)的多元函數(shù)的微積分學(xué)。 那么，整個(gè)多元函數(shù)的微積分學(xué)的基本內(nèi)容是什么？如何引入這些基本內(nèi)容（框架結(jié)構(gòu)）？簡(jiǎn)單回顧一下單元函數(shù)的相應(yīng)內(nèi)容： 單元函數(shù)： 先給出實(shí)數(shù)軸及其區(qū)間I的概念，形成了

3、函數(shù)建立的基礎(chǔ)，然后給出函數(shù)，進(jìn)一步研究函數(shù)的分析性質(zhì)單變量微分學(xué)和積分學(xué)。當(dāng)然，建立這些理論的基礎(chǔ)是單元函數(shù)的極限理論。 對(duì)多元函數(shù)的研究基本上沿單元函數(shù)的框架進(jìn)行平行的推廣（相同）和延伸（區(qū)別），因此，我們?nèi)匀幌纫攵嘣瘮?shù)建立的基礎(chǔ)多維集合與多維空間，進(jìn)一步引入極限，并在此基礎(chǔ)上建立多元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)。第十二章 維Euclid空間及多元函數(shù)由于高等代數(shù)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過維Euclid空間，因此，我們多元函數(shù)理論從引入開始。 §1 維Euclid空間及基本概念在一元函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道，為定義函數(shù)，必須有數(shù)軸上區(qū)間的概念，用以刻劃函數(shù)的定義域和值域。還必須有鄰域的概念，用于刻劃

4、極限的定義和性質(zhì)。實(shí)數(shù)軸、實(shí)數(shù)軸上的區(qū)間（包括鄰域）實(shí)際上最簡(jiǎn)單的集合，組成這些集合的元素是實(shí)數(shù)（或1維的“點(diǎn)“），當(dāng)然，僅用集合的概念還不能準(zhǔn)確的刻劃實(shí)數(shù)軸及其區(qū)間在函數(shù)研究中的本質(zhì)和作用，因?yàn)猷徲虻倪@一重要的且最常出現(xiàn)的概念是用距離來刻劃的，這就是說，實(shí)數(shù)軸上配備了距離，才使我們有了鄰域的概念，才能用鄰域進(jìn)一步引入極限，從而引入微積分。只是一維實(shí)數(shù)軸（包括一維的距離）太簡(jiǎn)單了，使我們沒有注意到這一點(diǎn)。實(shí)際上，正是這一點(diǎn)帶來了引起集合概念本質(zhì)變化的空間概念集合上配備了距離便形成了空間。因此，實(shí)數(shù)軸或全體實(shí)數(shù)的集合上配備了距離d=d(x,y)便形成了一維空間，通常記為（，d）也簡(jiǎn)記為。故，區(qū)間

5、是實(shí)數(shù)集合（視為大集合）中的一個(gè)集合，鄰域卻是實(shí)數(shù)空間（1維空間）中的一個(gè)集合。沒有距離，就沒有鄰域，也就沒有函數(shù)性質(zhì)的刻劃，使得引入的函數(shù)成為一個(gè)無用的符號(hào)。正是有了距離，才使得引入的函數(shù)性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)的飛躍，才有了函數(shù)一系列分析性質(zhì)的研究。因此，為引入多元函數(shù)理論，必須引入相應(yīng)的多維集合、多維空間及其距離的概念，下面，我們以一般的n維空間為例引入相關(guān)概念。一：距離空間定義1.1設(shè)是一個(gè)非空的集合，若對(duì)中任意兩個(gè)元素，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)且滿足：1）非負(fù)性： ，=0 2）對(duì)稱性：= 3）三角不等式： 稱是之間的距離。注：這正是一維空間上距離概念的推廣。雖然也稱之為距離，但不是真正意義上的

6、距離，只是借用了距離的概念，使之不那么抽象。如：在上定義，可以驗(yàn)證d(x,y)是滿足距離的定義，但并非實(shí)際意義上的距離。注：距離實(shí)際上是一種度量。定義1.2 在集合上裝備了距離，稱為距離空間，簡(jiǎn)寫為。注：距離空間也稱為度量空間。距離是直觀的、具體的、簡(jiǎn)單的度量，度量是距離的高度抽象、延伸。注：集合與距離空間的區(qū)別。注：同一集合上，可以引入不同的距離，因而形成不同的距離空間，。二、維Euclid空間 記為全體實(shí)數(shù)的集合令，這是一個(gè)維空間點(diǎn)的集合，是點(diǎn)（元素）的坐標(biāo)，：坐標(biāo)分量。：一維集合，數(shù)軸上點(diǎn)的全體；：二維平面點(diǎn)集； ：三維空間點(diǎn)集。上述，由于沒有定義距離，因而，是集合而不是空間，下面，在中

7、引入距離。將，中距離進(jìn)行推廣，就得到上的距離。 對(duì)，定義：=，則可驗(yàn)證：滿足距離定義中的1）-3）事實(shí)上：1）、2）顯然成立，關(guān)于3）的證明：可以用高等代數(shù)中的內(nèi)積方法，這里采用Cauchy不等式來證明： ， （1）由此： （2）， （要證明，即為此， 記，則，代入（2）：故，=為定義在上的距離。注：常用表示兩點(diǎn)距離。這樣，在上裝備了距離，稱為維Euclid空間，（是最常用的距離），簡(jiǎn)記為。注：在中還可引入如下距離，如：；，因此，同一空間上可以引入不同的距離。注：空間是維空間（高等代數(shù)已經(jīng)學(xué)過空間的一組基為 ，i=1,2,n.），并且所有維空間都與等距同構(gòu)，因此，是有限維空間的典型代表，通過對(duì)

8、的研究來獲得有限維空間的性質(zhì)（見后面的基本定理如Werstrass定理）。注：前述我們常用的集合記號(hào)是一個(gè)無限維空間，通常裝備距離：，前述我們只用到是一個(gè)集合，類似的還有，等都是距離空間。三：中的基本點(diǎn)集 引入類似數(shù)軸上鄰域、開（閉）區(qū)間的概念。 給定，。1：鄰域 集合稱為點(diǎn)的鄰域。記為。為一開區(qū)間；時(shí)，是以為心，以為半徑的開圓，（不含圓周）；時(shí)，以為心，以為半徑的開球，（不含球面）。注：上述鄰域通稱為球（圓）形鄰域。注：有時(shí)還用到矩形鄰域。如中， 矩形鄰域：； 方形鄰域：。兩種鄰域的定義是等價(jià)的：給定一個(gè)圓形鄰域，可作兩個(gè)內(nèi)接、外切的矩形鄰域，反之類似。注：去心鄰域 有如下去心鄰域的定義：圓

9、形去心領(lǐng)域：； 矩形去心領(lǐng)域：。但不能寫作：，這樣不僅去心，還去掉兩直線：和。有了鄰域的概念，就可以引入中的各種點(diǎn)集： 設(shè)，（一個(gè)子集），以下鄰域?yàn)閳A（球）鄰域。2：內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)及邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)： 設(shè)稱為的內(nèi)點(diǎn)。 外點(diǎn)：稱為的外點(diǎn)。 邊界點(diǎn)：設(shè)，若，且，但，稱為的邊界點(diǎn)。注：點(diǎn)與集合的關(guān)系的內(nèi)點(diǎn)必有；的外點(diǎn)必有；的邊界點(diǎn)，可能，也可能。 更關(guān)心內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)，為此記=的所有內(nèi)點(diǎn)；=的所有邊界點(diǎn)。例1：平面上單位開球。 所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，即=；邊界點(diǎn)：(x,y):（圓周曲線上所有點(diǎn)） 單位閉球： ,則 =單位開球；邊界點(diǎn)：(x,y):。 圓環(huán)： ； 邊界點(diǎn):。集合中還經(jīng)常涉及到另個(gè)兩類點(diǎn)： 孤立點(diǎn)：設(shè)稱為

10、的孤立點(diǎn)。 注、孤立點(diǎn)必是邊界點(diǎn)。聚點(diǎn)：設(shè)中都含有中無限個(gè)點(diǎn)，則稱為 的聚點(diǎn)。注、內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)。邊界點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)。注、作為 的聚點(diǎn)，即可能，也可能。如圓環(huán) 不屬于 的聚點(diǎn)為內(nèi)邊界點(diǎn)；屬于 的聚點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)及外邊界點(diǎn)。注、直觀理解：聚點(diǎn)：聚集了 中的點(diǎn)。注、等價(jià)定義：設(shè)，都存在且，使 （中至少含有一個(gè)不等于的 中的點(diǎn)），則稱為 的聚點(diǎn)。 這里：兩個(gè)定義中“無限個(gè)”與“一個(gè)”是等價(jià)的。 （“一個(gè)”“無限個(gè)” ：，中有一個(gè)點(diǎn)，取，中有一個(gè)點(diǎn)，如此下去便可得證） 的所有聚點(diǎn)的集合記為（的導(dǎo)數(shù)集）例2： ， 則：=； ；。3：基本集合：設(shè) 定義1.3若=，稱為開集；若，稱為閉集。注、沒有聚點(diǎn)

11、的集合也是閉集，如孤立點(diǎn)集。注、閉集的另一定義：記，稱為的閉包，顯然：是閉集等價(jià)于=。事實(shí)上，若，則E；反之，若E，則E。因而，二者等價(jià)。注、開集和閉集對(duì)應(yīng)于一維空間中的開區(qū)間和閉區(qū)間。注、開、閉集是中最基本的集合概念，但它們并沒有完全涵蓋中所有集合，即存在非開、非閉的集合。如：=：=（0，1），不是開集 =0，1，不是閉集。注、關(guān)于開、閉集有如下運(yùn)算性質(zhì)。定理1.1 1)、限個(gè)開集的交（并）集是開集；有限個(gè)閉集的并（交）集是閉集。 2）、無窮個(gè)開集的并集是開集；無窮個(gè)閉集的交集是閉集。注：無限個(gè)開集的交不一定是開集，無窮個(gè)閉集的并不一定是閉集。 如：是開集，但是閉集。 如： 但 （，存在，使

12、，反之：對(duì)(2,4)，存在，使）經(jīng)常有到的集合概念還有：定義1.4 記為原點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，成立，稱為有界集，即注：有界性還可以用直徑的定義來刻劃：記，稱為的直徑，有界等價(jià)于。定義1.5設(shè)為開集，若，都可用含在中的有限折線將連結(jié)，稱為開區(qū)域，開區(qū)域連同邊界稱為閉區(qū)域。如：=不是區(qū)域。4：中點(diǎn)列及收斂性 函數(shù)分析性質(zhì)的研究始于極限，我們從中的點(diǎn)列開始引入極限的概念。 記，則就是中的一個(gè)點(diǎn)列。定義1.6給定點(diǎn)列，若存在，使=0，稱點(diǎn)列收斂于點(diǎn)，記為=，也稱為的極限點(diǎn)。注：等價(jià)的定義：定義1.7（）：給定點(diǎn)列，若存在，使，存在，當(dāng)時(shí)成立：，即，則稱收斂于點(diǎn)。定義1.8（鄰域）：給定，若，存在，當(dāng)時(shí)成立

13、：，則稱收斂于。定理1.2（充分必要條件）：等價(jià)于。故點(diǎn)列的極限也是唯一的。利用點(diǎn)列的極限，可以刻劃聚點(diǎn)：定理1.3 是集合的聚點(diǎn)等價(jià)于存在，使。定理1.4（閉集性質(zhì)）：設(shè)是閉集，若，則必有。四：中的基本定理 在單元微積分學(xué)中，建立函數(shù)一系列分析性質(zhì)的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)系的基本定理：確界定理、區(qū)間套定理、致密性定理（W-Th），Cauchy收斂定理、有限覆蓋定理，正是這些定理的基礎(chǔ)上，建立了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，也為以后函數(shù)分析性質(zhì)的研究提供了強(qiáng)有力的工具，因而，在完成了多維空間上各種集合的定義之后，自然要考慮這些定理能否推廣到高維空間，為多元函數(shù)的研究奠定基礎(chǔ)。我們來回憶實(shí)數(shù)系中基本定理的內(nèi)容和實(shí)質(zhì)，進(jìn)一

14、步分析這些定理能否推廣？如何推廣？確界定理：有上（下）界的點(diǎn)列必有上確界。 實(shí)質(zhì)：點(diǎn)列集合，找出集合中“最大”的數(shù)，比較“數(shù)”大小之關(guān)系。閉區(qū)間套定理：通過某些依次能套入的閉區(qū)間，套出一點(diǎn)，將整體性質(zhì)最終局部在一點(diǎn)上。致密性定理：有界點(diǎn)列必有收斂子列。 實(shí)質(zhì)：確定一點(diǎn)“點(diǎn)”，其吸引集合中的點(diǎn)。Cauchy收斂準(zhǔn)則：。 實(shí)質(zhì)：通過自身結(jié)構(gòu)，判斷點(diǎn)列的收斂性。有限覆蓋定理：局部性質(zhì)整體。通過分析，后面四個(gè)都可作相應(yīng)的推廣。 下面，我們以為例，進(jìn)行基本定理的推廣。1：矩形套定理：定理1.5記(中的閉區(qū)間列:矩形)滿足矩形套條件：1）， 2）則存在唯一的，使證明：分別對(duì)、應(yīng)用相應(yīng)定理。整個(gè)證明的思路：

15、轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)系情形，借用、推廣。2：致密性定理：定理1.6 致密性定理：有界點(diǎn)列必有聚點(diǎn)。（證明略）注：技巧：不同數(shù)列間，尋找具有共同下標(biāo)的收斂子列。3：有限覆蓋定理：定理1.7 設(shè)有開矩形集合，其中為指標(biāo)集，為中的開區(qū)間（=），若矩形集合覆蓋有界閉區(qū)域D，即，則必存在中有限個(gè)開矩形，使（采用實(shí)數(shù)里該定理的思路）證明：不妨設(shè) 反證：等分法，構(gòu)造的一系列子集具有性質(zhì)：1）：閉矩形套；2）不能被有限覆蓋。由性質(zhì)1），又有條件：，又為開集,故,使,又,矛盾。4：Cauchy收斂準(zhǔn)則：定理1.8 中點(diǎn)列收斂的充要條件為：，存在N，當(dāng)時(shí)，。（記，分別對(duì)用Cauchy收斂準(zhǔn)則）注：上述中的的定理可平行推廣至

16、中。注：正如實(shí)數(shù)系中基本定理的關(guān)系一樣，中的基本定理也是等價(jià)的。注：致密性定理和有限覆蓋定理更深刻提示有限維空間的性質(zhì)，這兩個(gè)結(jié)論和現(xiàn)代分析中的“緊”性理論極為密切。緊集：設(shè)為一集合，若的所有收斂子列的極限都屬于，則稱為緊集。（或：具有有限開覆蓋性質(zhì)）定理1.9 在（有限維）中，集合以下三個(gè)命題等價(jià)：1）是緊集；2）是有界閉集；3）中任一點(diǎn)列必有收斂子列。這個(gè)結(jié)論深刻揭示了有限維空間與無限維空間的區(qū)別。§2 多元函數(shù)及其極限一、 多元函數(shù)正如前述，描述自然現(xiàn)象受眾多因素影響（制約），必須用到多元函數(shù)。事實(shí)上，多元函數(shù)的形式我們已經(jīng)使用過。如：空間曲面的一般方程式：，這里就是一個(gè)三元函

17、數(shù)。下面，我們嚴(yán)格給出多元函數(shù)的定義?；貞洠?jiǎn)卧瘮?shù)定義的三要素：定義域、值域、關(guān)系式。 映射： ： 推廣就得到多元函數(shù)的定義。以下位n維Eulid空間。定義2.1 設(shè)，給定一個(gè)映射：映到中：即：，使：，稱為定義在上的一個(gè)元函數(shù)，為對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的函數(shù)值，記：（元函數(shù)）。稱為定義域；稱為值域。注意到，故也記n元函數(shù)為。例1：上半球面方程為一個(gè)2元函數(shù)，定義域?yàn)?。注：多元函數(shù)的表示：可以記為，或者，。注：關(guān)于多元函數(shù)定義域和值域的確定，由于和一元函數(shù)類似，不再多講。二：多元函數(shù)的極限單元函數(shù)極限：設(shè)在中有定義，又設(shè)是一個(gè)數(shù)，如果時(shí)總有,則稱是在點(diǎn)的極限,記作 。注：在點(diǎn)不一定有定義，。推廣 設(shè)是元函

18、數(shù)。定義2.2設(shè)在中有定義，若存在數(shù)使時(shí)，稱是在點(diǎn)的極限,記作 。注：從形式上看與單元函數(shù)的定義同，但是實(shí)際上還是有區(qū)別的，區(qū)別在于變量的極限過程，即，表示維變?cè)臉O限過程： 因此，也常寫為，因此，也把這樣的極限稱為n重極限。特別，=2時(shí)，也常記作：，或者：也稱為二重極限。注：也不一定在點(diǎn)有定義。注：定義中條件形式：“”可等價(jià)寫為：，因此，也可以如下等價(jià)定義多元函數(shù)的極限。定義2.2：設(shè)在中有定義，若存在數(shù)使，對(duì)一切滿足且的都成立，則稱。注：由于n維空間中還有方形領(lǐng)域定義，故，也可以用方形鄰域定義極限：，且，都成立注：類似單元函數(shù)，用定義證明極限的過程，仍然是對(duì)過對(duì)放大，估計(jì)， 由確定，估計(jì)過

19、程中，正如單元函數(shù)的估計(jì)關(guān)鍵分離一樣，此進(jìn)對(duì)多元函數(shù)的估計(jì)過程要分離出。注：還要注意：多維領(lǐng)域有圓、方之分，圓形領(lǐng)域是以限制區(qū)域范圍，而方形領(lǐng)域是以各分量方向上的距離來限制，因此，若以方形領(lǐng)域來考察極限過程，需要分離的是形式：。注：?jiǎn)卧瘮?shù)極限證明中各種技巧與方法仍適用。例2 用定義證:分析：估計(jì)，分離出：（圓形鄰域）， 或（方形鄰域）證明：記點(diǎn)，由于 為分離出,須對(duì)相關(guān)因子的系數(shù)如進(jìn)行控制，為此采用預(yù)先控制技術(shù)對(duì)作出先期處理。 對(duì)，則 3+2+7=5+8 8+ （方形鄰域） 8 16（圓形鄰域）故，對(duì)，對(duì)一切，都有，故。例3：計(jì)算： 證明：記，則對(duì)任意，則當(dāng)時(shí)，有 故0。 在多元函數(shù)的極限中

20、，更多涉及到的是二元函數(shù)的極限問題。更多的多元函數(shù)的極限性質(zhì)也可通過二元函數(shù)的極限反映出來 。因此，我們繼續(xù)以二元函數(shù)為例，討論具體函數(shù)極限的存在性問題。我們知道，在單元函數(shù)的極限處理過程中，有一個(gè)重要的原則處理極限的不存在問題：Heine歸結(jié)原理。那么：二元函數(shù)的歸結(jié)原理成立嗎？具體形式是什么？從分析自變量的極限過程可知：定理2.1對(duì)任意以為極限的點(diǎn)列都有。證明：必要性：由于，故對(duì)任意當(dāng)p(x,y)滿足時(shí) 。又，故對(duì)上述，存在，使得k>時(shí)，因而 故。 充分性（“任意性條件”暗示用反證法） 若，則由定義：，使點(diǎn)，使得。 （下面的證明過程，通過的任意性，構(gòu)造一個(gè)為極限的點(diǎn)列，制造矛盾） 取

21、，得， 取， 如此下去，可構(gòu)造點(diǎn)列滿足，即，但，矛盾。注：正如單元函數(shù)的Heine定理，定理1的主要作用用于證明極限的不存在性，而在這個(gè)過程中，下面類似的結(jié)論更方便利用，它把二元函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題。定理2.2對(duì)任何過的連續(xù)曲線，沿曲線都成立：。（一元函數(shù)的極限）（或者：，都有：）； （或者：）。注：證明充分性，只須將Th1中得到的點(diǎn)列，用折線連起來即可得相應(yīng)的連曲線。注：定理2即為證明重極限的不存性提供了方法（見推論1），又為重極限的計(jì)算，提供了思路。應(yīng)用 推論2.1設(shè)為過點(diǎn)的連續(xù)曲線，若沿曲線，極限存在但不相等，則必不存在。推論2.2 若沿某連續(xù)曲線的極限不存在，則必不存

22、在。注：通常取為直線，拋物線等。例4：討論在的重極限。（） 解、由于，顯然，k取不同值時(shí)，有不同的結(jié)果，故重極限不存在。例5：考察在點(diǎn)處的極限。 解、如圖所示。取拋物線，則此拋物線完全落在區(qū)域，因而。另外，取半直線y=kx其中，則 故 不存在。例6、考察在點(diǎn)處的極限。分析：從形式上看，分子是二階項(xiàng)，分母是一階項(xiàng)，從單元函數(shù)的極限看，應(yīng)有。但事實(shí)并非如此：將其轉(zhuǎn)化為：，分子一階，分母：沿曲線，即為任意階。因此：極限不存在（）。更簡(jiǎn)單地，考察沿曲線的極限行為。解：由于曲線過點(diǎn)，而且 故，不存在。 關(guān)于單元函數(shù)的極限運(yùn)算法則推廣至多元函數(shù)極限仍成立,相應(yīng)的結(jié)論、技巧仍可利用。例7 計(jì)算 =1+1=2

23、例8 由于，有界，故原式=0。（充分利用了單元函數(shù)極限結(jié)果和方法）例9 （對(duì)數(shù)法）解：記，則。 類似單元函數(shù)，還可以定義非正常極限。1：設(shè)多元函數(shù)在內(nèi)有定義，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都存在，使時(shí)，。類似定義 例10：證明：證明：由于 故 。 故，對(duì),當(dāng)時(shí)(即), 區(qū)別（延伸） 在重極限中，體現(xiàn)了單元函數(shù)和多元函數(shù)的共性，但是，畢竟多元函數(shù)還在變量個(gè)數(shù)上與單元函數(shù)存在區(qū)別。這一區(qū)別，也造成了多元函數(shù)與單元函數(shù)的極限差別。先看函數(shù)上的差別（仍以二元函數(shù)為例）。 給定一個(gè)二元函數(shù)，若固定其中的一個(gè)變?cè)?，如取，此時(shí)退化為一元函數(shù)，同樣，如果固定，退化為另一單元函數(shù)，這樣，由一個(gè)二元函數(shù)可以產(chǎn)生兩個(gè)一元函數(shù)。

24、這樣的函數(shù)差別，促使我們考慮這樣的問題： 首先將看成某個(gè)變量比如固定后的一元函數(shù)（為變?cè)瑢?duì)比一元函數(shù)可考慮極限如，顯然與有關(guān)。記，再考慮單元函數(shù)的極限，這個(gè)過程相當(dāng)于對(duì)二元函數(shù)分別依次進(jìn)行兩個(gè)不同的極限過程，這樣的極限顯然不同于重極限，稱為累次極限。 以二元函數(shù)為例引入累次極限：定義2.4 設(shè)是在中有定義，若對(duì)任一固定的y，存在極限，且對(duì)，存在極限，稱為在點(diǎn)的先對(duì)，再對(duì)的累（二）次極限，記為：。（外極限在后，內(nèi)極限在先）。類似可以定義，因此，二元函數(shù)的兩個(gè)累次極限是對(duì)同一函數(shù)的不同順序的極限，多元函數(shù)的累次極限就是將多元函數(shù)依次視為一元函數(shù)，依次對(duì)相應(yīng)的變量的極限過程。如對(duì)三元函數(shù)，可定義

25、及其它的5個(gè)累次極限。關(guān)于累次極限，很顯然的問題是極限的換序問題。由于累次極限的（實(shí)質(zhì)）是一元函數(shù)的極限，其計(jì)算相對(duì)容易?？疾鞄讉€(gè)累次極限。例12 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限。解：固定，因而：。 同樣：。注、上例的二重極限不存在。事實(shí)上，先預(yù)定其值，若存在，必定和沿的極限相同。而沿，再驗(yàn)證1是否為其極限，由于： ，例6表明不成立，故 ，即，因而，二重極限不存在。這樣，對(duì)多元函數(shù)，我們就引入了兩種極限：重極限和累次極限。因此，接下來要考慮的問題是：二者的關(guān)系如何？累次極限間的關(guān)系如何？先看幾個(gè)例子。例13 考察在的重極限和二次極限。解：1 重極限：由于，故。 2 累次極限：固定，考慮：，由于，但不存在

26、，故：不存在，因而不存在；同樣，也不存在。即：重極限存在，累次極限不存在。例14 考察在的重極限和二次極限。解：1 重極限： 取，則與有關(guān)，故不存在。 2 累次極限：=0。此例表明：累次極限存在且相等，而重極限不存在。例15 考察在的重極限和二次極限。解： 1 累次極限：，二者存在，但不相等。 2 重極限：沿考察：，故重極限不存在。上述幾個(gè)例子似乎表明：二重極限和二次極限沒有關(guān)系，因?yàn)橹貥O限存在時(shí)，累次極限不一定存在，而累次極限存在時(shí)，重極限也不一定存在。這揭示了二者之間的區(qū)別，但從另一角度考慮，重極限和累次極限是對(duì)同一函數(shù)的極限行為，二者應(yīng)該有聯(lián)系，事實(shí)上，有：定理2.3若在存在二重極限和累

27、次極限，則二者必相等，即=。證明：設(shè)=A，則，使對(duì)任意(),成立 故對(duì)任意滿足的x，由于存在，因而，對(duì)上述x, 存在，因此，在（1）中，對(duì)固定的，令，則 故 ，因而A。注：下述證明，在使用Cauchy收斂準(zhǔn)則時(shí)有問題，因?yàn)闆]有用到累次極限存在的條件。注意觀察。證明：設(shè)=A，則，使對(duì)任意(),成立 （1）（等價(jià)于：）任取固定的：，則對(duì)時(shí)，對(duì)應(yīng)，故，因而對(duì)固定的：，存在，記為。由（1），固定后，令，則 （2）由于（2）對(duì)任意的：都成立，因而，故=A。注：錯(cuò)誤的原因：在證明累次極限如存在時(shí)，先固定x，證明的存在性，即對(duì)任意的， 存在， 使 時(shí)有，因此，應(yīng)先給定x，再給出，因而，x與應(yīng)該是無關(guān)的。但上

28、述證明過程，順序正好相反，因而，x與有關(guān)。注：此定理深刻提示二者之間的聯(lián)系。推論2.1若累次極限、和重極限都存在，則三者必相等。推論2.2若兩個(gè)累次極限存在但不相等，則重極限必不存在。注：定理中在重極限和一個(gè)累次極限存在的條件下，給出了二者之間的關(guān)系，但對(duì)另一個(gè)累次極限沒有任何結(jié)論，可能存在，也可能不存在。注：上述這點(diǎn)，也反映在推論2的條件中，換句話說，一個(gè)累次極限不存在并不能保證重極限不存在，如。注：推論1給出了兩個(gè)二次極限可換序的條件。§3 多元函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性 單元函數(shù)連續(xù)性的自然推廣。1、 連續(xù)性定義3.1設(shè)多元函數(shù)在內(nèi)有定義，若，則稱在點(diǎn)連續(xù)，若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都連

29、續(xù)，則稱在D上連續(xù)，記為。注：連續(xù)性是由重極限來定義的，與累次極限無關(guān)。注：類似單元函數(shù)：連續(xù)性關(guān)于函數(shù)的運(yùn)算（加、減、乘、除（分母不等于0）、復(fù)合）都是封閉的，因此，初等的多元函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)。例1：討論函數(shù)的連續(xù)性。（分析：初等函數(shù)，只須討論其定義域。）解：由于其定義域?yàn)椋?，故：其中在的點(diǎn)都連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為：（系列同心圓）。 我們知道，對(duì)多元函數(shù)如果固定其中的一個(gè)變?cè)玫揭粋€(gè)新的多元函數(shù)，二者連續(xù)性的關(guān)系如何？以二元函數(shù)為例。定理3.1設(shè)在連續(xù)，則固定時(shí)，一元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；固定時(shí)，一元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。注：定理1的逆不成立。如：例2：討論在點(diǎn)的連續(xù)性。（該函數(shù)坐標(biāo)軸上取值為1，其余為0

30、）解：顯然，不存在，故函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。但若固定，此時(shí)，顯然在點(diǎn)連續(xù)；同樣，固定，此時(shí)，顯然在點(diǎn)連續(xù)。自然要問，對(duì)定理1的逆，增加什么條件能成立？各種參考書中都有相關(guān)結(jié)論，如“關(guān)于一個(gè)變?cè)B續(xù)，關(guān)于另一個(gè)變?cè)獑握{(diào)”、或“關(guān)于一個(gè)變量連續(xù)，關(guān)于另一個(gè)變量滿足Lipschize條件（見課后習(xí)題9）”等。2、 一致連續(xù)定義3.2設(shè)在區(qū)域D上有定義（或設(shè)），若，使得對(duì)且都成立，稱在D上一致連續(xù)。注：一致連續(xù)性是一個(gè)非常重要的分析性質(zhì)，應(yīng)該掌握具體多元（二元）函數(shù)一致連續(xù)性的判斷，也是一個(gè)考點(diǎn)。注：具體函數(shù)的一致連續(xù)性的判斷，方法仍然是放大法，思想是從 中分離出，從而可進(jìn)一步用來控制。例3：證明在上一致連

31、續(xù)。證明：，都有 = | 故在D上一致連續(xù)。非一致連續(xù)性的證明也是非常重要的。常用的有定義法，下述結(jié)論也非常實(shí)用，它是一元函數(shù)相應(yīng)結(jié)論的推廣。定理2：在D 上非一致連續(xù)的充要條件為：存在兩個(gè)點(diǎn)列，使，但。注：一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法是：將多元函數(shù)（特別是二元函數(shù)）的非一致連續(xù)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元函數(shù)的非一致連續(xù)性。定理3.2設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域D上一致連續(xù)，則對(duì)任何包含在D內(nèi)的一致連續(xù)的簡(jiǎn)單曲線（即在上一致連續(xù)），沿曲線，一元函數(shù)一致連續(xù)（在上）。證明：由于在區(qū)域D上一致連續(xù)，故，對(duì)任意，存在，當(dāng)且時(shí)，成立 又，在上一致連續(xù)，故對(duì)，存在：，當(dāng)時(shí)， 因而，當(dāng)當(dāng)時(shí)，沿曲線，滿足，故 ，故一致連續(xù)。推論3.1：設(shè)

32、二元函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)，若存在D內(nèi)的一條一致連續(xù)曲線（為一維區(qū)間），使得沿曲線，一元函數(shù)在上非一致連續(xù)，則在D上非一致連續(xù)。例4：討論在上的一致連續(xù)性（南大，1997）（已知結(jié)論：對(duì)一元函數(shù)：一致連續(xù)；時(shí)非一致連續(xù)。）證明：直線在上一致連續(xù)，而沿直線：非一致連續(xù)，故函數(shù)非一致連續(xù)。法二：取點(diǎn)列，則，但，故，非一致連續(xù)。例5：討論在上的一致連續(xù)性。提示：法一：從形式上看，壞點(diǎn)為，故取。法二：沿直線，考慮一元函數(shù)在上的非一致連續(xù)性。§4 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 我們知道：一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上具有一系列很好的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理、Cantor定理等。能否將這些性質(zhì)

33、推廣至多元函數(shù)？ 我們首先分析一下：一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上具有好性質(zhì)的原因，其根本原因在于實(shí)數(shù)系中基本定理的成立，進(jìn)一步是：閉區(qū)間上Werstrass-定理成立。我們知道，實(shí)數(shù)系中主要定理都可以平行推廣至多維空間，而閉區(qū)間在多維空間中的推廣就是有界閉域，其上也成立Werstrass-定理，由此可猜想，相應(yīng)的有界閉域上的連續(xù)函數(shù)也應(yīng)具有相應(yīng)的好的性質(zhì)，這就是本節(jié)的研究任務(wù)。 仍以二元函數(shù)為例進(jìn)行研究，相應(yīng)的結(jié)論可平行推廣至任意的多元函數(shù)。 設(shè)是有界閉域，為定義在上的二元函數(shù)。推廣定理的兩種證明思想：1、轉(zhuǎn)化；2、利用思想。定理4.1（最值及有界性定理）設(shè)在上連續(xù)，則在上有界且在上取得最大值與最小值。證明：1、先證有界性。（有界性：）（對(duì)一元函數(shù)，此定理的證明有兩種方法：一種方法是尋找這樣的M，即用有限覆蓋定理；另一種方法是反證法，即用Werstrass-定理）。此處采用反證法。設(shè)在上無界，則 。因此，??；??；依次下去，可構(gòu)造互不重合的點(diǎn)列，使又：，則由Werstrass-定理，存在收斂子列，使得，而利用連續(xù)性有，但由的構(gòu)造方法