函數(shù)最大值最小值與導(dǎo)數(shù)

1、高高 二二 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 組組平平 度度 市市 第第 九九 中中 學(xué)學(xué)紀(jì)紀(jì) 云云 尚尚一、舊知回顧1. 1. 極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系2.2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是極小值那么右側(cè)附近的左側(cè)在，并且如果是極大值那么右側(cè)附近的左側(cè)，并且在如果)(, 0)( , 0)( 0)( ;)(, 0)( , 0)( 0)( 000000 xfxfxfxxfxfxfxfxxf點(diǎn)與極值。的符號(hào)，進(jìn)而確定極值的根的左右兩側(cè)在方程表檢查通過(guò)列解方程求導(dǎo)數(shù)0)( )( ) 3( ; 0)( )2();( ) 1 (xfxfxfxfab1x2x3x4x二、新知講解二、新知講

2、解觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間a,ba,b上的函數(shù)上的函數(shù) 的圖象圖中的圖象圖中 與與 是極大值，是極大值， 與與是極小值函數(shù)是極小值函數(shù) 在在a,ba,b上的最大值是上的最大值是 ，最小，最小值是值是 )(xf)(1xf3()f x2()f x)(bf)(xf)(4xf2()f xab結(jié)論：一般地，在結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在y=f(x)上必有最大值與最小值上必有最大值與最小值注意：（1）在在開區(qū)間（開區(qū)間（a,b）上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在y=f(x)上不一定有最大值與最小值例如：反上不一定有最大值與最小值例如：反比例函數(shù)比例函數(shù)(

3、3)(3)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)。一個(gè)，也可能沒有一個(gè)。函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的函數(shù)值得出的(4)(4)最值可以在端點(diǎn)處取得，而函數(shù)的極最值可以在端點(diǎn)處取得，而函數(shù)的極值不可能在端點(diǎn)處取得。值不可能在端點(diǎn)處取得。 (2)(2)將將y=f y=f ( (x x) )的各極值與的各極值與f (a)f (a)、f (b)f (b)比較，其中最

4、大的一個(gè)為最大值，最小比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)最小值的一個(gè)最小值三、求最值的步驟：三、求最值的步驟：(1)(1)求求f f ( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a,ba,b) )內(nèi)極值內(nèi)極值( (極大值極大值 或極小值或極小值) )四、例題講解四、例題講解解：解：-+1522例例1、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x3+12x+6在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi)的最大值和最小值的最大值和最小值 3 ,312312)( xxf)(2, 2, 0312)( 212舍令xxxxf312755)2,31( 2)3,2(303 ,31 故函數(shù)故函數(shù)f (x)f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)最大值為內(nèi)最大值為222

5、2， 最小值為最小值為 2755五、反饋練習(xí)五、反饋練習(xí)解：解：1、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x3-27x在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的最大內(nèi)的最大值和最小值值和最小值 4 , 4273)( 2 xxf3, 3, 0273)( 212xxxxf令54544 , 427)(3最小值為，上的最大值為在xxxf五、反饋練習(xí)五、反饋練習(xí)2、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=3x-x3在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的最大內(nèi)的最大值和最小值值和最小值 3 , 218)3(, 2)2(3 , 2)( )( 1)( 1033)( ,33)( minmax2122ffffxxfxxxxfxxf單調(diào)遞減。所以在所以舍舍解得令一是利用函數(shù)性質(zhì)一是利用函數(shù)性

6、質(zhì)二是利用不等式二是利用不等式三是利用導(dǎo)數(shù)三是利用導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)最值的思路與一般方法：求函數(shù)最值的思路與一般方法：六、方法總結(jié)六、含參問(wèn)題baxbaxxxfa,261 1 , 1,23)(, 13223，求常數(shù)，最小值為的最大值是函數(shù)設(shè)axxaxxxfxfaxxxf2122, 0, 033)( )( ,33)( 令解：ba231ba23ba23136,262323231) 1()(0)2(121)() 1(1,)0()(, 0123) 1 ()0() 1 ()0(),1() 1 (),()0()(02aaabafxfaaaffbbfxfaffffffaffxfx所以的最小值為所以）（又所以的最大

7、值為所以的大小。因?yàn)榕c故需比較取得極大值，而時(shí)，從上表可知，當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)，a=1,b=1時(shí)，時(shí)，f(x)滿足題設(shè)的兩個(gè)條件。滿足題設(shè)的兩個(gè)條件。23( )logxaxbf xx例例2 已知已知 , ,x(0,+).(0,+).是否存是否存在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)a、b, ,使使f (x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（1 1） f (x)在（在（0 0，1 1）上是減函數(shù)，在）上是減函數(shù)，在1 1，+)+)上是增函數(shù)；（上是增函數(shù)；（2 2） f (x)的最小值是的最小值是1 1，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由。由。xbaxx2解：設(shè)解：設(shè)g(x)=f

8、(x)在（在（0，1）上是減函數(shù)，在）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)g(x)在（在（0，1）上是減函數(shù)，在）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù).3) 1 (0) 1 ( gg3101bab11ba解得解得例例3在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60 cm60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起形，再把它的邊沿虛線折起( (如圖如圖) )，做成一個(gè)無(wú)蓋的方，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？容積是多少？xx6060 xx由題意可知，當(dāng)由題意可知，當(dāng)

9、x x過(guò)小（接近過(guò)?。ń咏? 0）或過(guò)大（接近）或過(guò)大（接近6060）時(shí)，）時(shí)， 箱子容積很小，因此，箱子容積很小，因此，16 00016 000是最大值是最大值答：當(dāng)答：當(dāng)x=40cmx=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm16 000cm3 323( )602xV xx602xh)600( x260)(322xxhxxV解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高，則箱高 cmcm， 得箱子容積得箱子容積 23( )602xV xx令令 0 0，解得，解得 x=0（舍去），（舍去），x=40，并求得并求得V(40)=16 000V(40

10、)=16 000 xxxV2)260()()300( x解法二：設(shè)箱高為解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得，則得 箱子容積箱子容積由題意可知，當(dāng)由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) 、 在各自的定義域中都只有一個(gè)極在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值260)(322xxhxx

11、VxxxV2)260()(答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省解：設(shè)圓柱的高為解：設(shè)圓柱的高為h h，底半徑為，底半徑為R R，則表面積，則表面積例例4圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑 應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。繎?yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，則，則2VR2VRS(R)= 2R + 2RS(R)= 2R + 2R2 2= +2R= +2R2 222( )Vs RR 令令 +4R=0+4R=032V

12、解得，解得，R= R= ，從而，從而2VR23()2VV34V3Vh= = = =2 h= = = =2 即即h=2Rh=2R因?yàn)橐驗(yàn)镾(R)S(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：產(chǎn)量為答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)時(shí)，利潤(rùn)L最大。最大。(0100)q1214Lq qp8125例例5 5已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為C C=100+4=100+4q q， 價(jià)格價(jià)格p p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量求產(chǎn)量 q q為何值時(shí)，利潤(rùn)為何值時(shí)，利潤(rùn)L L最大？最大？分析：利潤(rùn)分析：利潤(rùn)L L等于收入

13、等于收入R R減去成本減去成本C C，而收入，而收入R R等于產(chǎn)量乘價(jià)格由等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)此可得出利潤(rùn)L L與產(chǎn)量與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)211252588Rq pqqqq解：收入解：收入221125(1004 )2110088LRCqqqqq 利潤(rùn)利潤(rùn)0L12104q84q 令令 ，即，即 ，求得唯一的極值點(diǎn)，求得唯一的極值點(diǎn)課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1下列說(shuō)法正確的是下列說(shuō)法正確的是( )A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值

14、函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2.函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最大值是上的最大值是M，最小值是，最小值是m,若若M=m,則則f(x) ( )A.等于等于0 B.大于大于0 C.小于小于0 D.以上都有可能以上都有可能3.函數(shù)函數(shù)y= ，在，在1，1上的最小值為上的最小值為( )A.0 B.2 C.1 D.4.函數(shù)函數(shù)y= 的最大值為的最大值為 ( )A.B.1 C.D.234213141xxx1213122xxx332123DAAA5.函數(shù)函數(shù)y=2x33x212x+5在在0，3上的最小值是上的最小值是_.6.函數(shù)函數(shù)f

15、(x)=sin2xx在在 , 上的最大值為上的最大值為_；最小值為最小值為_.7.將正數(shù)將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成成_和和_.8.使內(nèi)接橢圓使內(nèi)接橢圓 =1的矩形面積最大，矩形的長(zhǎng)為的矩形面積最大，矩形的長(zhǎng)為 _，寬為，寬為_.9.在半徑為在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽榈膱A內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開時(shí)，它的面積最大。時(shí)，它的面積最大。222222byax2a2a23R2a2b-1522課堂小結(jié)課堂小結(jié)課后作業(yè)課后作業(yè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種

16、點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)；零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)；函數(shù)函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，是上連續(xù)，是f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上有上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；最大值與最小值的充分條件而非必要條件；閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間（a,b）內(nèi)的內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。數(shù)的最值。(4)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一

17、個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較。與端點(diǎn)值比較。知識(shí)回顧知識(shí)回顧1 1、 用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)的用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)的步驟步驟是：是：（1 1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（2 2）求解不等式求解不等式f f (x)0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào)再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增遞增區(qū)間區(qū)間（3 3）求解不等式求解不等式f f (x)0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào)再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞減遞減區(qū)間區(qū)間(3)檢查檢查f (x)在方程在方程f (x)=0的根的左右的符號(hào)，的根的左