北師大版初中數(shù)學(xué)七年級上冊知識講解：第20講一元一次方程應(yīng)用(一)—水箱變高了與打折銷售(提高)

1、一元一次方程應(yīng)用（一）-水箱變高了與打折銷售（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并建立方程解決問題；體會利用方程解決問題的關(guān)鍵是尋 找等量關(guān)系.2 .進(jìn)一步經(jīng)歷運用方程解決實際問題的過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答.由此可得解決此類抽象檢驗題的一般步驟為：審、設(shè)、歹h解、檢驗、答.要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2） “設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x,但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3） “列”

2、就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4） “解”就是解方程，求出未知數(shù)的值.（5） “檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當(dāng)有不符合的解時，及時指出，舍去 即可；（6） “答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚.要點二、水箱變高了（等積變形問題）“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常見類型：形狀面積變了，周長沒變； 原體積=變化后體積.常用的面積、體積公式：長方形的周長公式：（長+寬）X2;面積公式：長X寬長方體的體積公式：長x寬X高正方形的周長公式：邊長X 4;面積公式：邊長X邊長正方體體積公式：邊長X邊長X邊長圓的周長公

3、式：C= d 2 r ；面積公式：Sr2；1 _圓枉的體積公式：V柱=底面積X局；圓錐的體積公式：V錐=-X底面積X局3要點詮釋：尋找等量關(guān)系的方法，抓住兩個等量關(guān)系：第一，形變體積不變；第二，形變體 積也變，但重量不變.要點三、打折銷售（利潤問題）禾I潤率=利潤成本100%=售價-成本成本100%（2）標(biāo)價=成本（或進(jìn)價）X（1 +利潤率）（3）實際售價=標(biāo)價x打折率 （4）利潤=售價成本（或進(jìn)價）=成本x利潤率注意：“商品利潤=售價一成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售.要點詮釋：尋找等量關(guān)系的方法，抓住價格升降對利潤的影響來考慮

4、.要點四、方案問題選擇設(shè)計方案的一般步驟：(1)運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況.(2)用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的 優(yōu)劣性后下結(jié)論.【典型例題】類型一、水箱變高了(等積變形問題)C1. (2018?廈門校級一模) 據(jù)統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2,現(xiàn)要把一塊長100米，寬50米的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作 物，是否存在一種劃分這塊土地的方法，使甲乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3: 4?請說明理I【思路點撥】 可設(shè)種植作物甲的面積是 x平方米，則種植農(nóng)作物乙的面積是(100X50- x)

5、平方米，根據(jù)甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比為3: 4,列出方程求解即可.【答案與解析】解：設(shè)種植作物甲的面積是 x平方米，則種植農(nóng)作物乙的面積是(100X 50- x)平方米，依 題意有x： 2 (100X50- x) =3 : 4, 解得 x=3000,100X50- x =5000- 3000 =2000.故種植作物甲的面積是 3000平方米，種植作物乙的面積是 2000平方米，使甲、乙兩種作物 的總產(chǎn)量的比為 3: 4.【總結(jié)升華】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，得出兩部分面積之比.類型二、打折銷售(利潤問題)歌 2. (2019春?鹽城校級

6、月考)某商店在一筆交易中賣了兩個進(jìn)價不同的隨身聽，售價都為132元，按成本計算，其中一個盈利20%另一個盈利10%則該商店在這筆交易中共賺了 元.【思路點撥】 根據(jù)題意分別求出兩個隨身聽的進(jìn)價，進(jìn)而求出答案.【答案】34.【解析】 解：設(shè)一個的進(jìn)價為 x元，根據(jù)題意可得： x (1+20% =132, 解得：x=110, 設(shè)另一個的進(jìn)價為 y元，根據(jù)題意可得： y (1+10% =132, 解得：x=120, 故該商店在這筆交易中共賺了：132+132 - 120 - 110=34 (元).故答案為：34.【總結(jié)升華】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理清進(jìn)價與利潤之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.舉

7、一反三：【變式】某種商品的標(biāo)價為900元，為了適應(yīng)市場競爭，店主打出廣告：該商品九折出售，并返100元現(xiàn)金.這樣他仍可獲得10%勺利潤率（相對于進(jìn)貨價），問此商品的進(jìn)貨價是多少？（用四舍五入法精確到個位）【答案】解：設(shè)此商品的進(jìn)貨價為x元，依題意，得：（900X0.9 -100）-x=10%x , 后5得：x=6451- x=645.答：此商品的進(jìn)價約為 645元. 3.商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺 售價比A型冰箱高出10%但每日耗電量卻為 0.55度.現(xiàn)將A型冰箱打折出售（打一折后的 一一1、 、 ， ,一，一 ，一 ，一 一，一 ，一一一， 一

8、，售價為原價的 ）,問商場將A型冰箱打幾折，消費者買 A型冰箱10年的總費用與B型冰 10箱10年的總費用相當(dāng)（每年365天，每度電按0.40元計算）.【思路點撥】本題主要是根據(jù)兩種電冰箱使用10年所耗電量的費用相同來列方程.【答案與解析】解：設(shè)商場A型冰箱打x折，依題意，買 A型冰箱需2190X-x元，10年的電費是365X 10 10X1X0.4元；買B型冰箱需2190X （1 + 10%）元，10年的電費是365X 10X 0.55 X 0.4元，依 題意，得：2190 X +365 X 10X1X 0.4 =2190X （1+10%）+365X 10X 0.55 X 0.4 10x=

9、8答：商場將A型冰箱打8折出售，消費者買A型冰箱10年的總費用與B型冰箱10年的總費 用相當(dāng).【總結(jié)升華】 本題考查一元一次方程的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意，根據(jù)耗電量、售價、打折情況列出方程求解.類型三、方案設(shè)計問題歌 4.某牛奶加工廠有鮮奶 9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元，制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利潤2000元，該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工 1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時進(jìn)行，受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢. 為此， 該廠某領(lǐng)導(dǎo)提出了兩

10、種可行方案：方案1:盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶；方案2:將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成.你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多，為什么？【答案與解析】解：（1）若選擇方案1,依題意，總利潤=2000 元 X 4+500 元 X （9-4）=10500 （元）.（2）若選擇方案2.方法一：解：設(shè)將x噸鮮奶制成奶片，則用（9-x）噸鮮奶制成酸奶銷售.依題意得，2 4,1 3解得x 1.5.當(dāng) x 1.5 時，9 x 7.5.總利潤=2000 X 1.5+1200 X 7.5=12000 （元）.12000>10500 ,選擇方案2較好.方法二：解：設(shè)x天生產(chǎn)奶片，則（4-

11、x）天生產(chǎn)酸奶. x+3（4-x）=9x=1.54-x=2.51.5 X 1 X 2000+2.5 X 3 X 1200=12000 （元）12000>10500 , 選擇方案2較好.答：選擇方案2獲利最多，只要在四天內(nèi)用7.5噸鮮奶加工成酸奶，用1.5噸的鮮奶加工成 奶片.【總結(jié)升華】如果題目中的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜， 常借助列表，畫線段圖， 示意圖等手段幫助我 們理順題目中的數(shù)量關(guān)系， 列出方程.例如本題方案2中的方法一，設(shè)將x噸鮮奶制成奶片， 則列表如下：每噸利潤噸數(shù)工效天數(shù)酸奶12009 x39 x奶片2000x1x1合計94通過列表可以使條件之間的關(guān)系一目了然，從而得到等量關(guān)系，當(dāng)然

12、此題也可以設(shè)天數(shù)來計算，同學(xué)們可根據(jù)理解自己選擇.舉一反三：【變式】（2018春?綠園區(qū)期末）某移動公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者繳費50元月租費，然后每通話 1min再付話費0.4元；“快捷通”不繳月租費，每通話 1min付 話費0.6元（本題的通話均指市內(nèi)通話）.若一個月通話 xmin,兩種方式的費用分別為 y1 元和y2元.（1）用含 x的式子分別表示 y1和y2,貝U y1=, y=;（2）某人估計一個月通話300min,選擇哪種業(yè)務(wù)合算？（3）每個月通話多少分鐘時，兩種方式所付的費用一樣多？【答案】解：（1） y1=50+0.4x ; y2=0.6x ;故答案為：50+0.

13、4x , 0.6x ;(2)令 x=300 則 yi=50+0.4 X 300=170; y2=0.6 X 300=180所以選擇全球通合算.(3)令 yi=y2,貝U 50+0.4x=0.6x , 解之，得x=250所以通話250分鐘兩種費用相同.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1 .小明在一次登山活動中撿到一塊礦石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圓柱形的玻璃杯和足量的水，就測量出了這塊礦石的體積.如果他量出玻璃杯的內(nèi)直徑是d,把礦石完全浸沒在水中，測出杯中水面上升的高度為h,則小明的這塊礦石體積是()A. _d2hB. _d2hC.d2hD. 4 d2h422 .已知有大、小兩種紙杯與甲、乙兩桶果汁

14、，其中小紙杯與大紙杯的容量比為2： 3,甲桶果汁與乙桶果汁的體積比為 4: 5,若甲桶內(nèi)的果汁剛好裝滿小紙杯120個，則乙桶內(nèi)的果汁最多可裝滿幾個大紙杯()A. 64B. 100C. 144D. 2253 .如圖，將長方形ABC防割成1個灰色長方形與148個面積相等的小正方形.若灰色長方形之長與寬的比為 5: 3,則AD AB=?()A. 5: 3B, 7: 5C. 23: 14D. 47: 294 . (2018?石家莊模擬)小王去早市為餐館選購蔬菜，他指著標(biāo)價為每斤 3元的豆角問攤主：“這豆角能便宜嗎？”攤主：“多買按八折，你要多少斤？”小王報了數(shù)量后攤主同意按八折賣給小王，并說：“之前一

15、人只比你少買 5斤就是按標(biāo)價，還比你多花了 3元呢！ "小王 購買豆角的數(shù)量是()A. 25 斤 B. 20 斤 C. 30 斤 D. 15 斤5 .受季節(jié)影響，某種商品開始實行優(yōu)惠措施，按原價降低10斷，又降低a元，現(xiàn)在每件售價b元，那么該商品每件的原售價為()A. a bB. b-aC. (1-10% (a+b) D. (1-10%)(a-b)1 10%1 10%6 . (2019?朝陽區(qū)校級模擬)超市推出如下優(yōu)惠方案：(1) 一次性購物不超過 100元不享受優(yōu)惠；(2) 一次性購物超過 100元，但不超過300元一律9折；(3) 一次性購物超過 300元一律8折.李明兩次購物分

16、別付款 80元，252元.如果李明一次性購買與上兩次相同的物品應(yīng)付款(A. 288 元B. 332 元C. 288 元或 316 元 D. 332 元或 363 元、填空題7 .爺爺病了，需要掛100毫升的藥液，小明守候在旁邊，觀察到輸液流量是每分鐘 3毫升, 輸液10分鐘后，吊瓶的空出部分容積是50毫升（如圖），利用這些數(shù)據(jù)，計算整個吊瓶的容積是 毫升.8 .如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積分別為 80cm2、100cm2,且甲容器裝滿水，乙容器是空的.若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了 8cm,則甲的容積為 .9 .矩形ABC徽分成

17、6個正方形，其中最小的正方形邊長為1,則矩形ABCD勺面積為.10 . （2018?黑龍江）某超市“五一放價”優(yōu)惠顧客，若一次性購物不超過300元不優(yōu)惠，超過300元時按全額9折優(yōu)惠.一位顧客第一次購物付款180元，第二次購物付款 288元,若這兩次購物合并成一次性付款可節(jié)省 元.11 .某書城開展學(xué)生優(yōu)惠購書活動，凡一次性購書不超過200元的一律九折優(yōu)惠，超過200元的，其中200元按九折算，超過200元的部分按八折算.某學(xué)生第一次去購書付款72元，第二次去購書享受八折優(yōu)惠，他查看了所買書的定價，發(fā)現(xiàn)兩次共節(jié)約了 34元.則該學(xué)生第二 次購書實際付款 元.12,中百超市推出如下優(yōu)惠方案： （

18、1） 一次性購物不超過 100元，不享受優(yōu)惠；（2） 一次 性購物超過100元，但不超過300元一律9折；（3） 一次性購物超過 300元一律8折.某人 兩次購物分別付款 80元、252元，如果他將這兩次所購商品一次性購買，則應(yīng)付三、解答題13.甲、乙兩件服裝的成本共 500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按40%的利潤定價，乙服裝按 50%的利潤定價，在實際出售時，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝的成本各是多少元？14. (2019春?涇陽縣期中)甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購買商品超

19、出300元之后，超出部分按原價的八折優(yōu)惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按原價的九折優(yōu)惠.設(shè)顧客預(yù)計累計購物x元(x>300).(1)請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用.(2)試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由.15. (2018秋?婁底期中)從2018年8月1日起，浙江省城鄉(xiāng)居民生活用電執(zhí)行新的電價政策， 小聰家今年安裝了新的電表，他了解到安裝“ 一戶一表”的居民用戶，按用抄見電量(每家用戶電表所表示的用電量)實行階梯式累進(jìn)加價，其中低于50千瓦時(含50千瓦時)部分電價不調(diào)整；51 -200千瓦時部分每千瓦時電價上調(diào)0.03元；超過200千

20、瓦時的部分每千瓦時電價再上調(diào)0.10元.已知調(diào)整前電價統(tǒng)一為每千瓦時0.53元.(1)若小聰家10月份的用電量為130千瓦時，則10月份小聰家應(yīng)付電費多少元？(2)已知小聰家10月份的用電量為 m千瓦時，請完成下列填空：若me 50千瓦時，則10月份小聰家應(yīng)付電費為 元；若50 Vme 200千瓦時，則10月份小聰家應(yīng)付電費為 元；若m> 200千瓦時，則10月份小聰家應(yīng)付電費為 元.(3)若10月份小聰家應(yīng)付電費為96.50元，則10月份小聰家的用電量是多少千瓦時？【答案與解析】|一、選擇題L1 .【答案】A【解析】在此題中，應(yīng)當(dāng)能夠充分認(rèn)識到水上升的體積等于礦石的體積.根據(jù)圓柱的體積

21、=底面積X高.可得這塊礦石的體積為一d2h.42 .【答案】B【解析】根據(jù)等量關(guān)系“甲桶內(nèi)果汁裝滿小紙杯的個數(shù)X 2=乙桶內(nèi)果汁裝滿大紙杯的個數(shù)X 3”，“甲桶內(nèi)果汁裝滿大紙杯的個數(shù)：乙桶內(nèi)果汁裝滿大紙杯的個數(shù)=4: 5”可解出此題.設(shè)乙桶內(nèi)的果汁最多可裝滿 x個大杯，則甲桶內(nèi)的果汁最多可裝滿fx個大杯.由題意得：52X120=3X 4x,解得：x=100. 53 .【答案】D【解析】設(shè)灰色長方形的長上擺 5x個小正方形，寬上擺3x個小正方形，2 (5x+3x)+4=148x=9, 5x=45, 3x=27, AD=45+2=47, AB=27+2=29,ADAB47294 .【答案】C.【解

22、析】設(shè)小王購買豆角的數(shù)量是x斤，則3X80%x=3( x- 5) - 3,整理，得2.4x=3x -18,解得x=30 .即小王購買豆角的數(shù)量是30斤.5 .【答案】Aa b【解析】設(shè)該商品每件的原售價為 x元.根據(jù)題意得：(1-10% x-a=b，解得：x= a b1 10%6 .【答案】C【解析】解：(1)第一次購物顯然沒有超過100,即在第二次消費80元的情況下，他的實質(zhì)購物價值只能是 80元.（2）第二次購物消費252元，則可能有兩種情況，這兩種情況下付款方式不同（折扣率不同）：第一種情況：他消費超過100元但不足300元，這時候他是按照 9折付款的.設(shè)第二次實質(zhì)購物價值為x,那么依題

23、意有 xX 0.9=252 ,解得：x=280 .第二種情況：他消費超過300元，這時候他是按照 8折付款的.設(shè)第二次實質(zhì)購物價值為x,那么依題意有 XX 0.8=252 ,解得：x=315 .即在第二次消費 252元的情況下，他的實際購物價值可能是280元或315元.綜上所述，他兩次購物的實質(zhì)價值為80+280=360或80+315=395,均超過了 300元.因此均可以按照8折付款：360 X 0.8=288 元 395X 0.8=316 元 故選C.二、填空題7 .【答案】120【解析】此題的等量關(guān)系：吊瓶的容積-藥液的容積=空出部分的容積，設(shè)整個吊瓶的容積是x毫升，則：x- 100+3

24、0=50,解得：x=1208 .【答案】3200【解析】解：設(shè)容器的高度是xcm, x - 80x=8, x=40. 40X80=3200立方厘米.1009 .【答案】143【解析】:最小正方形的面積等于1,最小正方形的邊長為1,設(shè)左下角的正方形的邊長為 x.，BC=x+1 + （ x+2） =2x+3, AB=2x+ （x+1） =3x+1 ,二.最大正方形可表示為2x - 1,也可表示為 x+3, .-.2x- 1=x+3,解得：x=4, ，AB=13 BC=11,，矩形的面積為 11X13=143. 10.【答案】18或46.8.【解析】（1）若第二次購物超過 300元，設(shè)此時所購物品價

25、值為 x元，則90%x=288,解得x=320.兩次所購物價值為 180+320=500 > 300.所以享受9折優(yōu)惠，因此應(yīng)付 500X90%=450（元）.這兩次購物合并成一次性付款可節(jié)?。?80+288- 450=18 （元）.（2）若第二次購物沒有過300元，兩次所購物價值為180+288=468 （元），這兩次購物合并成一次性付款可以節(jié)省：468X 10%=46.8 （元）11 .【答案】204【解析】第二次應(yīng)該付 x元，則：（72 0.9 x） 72 200 0.9 （x 200） 0,8 34,解得：x 230,第二次實際付款： 200 0.9 （230 200） 0,8 204 .12 .【答案】288元或316元【解析】一次性購物超過 100元，但不超過300元一律9折則在這個范圍內(nèi)最低付款90元，因而第一次付款80元，沒有優(yōu)惠；第二次購物時：是第二種優(yōu)惠，可得出原價是252+0.9=2