感悟數(shù)形結(jié)合

1、感悟“數(shù)形結(jié)合” 從思想到方法的飛躍又是一年高三，每當(dāng)?shù)礁呷龔?fù)習(xí)函數(shù)知識時，不論是對學(xué)生還是老師都是一件頭疼的事。原因很簡單，學(xué)生對函數(shù)的知識基本是空白的，對相應(yīng)題目也無從下手。原因？是我們在高一對函數(shù)的講解和練習(xí)不夠？顯然不是。學(xué)生在高一時進行了大量的習(xí)題訓(xùn)練，掌握得也很好。那么更深層次的原因是什么？根據(jù)“艾賓浩斯遺忘規(guī)律”，學(xué)生在一年后對原有知識的記憶量不足百分之十，那么我們教師應(yīng)該如何講解能讓學(xué)生少遺忘，保留對原有知識的回憶？顯然我們應(yīng)從學(xué)生不容易被遺忘的百分之十入手，就是函數(shù)的圖像，而通過函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，就是數(shù)形結(jié)合思想的主要應(yīng)用。對于數(shù)形結(jié)合思想，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚就

2、曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事難?！睆闹胁浑y看出“數(shù)”與“形”是反映事物必不可少的兩個屬性。筆者認為。數(shù)形結(jié)合，就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。以下我將從在授課過程中的三個例子具體說明數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用與好處：案例一學(xué)生難點：端點值在二次函數(shù)根的分布問題的應(yīng)用眾所周知，二次函數(shù)根的分布問題是高中數(shù)學(xué)的重點與難點，學(xué)生由于受到初中二次函數(shù)知識的影響，基本上都用“”限定根，不畫圖，更不會用圖像去限定條件描述根的分布。筆

3、者在講二次函數(shù)根的分布問題時，常對學(xué)生說一句話：“看圖說話?！?先把圖像畫出來，再利用圖像的特征用代數(shù)語言描述出來。例如下面是筆者當(dāng)時在講二次函數(shù)根的分布時用的一道習(xí)題：例題：已知，根據(jù)下列條件求出的取值范圍？（1）二根大于1；（2）一根比1大，一根比1??；（3）二根在（0，1）之間。1學(xué)生初做時，要么無從下筆，要么只用“”說明。所以在講此題時，我反復(fù)也只強調(diào)“看圖說話”，學(xué)生起初也不理解，畫什么圖？如何畫圖？于是我便提問學(xué)生：“大家想想如果兩根都大于1，那么二次函數(shù)的圖像應(yīng)該怎么畫？”有幾個學(xué)生舉手示意可以畫圖，我便找了兩名同學(xué)上黑板畫圖，大體圖像如下圖：接下來我又提示學(xué)生大家從圖上看到了什

4、么？學(xué)生三言兩語，我把學(xué)生的答案都寫在了黑板上，接著我又問學(xué)生：“能不能答案再簡化?！蔽易寣W(xué)生分組討論，最終經(jīng)過我和學(xué)生的共同努力，把過程最簡化得到了下式，而這也是正確的答案。有了第一個例子的良好基礎(chǔ)，接著我又發(fā)問：“那么我們?nèi)绾谓鉀Q第二個小問。某學(xué)生馬上站起來回答：“畫圖！則只須f（1）0即可?！睂W(xué)生的反映說明他們已經(jīng)基本上掌握了這種方法，剩下的第三問我讓學(xué)生練習(xí)，不到30秒鐘大部分學(xué)生就可以得到答案。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在求解二次函數(shù)根的分布問題的重要性。案例二 學(xué)生難點：對三角函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用筆者去年在講公開課三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一節(jié)中，當(dāng)時心里很多顧慮。其中最大的便是學(xué)生能否在一

5、節(jié)課上同時掌握三個三角函數(shù)的性質(zhì)。備課時在和組長分析課題時，組長說：“講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是先有圖象，后有的性質(zhì)，而性質(zhì)則完全是由圖象得到的，所以只要讓學(xué)生記住圖像，對重點的問題再稍加點撥，記住性質(zhì)一點也不難?！甭犃私M長的話，我認為三個三角函數(shù)的圖象并不難，而記住圖象對學(xué)生來說又是理解性質(zhì)的基礎(chǔ)。就這樣，在公開課上我利用三塊黑板，在每塊黑板分別先讓學(xué)生各自畫出三個三角的函數(shù)的圖象，畫完后讓學(xué)生以3個小組的形式對單一一個三角函數(shù)的圖像進行討論并深入分析，隨后再由每組選派一名同學(xué)上黑板寫出各自三角函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生寫完后讓學(xué)生自檢，最后由我對重點的問題我進行一一剖析。學(xué)生通過圖像與函數(shù)性質(zhì)相對應(yīng)

6、理解函數(shù)的性質(zhì)也就相對容易，剩下的時間加以習(xí)題訓(xùn)練，從效果看學(xué)生理解的還不錯。另外在授課過程中，由于黑板空間的原因，我先擦掉了各自三角函數(shù)的性質(zhì)，又不斷地擦掉給學(xué)生所布置的習(xí)題，但卻唯獨沒擦掉圖象。在課后小節(jié)時我問起學(xué)生原因，學(xué)生的回答：“圖象在，性質(zhì)就在?！庇纱丝梢妼W(xué)生已經(jīng)體會到了數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在三角函數(shù)的性質(zhì)的優(yōu)點。而在后期二輪復(fù)習(xí)或綜合訓(xùn)練時，我也發(fā)現(xiàn)：當(dāng)學(xué)生忘記三角函數(shù)的性質(zhì)的時候，都能自然的想到了用畫圖的方法找性質(zhì)。簡單卻不容易遺忘，這不就是我們一直尋求的研究問題的最好方法嗎? 案例三學(xué)生難點：學(xué)生對于特殊符號的作用與影響的記憶在講授正態(tài)分布時，關(guān)于正態(tài)曲線中的兩個參數(shù)，對曲線圖象

7、的影響不好記。尤其是，怎么變化曲線逐漸“矮胖”，又怎么變化曲線逐漸“高瘦”？是學(xué)生普遍反映的記憶難點。為了讓學(xué)生善記，我通過備課，我發(fā)現(xiàn)“”很象一塊石頭，對了！結(jié)合圖像：如下圖 就象小石頭，壓在曲線的上方。于是根據(jù)最簡單的物理原理：變大，對曲線的下壓力就越大， 頂點下降，曲線自然就逐漸變“矮胖”了；而隨著變小，對曲線的下壓力變小，曲線頂點上升，曲線自然也就變“高瘦了”，又是數(shù)形結(jié)合結(jié)合思想的應(yīng)用，把看似復(fù)雜的問題簡單化了，學(xué)生聽了，覺得很生動，記住對曲線圖像影響的性質(zhì)也就輕松了， 當(dāng)然還有很多數(shù)學(xué)問題，本身是代數(shù)方面的問題，但通過觀察可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征，由于這種幾何特征可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，使問題獲解。例如在解析幾何當(dāng)中，例題：分析： 構(gòu)造直線的截距的方法來求之。 （圖1） 由此可見，數(shù)形結(jié)合思想對高中學(xué)有著多么重要的作用，當(dāng)然，由于本人經(jīng)驗還不夠，只興趣出了三個案例，而實際上，數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何，不等式、集合論也有著重要的應(yīng)用，我認為，學(xué)生對圖形的記憶要遠勝于對書本、文字的記憶，所以加強數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的滲透其重要性不言而喻，縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，所以要培養(yǎng)學(xué)生這種